張曉磊 ， 鄭建華 ， 高 東

（1.中國(guó)科學(xué)院復(fù)雜航天系統(tǒng)電子信息技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 中國(guó)科學(xué)院空間科學(xué)與應(yīng)用研究中心，北京 100190；2.中國(guó)科學(xué)院大學(xué) 北京 100190）

小衛(wèi)星編隊(duì)是指由兩顆或多顆小衛(wèi)星，它們之間保持一定的距離和構(gòu)型，星間彼此通信，協(xié)同工作，形成一顆具有特定功能的“虛擬衛(wèi)星”[1]。該技術(shù)突破了傳統(tǒng)單顆大衛(wèi)星尺寸的限制，研發(fā)成本低，魯棒性強(qiáng)，并且可根據(jù)需要改變構(gòu)型[2]，在全球遙感、目標(biāo)跟蹤等領(lǐng)域具有重要的應(yīng)用價(jià)值。

相對(duì)軌道的精確確定是小衛(wèi)星編隊(duì)的關(guān)鍵技術(shù)之一。目前廣泛采用的測(cè)量方式有GPS導(dǎo)航系統(tǒng)，激光，無線電，紅外，可見光相機(jī)等[3]。GPS系統(tǒng)測(cè)量精度高、技術(shù)成熟，但是該系統(tǒng)由美國(guó)控制，不利于我國(guó)應(yīng)用。激光測(cè)距精度高，但是激光波束窄，需要額外的引導(dǎo)系統(tǒng)，使得系統(tǒng)構(gòu)造復(fù)雜，不便于在小衛(wèi)星上應(yīng)用。無線電測(cè)量距離遠(yuǎn)、范圍廣，但是測(cè)角精度較差。紅外測(cè)量設(shè)備體積小、精度高，但只能提供測(cè)角信息?？梢姽庀鄼C(jī)能夠測(cè)距、測(cè)角，但有效作用距離較近。綜合各測(cè)量方法的優(yōu)缺點(diǎn)，文中采用無線電測(cè)距，紅外測(cè)角的組合測(cè)量方式。

文中研究的衛(wèi)星編隊(duì)運(yùn)行軌道為圓軌道串行方式。常用來描述編隊(duì)相對(duì)運(yùn)動(dòng)的Hill方程是近似簡(jiǎn)化模型，對(duì)適用對(duì)象和初始條件有一定的限制，可以證明其對(duì)于圓軌道串行編隊(duì)不再適用[4]。因此，文中以衛(wèi)星在慣性坐標(biāo)系下的軌道動(dòng)力學(xué)方程為基礎(chǔ)，推導(dǎo)出衛(wèi)星的相對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)模型。由于測(cè)量方程為非線性方程，卡爾曼濾波（KF）適用于線性系統(tǒng)，對(duì)于非線性系統(tǒng)，需要先對(duì)其線性化，這樣會(huì)帶來截?cái)嗾`差，影響估計(jì)精度。而UKF適用于非線性系統(tǒng)，避免了線性化帶來的截?cái)嗾`差，并且不需要計(jì)算測(cè)量方程的Jacobian矩陣[5]，降低了計(jì)算復(fù)雜度。因此，文中采用UKF算法，以雙星編隊(duì)為例，進(jìn)行了數(shù)字仿真，驗(yàn)證了該算法的有效性。

1 坐標(biāo)系定義

描述衛(wèi)星編隊(duì)相對(duì)運(yùn)動(dòng)需要用到慣性坐標(biāo)系和相對(duì)運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系，下面給出這兩種坐標(biāo)系的定義。

慣性坐標(biāo)系N：原點(diǎn)為地球地心，XN軸指向春分點(diǎn)方向，ZN軸垂直于赤道面指向北極，YN軸與XN軸、ZN軸滿足右手定則。

相對(duì)運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系H：原點(diǎn)為主星的質(zhì)心，XH軸從地心指向主星質(zhì)心方向，YH軸垂直于XH軸，與主星運(yùn)行速度方向一致，ZH軸滿足右手定則。

圖1 衛(wèi)星編隊(duì)參考坐標(biāo)系Fig.1 Satellite formation reference coordinate system

2 相對(duì)軌道動(dòng)力學(xué)模型

Hill方程對(duì)于圓軌道串行編隊(duì)不再適用，雖然衛(wèi)星軌道根數(shù)可以精確描述各種編隊(duì)構(gòu)型的相對(duì)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，但是軌道根數(shù)和相對(duì)位置、速度間存在復(fù)雜的轉(zhuǎn)換關(guān)系，不利于編隊(duì)衛(wèi)星的實(shí)時(shí)相對(duì)狀態(tài)解算[6]。在文獻(xiàn)[6]中已給出適合圓軌道串行編隊(duì)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型，并證明了其有效性，下文以衛(wèi)星編隊(duì)在慣性坐標(biāo)系下的軌道動(dòng)力學(xué)方程為基礎(chǔ)，給出該模型的詳細(xì)推導(dǎo)過程。

記rm，rc分別為主、從星的絕對(duì)位置矢量，在慣性坐標(biāo)系N中，主、從星的軌道動(dòng)力學(xué)方程為

式中：μ為地球引力常數(shù)；am，ac分別為主、從星受到的除地球中心引力場(chǎng)外的其他攝動(dòng)力產(chǎn)生的攝動(dòng)加速度之和。

從星相對(duì)主星的位置矢量為p=rc-rm，聯(lián)立式（1），并將其轉(zhuǎn)換到相對(duì)坐標(biāo)系H中，由于主、從星的相對(duì)距離較近，所受攝動(dòng)力幾乎相同，因此相對(duì)攝動(dòng)加速度可忽略不計(jì)[7]。則得到非線性相對(duì)動(dòng)力學(xué)方程的矢量形式

式中，ωm為主星的軌道角速度。

記θ為主星真近角點(diǎn)，在相對(duì)坐標(biāo)系中有ρ=[x y z]T，ωm=[0 0 θ˙]T，rm=[rm0 0]T，

則由式（2）可得[8]

由于兩星運(yùn)行于同一圓軌道，主星和從星的軌道半徑相等，即 rm=rc，真近角點(diǎn)變化率為常值，即θ¨=0，主星相對(duì)于地心的力矩為零

聯(lián)立式（3）、式（4）可得

式（5）即為編隊(duì)衛(wèi)星相對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程的微分形式，對(duì)其求解即可得到任意時(shí)刻關(guān)于相對(duì)位置、速度解析形式的狀態(tài)方程。

3 相對(duì)軌道測(cè)量方程

測(cè)量方程可以給出測(cè)量值與編隊(duì)衛(wèi)星相對(duì)位置之間的關(guān)系，需要測(cè)量的量為星間距離ρ，從星與主星的運(yùn)行軌道平面的夾角α（仰角），主從星間矢量在主星軌道平面內(nèi)的投影與相對(duì)運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系的y軸夾角ε（方位角），主從星間的距離ρ由無線電測(cè)量系統(tǒng)測(cè)出，仰角α和方位角ε由紅外測(cè)角系統(tǒng)測(cè)出，測(cè)量原理如圖2所示。

圖2 衛(wèi)星編隊(duì)測(cè)量原理圖Fig.2 Schematic measurement of satellites formation

根據(jù)測(cè)量幾何關(guān)系可以得出測(cè)量值與相對(duì)位置坐標(biāo)的關(guān)系

4 相對(duì)軌道狀態(tài)確定的UKF算法

目前解決動(dòng)態(tài)系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)問題廣泛采用KF算法，對(duì)于非線性系統(tǒng)，需要系統(tǒng)進(jìn)行線性化，但是這樣會(huì)不可避免地引入截?cái)嗾`差，影響估計(jì)精度。UKF算法是在KF算法的基礎(chǔ)上提出來的，它廣泛適用于非線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)問題，是近年來研究的熱點(diǎn)。下面給出UKF算法的具體流程

首先，以相對(duì)位置、速度作為狀態(tài)量，將狀態(tài)方程和測(cè)量方程表示成如下非線性離散系統(tǒng)

式中：Wk為系統(tǒng)噪聲序列，Vk為量測(cè)噪聲序列。相對(duì)軌道狀態(tài)確定的UKF算法流程如下[9]：

1）計(jì)算 sigma點(diǎn)

sigma點(diǎn)采樣策略是UT變換算法的關(guān)鍵，Sigma點(diǎn)的個(gè)數(shù)、位置以及相應(yīng)權(quán)值的確定，是在保證輸入變量x的分布特征的同時(shí)，使得逼近輸出某些性能指標(biāo)的代價(jià)函數(shù)達(dá)到最小。本文采用對(duì)稱采樣策略，n維隨機(jī)變量x的均值為x，方差陣為Px，按如下方式選取sigma點(diǎn)

2）時(shí)間更新

式中：Qk為系統(tǒng)噪聲序列的方差陣；、分別為計(jì)算均值和方差所用的加權(quán)值，其值采用如下方法計(jì)算得到

式中：β包含狀態(tài)分布的先驗(yàn)信息，一般在Gauss分布中，取值2為最優(yōu)。

3）測(cè)量更新

式中：Rk為量測(cè)噪聲的方差陣。

5 仿真分析

主星的軌道半徑6 878.146 km，兩星間距離約為8 km。設(shè)測(cè)量系統(tǒng)的精度參數(shù)：無線電測(cè)距精度1 cm，紅外測(cè)角精度4″。采樣周期2 s，仿真時(shí)間8 000 s。仿真結(jié)果如圖3、圖4所示。

圖3 相對(duì)位置誤差仿真結(jié)果Fig.3 Relative position error simulation results

從仿真結(jié)果可以看出，誤差曲線迅速收斂，在相對(duì)狀態(tài)估計(jì)達(dá)到穩(wěn)定后，最終相對(duì)位置確定精度優(yōu)于2 cm，相對(duì)速度確定精度優(yōu)于2×10-4m/s。

6 結(jié) 論

相對(duì)狀態(tài)的精確確定是編隊(duì)飛行的關(guān)鍵技術(shù)之一，本文提出的基于UKF算法，利用無線電測(cè)距，紅外測(cè)角的組合測(cè)量方式對(duì)小衛(wèi)星編隊(duì)相對(duì)狀態(tài)進(jìn)行自主確定。通過仿真結(jié)果表明，該算法收斂速度快、精度高，能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)圓軌道串行小衛(wèi)星編隊(duì)相對(duì)狀態(tài)的精確自主確定。

圖4 相對(duì)速度誤差仿真結(jié)果Fig.4 Relative velocity error of the simulation results

[1]林來興.小衛(wèi)星編隊(duì)飛行及其軌道構(gòu)成[J].中國(guó)空間科學(xué)技術(shù)，2001（1）:23-28.LIN Lai-xing.Formation flying of small satellite and its orbital configuration[J].Chinese Space Science and Technology，2001（1）:23-28.

[2]Ferguson P，How Jp.Decentralized estimation algorithms for formation flying spacecraft[J].Proceedings of the AIAA Guidance， Navigation， and Control Conf，2003:2003-5442.

[3]馬濤，郝云彩，馬駿，等.編隊(duì)飛行衛(wèi)星的星間跟蹤與測(cè)量技術(shù)綜述[J].航天控制，2005（3）:91-98.MA Tao，HAO Cai-yun，MA Jun，et al.A survey of intersatellite tracking and sensing techniques for formation flying spacecrafts[J].Aerospace Control，2005（3）:91-98.

[4]高云峰，寶音賀西，李俊峰.衛(wèi)星編隊(duì)飛行中C-W方程與軌道根數(shù)法的比較[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)，2003，（8）:799-804.GAO Yun-feng，BAO Yin-hexi，LI Jun-feng.Comparison of two methods in satellite formation flying[J].Applied Mathematics and Mechanics，2003（8）:799-804.

[5]吳云華，曹喜濱.編隊(duì)飛行衛(wèi)星自主相對(duì)導(dǎo)航算法研究[J].哈爾濱工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2007（3）:354-358.WU Yun-hua，CAO Xi-bin.Autonomous relative navigation algorithm research for formation flying satellites[J].Journal of Harbin Institute of Technology，2007（3）:354-358

[6]雪丹，曹喜濱，吳云華.圓軌道串行衛(wèi)星編隊(duì)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)研究[J].中國(guó)空間科學(xué)技術(shù)，2006（5）:37-42.XUE Dan，CAO Xi-bin.Relative motion of leader-follower formation on circular orbit[J].Chinese Space Science and Technology，2006（5）:37-42.

[7]張洪華，林來興.衛(wèi)星編隊(duì)飛行相對(duì)軌道的確定[J].宇航學(xué)報(bào)，2002（6）:77-80.ZHANG Hong-hua，LIN Lai-xing.The determination of relative orbit for satellites formation flying[J].Journal of Astronautics，2002（6）:77-80.

[8]Vaddi S S，Vadli S R，Alfriend K T.Formation flying:accommodating nonlinearity and eccentricity perturbations[J].Journal of Guidance， Control and Dynamics，2003，26 （2）:214-223.

[9]Crassidis JL，Markley F L.Unscented filtering for spacecraft attitude estimation[J].Journal of Guidance， Control， and Dynamics，2003，26（4）:536-542.