☉江蘇省南通市天星湖中學錢鵬徐新民

笛卡兒方法論引領下的數(shù)學學習*

☉江蘇省南通市天星湖中學錢鵬徐新民

《普通高中數(shù)學課程標準》特別指出兩點：其一“提高學習數(shù)學的興趣，樹立學好數(shù)學的信心，形成鍥而不舍的鉆研精神和科學態(tài)度”，其二“具有一定的數(shù)學視野，逐步認識數(shù)學的科學價值、應用價值和文化價值，形成批判性的思維習慣，崇尚數(shù)學的理性精神，體會數(shù)學的美學意義，從而進一步樹立辯證唯物主義和歷史唯物主義世界觀”·眾所周知，這兩條目標主要是針對“情感、態(tài)度與價值觀”目標領域的·反觀中學數(shù)學的教學立意，囿于“知識與技能”，甚至狹隘地變形為題海戰(zhàn)術、解題機器還較為普遍，對“過程與方法”的關注不夠，至于“情感、態(tài)度與價值觀”就更鮮有長期滲透（有也多為公開課、評優(yōu)課中的曇花一現(xiàn)），陷入“不會學、怕學、厭學、學不好”困境的學生不在少數(shù)，自然課程目標的達成就無從談起·改變這種現(xiàn)狀，我們一線教師責無旁貸·“授人以魚不如授人以漁”，要“提高學習數(shù)學的興趣，樹立學好數(shù)學的信心”，首先須改變“不會學”狀況，也就是要掌握數(shù)學學習的方法；要學生“具有一定的數(shù)學視野”，教師要先拓展自己的數(shù)學視野，進而引領學生見識、體驗、累積“一定的數(shù)學視野”·其中，閱讀（數(shù)學）教育經典名著，向大師學習，領悟、借鑒、介紹大師們的哲學和學科思想、觀念、治學與研究的原理、方法，是所謂“取法乎上”的可取做法，受過這種文化、精神濡染熏陶，對提高人生境界是有幫助的，對教與學不可能不產生積極影響·基于這樣的看法，本文介紹笛卡兒的方法論，并將之應用于引導高中數(shù)學學習，作些初步探討，不當之處，敬請專家批評指正·

一、笛卡兒方法論的“源”與“流”

蘇教版必修2第二章章末“解析幾何的產生”的閱讀材料，是把笛卡兒作為數(shù)學家來介紹的，但正如M·克萊因所說“Descartes是第一個杰出的近代哲學家，是近代生物學的奠基人，是第一流的物理學家，但只偶爾的是一個數(shù)學家·不過，像他那樣富于智力的人，即使只花一部分時間在一個科目上，其工作也必然是很有意義的·”笛卡兒首先是位哲學家，所以他一般是從哲學的高度來思考、研究學問的，他的視野相對來說也就更開闊，思想更深邃·他所尋找和建立的方法、原則就鮮明地具有追求普適性、一般性和指導性的特征·典型地體現(xiàn)為在《思想的指導法則》中提出“萬能方法”，即“把一切問題歸結為數(shù)學問題，把一切數(shù)學問題歸結為代數(shù)問題，把一切代數(shù)問題歸結為方程”，和1637年發(fā)表的《更好地指導推理和尋找科學真理的方法論》（有不同譯法，筆者手中的是王太慶先生的譯著，全名為《談談正確運用自己的理性在各門學問里尋求真理的方法》，簡稱“談談方法”）·“談談方法”是一本文筆優(yōu)美的哲學經典著作，笛卡兒以“我思故我在”為其哲學中的第一原理，建立自己的理性主義哲學體系，羅素認為“‘我思故我在’是笛卡兒的認識論的核心，包含著他的哲學中最重要之點·笛卡兒之后的哲學家大多都注重認識論，其所以如此主要源于笛卡兒·”從數(shù)學的角度，“談談方法”中的《幾何學》被認為是解析幾何創(chuàng)立的標志，在中國，人們對笛卡兒及其坐標法的認識和評價，還在于恩格斯將笛卡兒的坐標法與對數(shù)的發(fā)明、微積分的建立并稱為17世紀數(shù)學的三大成就，但在笛卡兒本人，這只是他的“副產品”，笛卡兒想要做的是闡述“更好地指導推理和尋找科學真理的方法論”或“談談正確運用自己的理性在各門學問里尋求真理的方法”，作為附錄之一的《幾何學》僅是作為使用新方法的例子，“就是為了證明他的方法是有效的，他相信他已經證明了”（這是笛卡兒所寫的唯一一本數(shù)學書，也是M·克萊因說笛卡兒“只偶爾的是一個數(shù)學家”的原因）·

王太慶先生的譯本“談談方法”中在對哲學、幾何和代數(shù)三門學問做了一番批判后，笛卡兒指出“…去尋找另外一種方法，包含這三門學問的長處，而沒有它們的短處…用不著制定大量規(guī)條構成一部邏輯，單是下列四條，只要我有堅定持久的信心，無論何時何地絕不違反，也就夠了·”第一條是：凡是我沒有明確地認識到的東西，我絕不把它當成真的接受·也就是說，要小心避免輕率的判斷和先入之見，除了清楚分明地呈現(xiàn)在我心里、使我根本無法懷疑的東西以外，不要多放一點別的東西到我的判斷里·第二條是：把我所審查的每一個難題按照可能和必要的程度分成若干部分，以便一一妥為解決·第三條是：按次序進行我的思考，從最簡單、最容易認識的對象開始，一點一點逐步上升，直到認識最復雜的對象；就連那些本來沒有先后關系的東西，也給它們設定一個次序·最后一條是：在任何情況之下，都要盡量全面地考察，盡量普遍地復查，做到確信毫無遺漏·

需要說明的是：上述四條原則也可視為研究方法的四個步驟，是基于笛卡兒理性主義認識論之上的·笛卡兒的“真”，是指“凡屬理性清楚明白地認識到的，都是真的·”；把審查的難題盡可能地分割分細，是為了一下子就能清楚明白地洞察其本質，而且把每一部分透徹認識了則全體（整體）也就得到了可靠的認識·王太慶先生對此評價說“笛卡兒以理性的清楚明白認識作為真理標準”“還不能見到實踐是認識的基礎，也是鑒別真理的唯一標準”“笛卡兒不但沒有達到馬克思的水平，連康德的水平都沒有達到，但是他達到了他那個時代哲學所能達到的高級水平，比經院哲學高明多了·”

笛卡兒對自己創(chuàng)建的方法談了些運用心得和感受：“這種方法叫人遵照研究對象的本來次序確切地列舉它的全部情況”“這種方法最令我滿意的地方還在于我確實感到，我按照這種方法在各方面運用我的理性，雖不敢說做到盡善盡美，至少可以說把我的能力發(fā)揮到了最大限度·此外我還感到，由于運用這種方法，我的心靈逐漸養(yǎng)成了過細的習慣，把對象了解得更清楚、更分明了”“由于嚴格遵守我所選擇的那不多幾條規(guī)則，我輕而易舉地弄清了這兩門學問所包括的一切問題，因此在從事研究的兩三個月里，我從最簡單、最一般的問題開始，所發(fā)現(xiàn)的每一個真理都是一條規(guī)則，可以用來進一步發(fā)現(xiàn)其他真理”·

一般認為，在1960年以前，西方科學研究的方法基本上按照“談談方法”進行的，直到阿波羅1號登月工程的出現(xiàn)，科學家才發(fā)現(xiàn)，有的復雜問題無法分解，必須以復雜的方法來對待，因此導致系統(tǒng)工程的出現(xiàn)，方法論的方法才第一次被綜合性的方法所取代·筆者認為，隨著科技發(fā)展和深入，會拓展新的領域發(fā)現(xiàn)新的問題而新的先進的方法論還會創(chuàng)建，像愛因斯坦的理論超越了牛頓，但并不因此就放棄經典力學一樣，相對于不同的應用范疇、問題復雜程度而言，研究的方法還是具有選擇性的，所以笛卡兒的方法論對現(xiàn)代人的學習和研究仍具有積極指導意義·

二、笛卡兒方法論引導下高中數(shù)學學習的思考

針對數(shù)學學科特點和教學實際，將笛卡兒的方法論引入數(shù)學學習，對學會學習、學會思考應是大有裨益的·

1·遵循笛卡兒方法論的四條規(guī)則和步驟，從操作層上面程序化地指導數(shù)學學習

笛卡兒方法論的四條規(guī)則，也可理解為解決問題、研究對象的四個步驟：先判斷所面臨的問題或對象是否為真，即在理性上是否是清楚明白的→是的，就接受并把它放到“我”的判斷里（作為判斷其他東西的依據(jù)）；否則，將問題或對象進行足夠細的分割→對分割的部分按由易到難、由簡單到復雜的順序，逐個有序地加以考察，先一一看清楚，弄明白，再組合得到原問題的解答→復查檢驗，包括每個步驟，每一種情形，對象的每個側面等，直至確信結論正確無誤（并成為新規(guī)則，用以發(fā)現(xiàn)新的真理）·可以看出，關鍵是對所面對的問題或對象的科學、恰當、合理的分割和排序，這實際上也是方法論應用的主要難點·

數(shù)學是思維的學科，數(shù)學知識內在的邏輯的連貫性和數(shù)學思想方法的一致性是其自身固有的特征，只要“理解數(shù)學”，就可按知識的邏輯順序、發(fā)展軌跡線索自然展開·章建躍老師對此進行了深入研究，就具體數(shù)學對象的研究和學習多次撰文、示范，提出數(shù)學研究和數(shù)學學習的“基本套路”概念，指出“每面對一個數(shù)學新對象，如果都能引導學生按‘背景-定義-表示-分類-（代數(shù)）運算、（幾何）性質-聯(lián)系’的線索展開學習，那么經過長期熏陶，前述數(shù)學教育的根本目標就能得到真正落實”，其中經典的例子包括文4中的“三角形”研究概括：定義—表示—分類（以要素為標準）—性質（要素、相關要素的相互關系）—特例（性質和判定）—聯(lián)系（應用）；定性研究（平直性、對稱性等）—定量研究（面積、勾股定理、相似等）；文5中的復數(shù)問題的基本框架：復數(shù)的背景——為了使負數(shù)能開方，從而使任意多項式方程都能解；復數(shù)的定義——引入一個新符號i（虛數(shù)單位），其意義是i2=－1；復數(shù)的表示——代數(shù)表示、幾何表示；復數(shù)的有關概念——實部、虛部、模，相等，共軛復數(shù)等；復數(shù)的分類——實數(shù)作為復數(shù)的一部分；復數(shù)的運算——加、減、乘、除、乘方、開方及其幾何意義；復數(shù)的聯(lián)系——與向量、三角函數(shù)等的聯(lián)系（“復數(shù)就是向量”，復數(shù)的三角表示，向量的旋轉、伸縮與復數(shù)的乘法等）；某些特殊問題的研究，例如虛數(shù)單位i的性質、復數(shù)的“三角形不等式”、棣莫弗公式、單位根ω的性質等·按照章建躍老師的“基本套路”操作，就可保證分割與定序的科學性、有效性，避免將數(shù)學人為生硬地割裂，結果弄得支離破碎，“識木不易”“見林更難”·

2·滲透笛卡兒方法論中的理性主義的審慎、批判精神，從態(tài)度和觀念上引導數(shù)學學習

“凡是我沒有明確地認識到的東西，我絕不把它當成真的接受·”這首先就是一種科學態(tài)度，實事求是的態(tài)度·笛卡兒方法論中的懷疑是去偽存真的批判，否定的是迷信和幻覺，并不是完全否定感覺，只是認為感覺經驗有片面性，單憑感覺得不到普遍的科學真理，應在全面的理性指導下批判地總結·要實現(xiàn)高中數(shù)學課程目標中的“形成批判性的思維習慣，崇尚數(shù)學的理性精神”，應該從笛卡兒的理性主義哲學和他的方法論中吸取精華、營養(yǎng)和力量·不迷信教師、教科書等權威，就是強調獨立思考、敢于大膽質疑和提出問題；也需要對自己的認識有理性的正確判斷，一個數(shù)學概念的內涵理解得是不是真正到位了？公式、定理的來龍去脈和推導是不是真正搞清弄懂了？很多學不好數(shù)學的學生不是他們的努力不夠，而是概念模糊、原理混亂，滿腦袋裝的是一些似是而非的東西·劉紹學教授在人教A版“主編寄語”中說“數(shù)學易學，因為它是清楚的，只要按照數(shù)學規(guī)則，按部就班，循序漸進地想，絕對可以學懂；數(shù)學是難學的，也因為它是清楚的，如果有人不是按照數(shù)學規(guī)則去學去想，總是把‘想當然’的東西強加給數(shù)學，在沒有學會加法的時候就想去學習乘法，那就要處處碰壁，學不下去了·”“數(shù)學是清楚的”展示的就是數(shù)學的理性精神·數(shù)學的學習，一開始就要養(yǎng)成“概念清、原理透”（郭慧清老師語）的好習慣，數(shù)學課要“講活”“講懂”“講深”（鄭毓信教授語），特別是要重視概念的正誤辨析、命題的真假判斷、學生思維過程暴露、錯解案例剖析等教學環(huán)節(jié)或組織形式，保證學生接受和儲備的都是明確清楚的東西，保證思維的源頭沒被污染，也才能夠展開進一步的數(shù)學學習，如實踐“從基本知識出發(fā)”的思考策略·

3·融合笛卡兒“方法論”與波利亞的“探索法”，從數(shù)學方法論層面引領數(shù)學學習

“掌握數(shù)學意味著什么呢？這就是善于解題（波利亞語）”·

笛卡兒方法論與波利亞的探索法是有其歷史和學術淵源的·波利亞名著《怎樣解題——數(shù)學思維的新方法》中的“怎樣解題表”給出的也是類似4個步驟：第一，理解題目；第二，擬定方案；第三，執(zhí)行方案；第四，回顧·在文6中波利亞不止一次或隱或顯地提及兩者間的聯(lián)系，序言部分“根據(jù)作者對求解方法的長期認真嚴肅的研究來寫就的·這種方法被某些作者稱為探索法……，它有過一段很長的歷史，而且也許還會有其將來”“關于探索法的這一主題和各個方面都有著聯(lián)系·因此數(shù)學家、邏輯學家、心理學家、教育家，甚至哲學家都會提出將它的各個不同部分納入他們各自的專門領域”·在第三部分“探索法小詞典”的“探索法”條目中對探索法的界定做了分析，明確提出“我們的這本小冊子試圖以一種現(xiàn)代而樸素的形式來復興探索法”，由該條目（參看其他資料）我們可以梳理出如下淵源鏈條：古希臘（公元前300年前后）帕普斯→17世紀上半葉笛卡兒→17世紀下半葉到18世紀初德國哲學家和數(shù)學家萊布尼茨→18世紀末到19世紀上半葉捷克邏輯學家和數(shù)學家波爾查諾→20世紀波利亞·

從波利亞的敘述中可以看出笛卡兒的方法論對其“探索法”是有影響的，只是波利亞的探索法以“怎樣解題”為對象，選擇的內容以數(shù)學問題為主，當然也就更適合數(shù)學的學習與研究，特別是在數(shù)學方法論層面，對數(shù)學學習、數(shù)學解題有極大的指導意義·要學生學會解題、拓展，首先要教學生學會思考，鄭毓信教授在文7中對此有深入研究和探討，老師們可以學習·

波利亞解題表中的第二部分是其核心，重點探討的是問題的“分解與組合”技術，對照笛卡兒方法論的第二步，實質上是給出不同分解的可能性建議，聯(lián)系、轉化、變更、改造問題和對象的策略和路徑，借助這些元認知提示語，使我們得以深入問題的各個部分，發(fā)現(xiàn)它們間的內在聯(lián)系，為解題制定計劃、擬定方案提供最大可能，通過不斷實踐，就有望使我們的解題能站在數(shù)學方法論的高度審視、反省我們的解題行為，使我們的思維方向更明確，思維策略更靈活，使解題變成一個充滿智慧和有趣的歷程，確實很值得期待和嘗試，因為“教會學生思考，這對學生來說，是一種最有價值的本錢（贊可夫語）”·

高中數(shù)學課程倡導積極主動、勇于探索的學習方式，高中數(shù)學課程設立“數(shù)學探究”“數(shù)學建模”“研究性學習”等學習活動，將方法論用于這些學習活動的指導是進一步值得研究的問題·

1·莫里斯·克萊因，著·古今數(shù)學思想（二）［M］·朱學賢，等，譯·上海：上?？茖W技術出版社，2002·

2·羅素，著·西方哲學史（下卷）［M］·馬元德，譯·北京：商務印書館，2013·

3·笛卡兒，著·談談方法［M］·王太慶，譯·北京：商務印書館，2014·

4·章建躍·要注重系統(tǒng)思維的培養(yǎng)［J］·中小學數(shù)學（高中），2013（11）·

5·章建躍·邏輯的連貫性和思想方法的一致性［J］·中小學數(shù)學（高中），2013（6）·

6·G·波利亞，著·怎樣解題——數(shù)學思維的新方法［M］·涂泓，馮承天，譯·上海：上?？萍冀逃霭嫔纾?007·

7·鄭毓信·數(shù)學方法論［M］·南寧：廣西教育出版社，1996·

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*本文為江蘇省教育科學“十二·五”規(guī)劃立項課題《“我的課堂”的構建研究》（課題編號：D/2011/02/392，主持人：徐新民）、南通市教育科學“十二·五”規(guī)劃立項課題《基于學生主體的“問題導學”高中數(shù)學課堂模式研究》（課題編號：JY62，主持人：錢鵬）研究成果.