☉江蘇省灌南縣教育局教研室 李太敏

數(shù)學(xué)概念教學(xué)關(guān)于“問題提出”設(shè)計中的錯覺*

☉江蘇省灌南縣教育局教研室 李太敏

數(shù)學(xué)概念是構(gòu)成數(shù)學(xué)內(nèi)容的最基本的單元，是學(xué)生進行數(shù)學(xué)思維的細胞，概念教學(xué)在數(shù)學(xué)課堂各類教學(xué)中具有舉足輕重的地位，而在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中具有重要地位的則是“問題的提出”，正如美國的布魯巴克所說：“最精湛的教學(xué)藝術(shù)，遵循的最高準則就是讓學(xué)生自己提出問題.”要讓學(xué)生能提出問題，關(guān)鍵是教師要善于設(shè)計問題并提出問題，進而引導(dǎo)學(xué)生能解決問題，但在目前的概念教學(xué)中，關(guān)于“問題提出”的教學(xué)設(shè)計中還存在著一些錯覺，本文試從以下四個方面來加以說明.

一、問題提出的嚴謹性錯覺：越嚴密越好——“日常概念”形式化

數(shù)學(xué)概念常可分為三類：其一是反映基本元素的概念，如集合、數(shù)列等；其二是反映相互關(guān)系的概念，如平行、包含等；其三是反映對象特性的概念，如奇偶性、周期性等.［1］這些概念大都具有雙重性，既具有日常概念的特征，又具有科學(xué)概念的特征，其中一些概念，尤其是第一類、第二類中不少概念更是傾向于日常概念的特征（本文簡稱為“日常概念”）.學(xué)生在學(xué)校學(xué)習(xí)之前，他們的心里并不是一張白紙或空瓶子，而是充滿了影響學(xué)生觀察和理解的各種形式、各種層次的原有的概念，即前概念.“日常概念”大都屬于易下定義的概念，它們的定義常常和學(xué)生心中的前概念一致或基本一致，有的概念只是相當(dāng)于一種描述性的甚至是直觀性的概念，只是一種梳理，學(xué)生接受起來也很輕松有效，但為了追求問題的嚴謹性，在“問題提出”的設(shè)計中，有些老師對“日常概念”也進行過分形式化的挖掘與訓(xùn)練，如精心設(shè)計“‘對數(shù)函數(shù)’中的是否對數(shù)函數(shù)？”過分深挖“‘?dāng)?shù)列’中的：｛an｝與｛a1，a2，…，an｝有何不同？一列數(shù)與一列數(shù)的集合有何不同？”反復(fù)研究“‘四種命題’中的：‘我們班50人’是否為命題？真假性如何？”仔細比較“‘對數(shù)’、‘任意角的三角函數(shù)’中：對數(shù)符號log、三角函數(shù)符號sin的后面不含變量是否有意義？”諸如此類.對這些“日常概念”進行種種形式化設(shè)計與訓(xùn)練，都會引起學(xué)生的強烈爭議，效果不佳，看似想加深對概念的理解，實質(zhì)相反，反而影響、干擾了學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解.

正如培根在《新工具書》中所說：“就幫助人們尋求真理而言，三段論的壞作用多于好作用.”［2］數(shù)學(xué)上許多原始的思想，非常樸素而深刻，并不嚴謹，卻十分重要.比如，面積、體積從沒有被定義過，但一直在使用，從概念上講不嚴格，［3］但學(xué)生理解起來并不困難.如果“日常概念”也進行過分形式化，就可能會導(dǎo)致形式化泛濫，效果會適得起反.數(shù)學(xué)的歷史發(fā)展也告訴我們，很少先有抽象的、形式化定義的概念出現(xiàn)，總是經(jīng)過很長時間的發(fā)展，數(shù)學(xué)家們才給出嚴格的形式化的定義，可以這樣說，數(shù)學(xué)概念是在不斷發(fā)現(xiàn)錯誤、糾正錯誤的過程中逐步建立起來的，因此對于“日常概念”的問題提出設(shè)計，不宜過分“嚴謹”，宜防止“日常概念”的形式化傾向.

二、問題提出的趣味性錯覺：越有趣越好——概念背景現(xiàn)實化

“鹽需要溶入湯中，才能被吸收；知識需要溶入情境之中，才能顯示出活力”，情境創(chuàng)設(shè)成為課改后數(shù)學(xué)課堂的一道亮麗風(fēng)景，一些新穎、有趣、富有思考的情境令人拍案叫絕，但也有些教師過于注重教學(xué)的情境化設(shè)計，為了創(chuàng)設(shè)情境而“挖空心思”，卻沒有起到應(yīng)有的作用，從而使“情境創(chuàng)設(shè)”出現(xiàn)了虛假繁榮現(xiàn)象.［4］如在概念教學(xué)中，為了使課堂生動，追求現(xiàn)實中的情境，有些老師提出的問題背景太關(guān)注現(xiàn)實意義，或隨意移植，或隨意想象，大膽的移植和想象，常常能引起學(xué)生的興趣，有的雖真假難辨，但難以值得深究.如教學(xué)內(nèi)容“基本不等式”引入設(shè)計中的：“自己的朋友去購買物品，遇到兩臂不等的天平，商人用兩次稱量結(jié)果的算術(shù)平均數(shù)賣給朋友，問：朋友是虧了還是賺了？結(jié)論是：由于不法商人奸詐，肯定虧了”；“平均變化率”引入設(shè)計中的“為了感覺天氣情況，老師昨晚在外面呆了一夜，感覺非常冷，這是怎么回事呢？結(jié)論是：天氣突然變冷”；“人突然站起時會頭暈，原因何在？結(jié)論是：站得太快，導(dǎo)致血液流動跟不上”等.諸如此類問題的設(shè)計，將概念背景隨意現(xiàn)實化，看似靈活而生動，實質(zhì)上經(jīng)不住推敲，缺乏科學(xué)性.

并不是每一節(jié)課都一定需要聯(lián)系現(xiàn)實背景而從現(xiàn)實情境引入，對于一些不好創(chuàng)設(shè)現(xiàn)實生活情境的教學(xué)內(nèi)容，或一些暫時與學(xué)生的生活實際距離較遠的學(xué)習(xí)內(nèi)容，可利用概念的歷史背景進行導(dǎo)入設(shè)計，或單純從知識上導(dǎo)入，或進行直接傳授也未嘗不可，絕不宜隨意地移植、想象來設(shè)計現(xiàn)實背景從而提出問題，結(jié)果必然是得不償失.如角度制很自然，為何要學(xué)弧度制？這樣的問題從現(xiàn)實背景中去設(shè)計生活情境很難解釋清楚，而從歷史的背景中，正如數(shù)學(xué)家李忠教授所提到的，我們原先熟悉的角度制適用于初等數(shù)學(xué)及實用幾何，而弧度制適用于高等數(shù)學(xué)，弧度制為面積與弧長，以及微積分中有關(guān)三角函數(shù)的計算，帶來很大的方便.正是由于這個原因，在現(xiàn)代數(shù)學(xué)文獻中，與三角函數(shù)有關(guān)的量一律采用弧度制，［5］這樣也許能抓住問題的實質(zhì).

三、問題提出的難易性錯覺：越易接受越好——概念分解自由化

黑格爾說：“用分析方法來研究對象，就好像剝蔥一樣，將蔥皮一層又一層地剝掉，但原蔥已不在.”［3］這正如為了保證學(xué)生能易于接受概念，有些老師在進行相關(guān)問題提出的設(shè)計時，提出的方法“靈活”，大小問題都由老師自由提出，想怎么提就怎么提，常是一些操作性、導(dǎo)向性的問題，像剝蔥一樣，把一個完整的數(shù)學(xué)思維過程加以拆解，把一個大的、整體的數(shù)學(xué)問題自由切割成一系列小問題，導(dǎo)致不少學(xué)生一步步、一個個都會做，卻不知在干啥，思考比較淺層.諸如“函數(shù)奇偶性”的學(xué)習(xí)中將“圖像關(guān)于y軸對稱的函數(shù)的解析式有何特征？”分解為“關(guān)于軸對稱用什么語言？如果點在圖像上，關(guān)于軸的對稱點也在圖像上如何表示？點的對稱點如何表示？點在圖像上如何表示？點的對稱點也在圖像上如何表示？”學(xué)生雖然易于接受，但不知在干啥，問題的解決多限于特殊性解決.

事實上，學(xué)習(xí)并不是簡單的積累，將整體自由分解后，學(xué)生雖容易接受，但要想將原先還原出來并非容易，初中生會忙于一個個因式分解的練習(xí)題，到高中很可能沒形成恒等變形的思想；初中生在學(xué)習(xí)一次函數(shù)的圖像時，只發(fā)現(xiàn)上下平移，不見左右平移，到高中也會受到干擾.把概念從結(jié)構(gòu)上自由地分解，自由地提出問題，學(xué)生像搭積木一樣構(gòu)建概念，只有到積木成型后，才知道在做什么，只是利于記憶，不利于理解、運用.只有了解并根據(jù)概念的來龍去脈，根據(jù)上、下位概念間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)、設(shè)計初始性和整體性的源問題，這樣才能使學(xué)生對提出的問題從整體上進行把握，并能進行深入的思考，才能讓學(xué)生學(xué)會提出問題的方法.

四、問題提出的時效性錯覺：越早越好——概念挖掘初始化

概念常常會有概念群.如具有屬種關(guān)系的概念群：集合—映射—函數(shù)—多項式函數(shù)—二次函數(shù)，算術(shù)數(shù)—有理數(shù)—實數(shù)—復(fù)數(shù)，它們具有線狀概念結(jié)構(gòu)，有的從一般到特殊，有的從特殊到一般，邏輯鏈可長可短，鏈上的概念可疏可密，有的邏輯鏈出現(xiàn)于某一章，有的是整個學(xué)年甚至更長；具有并列關(guān)系的概念群，橢圓、雙曲線、拋物線，柱、錐、臺，奇函數(shù)、偶函數(shù)等，它們具有某種潛在的聯(lián)系，從屬于某個概括程度更高的概念［1］對于概念群，尤其是具有并列關(guān)系的概念群，常常采用類比的方法進行教學(xué)，但在概念獲得的初始階段進行過多的類比以加深對概念的理解，反而會產(chǎn)生干擾，如在“雙曲線的幾何性質(zhì)”的學(xué)習(xí)的初始階段就設(shè)問“我們已學(xué)習(xí)過橢圓，大家能列表將橢圓的性質(zhì)與雙曲線的性質(zhì)進行一一比較嗎？能分清a、b、c之間的關(guān)系有何不同嗎？”這樣對易混內(nèi)容在初始階段進行類比設(shè)計，往往會對部分同學(xué)的學(xué)習(xí)形成干擾.同樣地，舉反例與逐漸深入的變式教學(xué)是非常好的學(xué)習(xí)方式，尤其在習(xí)題教學(xué)時，能起到很好的效果，但是也不能濫用，尤其在概念獲得的初始階段，要慎用.如“平均變化率”中的“若某函數(shù)對于［x1，x2］的平均變化率為正，能否說明該函數(shù)在［x1，x2］上遞增？平均變化率怎樣時，該函數(shù)遞增？平均變化率的正負與函數(shù)的單調(diào)性之間有著怎樣的關(guān)系？能否對y=x3、y=的圖像進行比較？能說明函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、平均變化率與圖像陡峭程度之間的關(guān)系嗎？”像這樣以問題變式的設(shè)計方式進行深挖，尤其是在概念獲得的初始階段，會將細枝末節(jié)主干化，對一些學(xué)生的概念獲得不但幫助甚少，還會起干擾作用.

雖然剛學(xué)習(xí)新概念時，在概念獲得的初始階段關(guān)于問題提出的設(shè)計，不適宜過多的聯(lián)系，不適宜過多的類比、舉反例、變式等深度挖掘，否則會欲速而不達，不僅不能加深理解，反而會沖淡主題，但是學(xué)生在學(xué)習(xí)新概念時的后期，必須要思考與舊概念的關(guān)系，要聯(lián)系與概念群的關(guān)系，要思考概念所嵌入的數(shù)學(xué)外部的情境，包括起源和應(yīng)用，要組成一個有關(guān)聯(lián)的相對穩(wěn)定的認知結(jié)構(gòu)，隨著學(xué)習(xí)的深入，還應(yīng)進一步把認知結(jié)構(gòu)嵌入到更大的認知結(jié)構(gòu)中，所有這些聯(lián)系，都必須在后階段學(xué)習(xí)時刻意追求.

“在數(shù)學(xué)的領(lǐng)域中，提出問題的藝術(shù)比解答問題的藝術(shù)更為重要”，讓每個學(xué)生都學(xué)會提出問題，學(xué)會提出問題的方法吧！

1.季素月.給數(shù)學(xué)教師的101條建議［M］.南京：南京師范大學(xué)出版社，2005.

2.史寧中.《數(shù)學(xué)課程標準》的若干思考［J］.數(shù)學(xué)通報，2007（5）.

3.張奠宙，李士锜，李俊.數(shù)學(xué)教育學(xué)導(dǎo)論［M］.北京：高等教育出版社，2003.

4.李太敏.數(shù)學(xué)情境中創(chuàng)設(shè)的“泡沫”［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2010（1）.

5.李忠.為什么要使用弧度制［J］.數(shù)學(xué)通報，2009（11）.

*本文為江蘇省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃課題“中學(xué)數(shù)學(xué)片斷教學(xué)的自然設(shè)計研究”的相關(guān)成果.