☉浙江省象山縣第二中學(xué) 呂增鋒

基于“自圓其說”理念下的數(shù)學(xué)概念教學(xué)
——由“離心率”概念引發(fā)的思考

☉浙江省象山縣第二中學(xué) 呂增鋒

著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程，就是不斷的建立各種數(shù)學(xué)概念的過程.”李邦河院士認(rèn)為“數(shù)學(xué)根本上是玩概念的，不是玩技巧.技巧不足道也！”高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)也指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)加強(qiáng)對(duì)基本概念和基本思想的理解和掌握，對(duì)一些核心概念和基本思想要貫穿高中數(shù)學(xué)教學(xué)的始終，幫助學(xué)生逐步加深理解.”由此可見，深刻理解并準(zhǔn)確掌握數(shù)學(xué)概念是何等重要.

一、數(shù)學(xué)概念都是人為規(guī)定的嗎

那是一次全縣骨干教師帶徒活動(dòng)的公開課，上課的內(nèi)容是“橢圓的離心率”.我們知道離心率e的取值決定著圓錐曲線的類型，0＜e＜1，出現(xiàn)的是橢圓；e=1，出現(xiàn)的是拋物線；e＞1，出現(xiàn)的是雙曲線.離心率猶如“DNA”，決定著圓錐曲線的形狀.下面是課堂的教學(xué)片段實(shí)錄.

師：橢圓的圓扁程度是由什么決定的？

生：應(yīng)該由a、b決定.

師：假定a不變，當(dāng)b變化時(shí)，橢圓的圓扁程度怎么變？假定b不變，當(dāng)a變化時(shí)，橢圓的圓扁程度怎么變？

生：當(dāng)a不變，b增大時(shí)橢圓越來越圓，b減少時(shí)橢圓越來越扁；當(dāng)b不變，a增大時(shí)橢圓越來越扁，a減少時(shí)橢圓越來越圓.

師：你能不能找到一個(gè)量來表示橢圓的圓扁程度？

（生不知所措）

師：參數(shù)b能不能用a、c來表示？

生：b2=a2-c2.

（這個(gè)問題確實(shí)很難回答，下面看看這兩位教師是如何應(yīng)對(duì)的）

師：因?yàn)檫@是人為的規(guī)定，如果你生在那個(gè)時(shí)代，你也可以規(guī)定用表示橢圓的離心率.

二、做一個(gè)數(shù)學(xué)“考古”學(xué)家

筆者嘗試查找“離心率”的相關(guān)資料，很遺憾，并沒有發(fā)現(xiàn)對(duì)其來龍去脈的詳細(xì)描述.在百度百科中它是這樣描述離心率的.

科技名詞定義

中文名稱：偏心率；英文名稱：relative eccentricity.

定義：偏心距與半徑間隙之比值.

應(yīng)用學(xué)科：機(jī)械工程（一級(jí)學(xué)科）；機(jī)械零件（二級(jí)學(xué)科）；滑動(dòng)軸承（二級(jí)學(xué)科）.

偏心率（離心率，Eccentricity）

橢圓兩焦點(diǎn)間距離和長軸長度的比值.即某一橢圓軌道與理想圓環(huán)的偏離，長橢圓軌道“偏心率”高，而近于圓形的軌道“偏心率”低.

離心率定義為橢圓兩焦點(diǎn)間的距離和長軸長度的比值.

偏心率用來描述軌道的形狀，用焦點(diǎn)間距離除以長軸的長度可以算出偏心率.偏心率一般用e表示.

上面的描述似乎和離心率的起源有些風(fēng)馬牛不相及，但反復(fù)閱讀后還是能夠發(fā)現(xiàn)一點(diǎn)線索，即離心率和天文學(xué)有關(guān).這是一條很有價(jià)值的線索，但單憑這一點(diǎn)顯然不具備充分的說服力，正所謂獨(dú)木難支，應(yīng)該找到更多的線索.那其他的線索在哪里呢？繼續(xù)查找文獻(xiàn)，還是沒有令人滿意的答案.

數(shù)學(xué)概念的形成和發(fā)展都有其深刻的現(xiàn)實(shí)、歷史背景.這一點(diǎn)是毋庸置疑的，但許多數(shù)學(xué)概念的原始生成過程隨著時(shí)間的流逝已經(jīng)“模糊不清”，或隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展逐漸喪失了它原本的面貌，猶如“迷案”一樣，后人根本無法搞清楚到底是怎么一回事.這就需要教師具備“考古”學(xué)家的精神，在看似毫無關(guān)系的線索中尋覓蛛絲馬跡，進(jìn)行大膽的想象和推理，從而找到合理的答案.下面筆者就結(jié)合相關(guān)線索推測(cè)離心率的起源.

首先，離心率一定跟天文學(xué)家有關(guān)，并且在天文學(xué)中廣泛應(yīng)用.這使筆者不禁想起了圓錐曲線的產(chǎn)生背景.盡管圓錐曲線理論早在古希臘時(shí)期就已經(jīng)建立，阿波羅尼奧斯的《圓錐曲線論》更是囊括了圓錐曲線的所有性質(zhì)，以致“后人根本無插足之地”，但圓錐曲線理論得到廣泛應(yīng)用應(yīng)該是得益于16世紀(jì)時(shí)天文學(xué)的發(fā)展.研究天文現(xiàn)象需要計(jì)算行星的運(yùn)行軌道，而這些行星軌道通常就是圓扁程度不一的橢圓，而離心率就是為了描述軌道圓扁程度而引入的一個(gè)量.不僅如此，天文學(xué)家還發(fā)現(xiàn)太陽系的八大行星都是繞著以太陽為焦點(diǎn)的橢圓形軌道運(yùn)行的，這些軌道偏離太陽的程度也不一樣，因此他們就把離心率稱為“偏心率”.并且行星和太陽之間的距離是在變化的，其中在近日點(diǎn)處離太陽最近，偏離距離為a-c，在遠(yuǎn)日點(diǎn)處離太陽最遠(yuǎn)，偏離距離為a+c.當(dāng)然不能直接用最近距離和最遠(yuǎn)距離表示偏心率，因?yàn)檫@兩個(gè)值不僅和運(yùn)行軌道的圓扁程度有關(guān)，還受軌道大小的影響，人們需要構(gòu)造一個(gè)“穩(wěn)定”的量來表示偏心率.最后經(jīng)過反復(fù)嘗試，發(fā)現(xiàn)的值和橢圓大小無關(guān)卻能很好地刻畫橢圓的圓扁程度，因此，大家就選擇了表示離心率.上述推測(cè)從數(shù)學(xué)發(fā)展史的角度很好地解釋了離心率的起源，但還是有些美中不足.難道僅僅是為了“穩(wěn)定”嗎？肯定還存在著其他穩(wěn)定的量同樣可以滿足衡量橢圓圓扁程度的需要，但為什么偏偏是呢？因此，還要繼續(xù)為的合理性、科學(xué)性找理由.

這回從橢圓的定義入手開始推理.橢圓是平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離之和為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡（其中到兩定點(diǎn)的距離之和為2a，常數(shù)為2c，且2a＞2c），定義中涉及的參數(shù)是a和c.另外圓錐曲線的統(tǒng)一定義為“到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離之比為常數(shù)”，而這個(gè)常數(shù)的值恰好是由此可見，a、c是描述橢圓定義乃至圓錐曲線定義的基本參數(shù)，所以用來表示離心率更加名正言順.

三、數(shù)學(xué)概念教學(xué)的“自圓其說”

或許有人會(huì)問：“你的考古結(jié)論一定正確嗎？當(dāng)時(shí)的真相就是這樣嗎？”對(duì)此，筆者無法給出肯定的答案，但至少做到了“自圓其說”.

百度百科：自圓其說

【釋義】圓：圓滿，周全.指說話的人能使自己的論點(diǎn)或謊話沒有漏洞.

從上面的釋義來看，“自圓其說”的貶義成分似乎大于褒義的成分.什么時(shí)候要自圓其說？說謊的時(shí)候？非也，相反筆者認(rèn)為“自圓其說”是教師必備的基本素養(yǎng).面對(duì)學(xué)生求知的渴望、疑惑的眼神，教師必須要做到“自圓其說”.試想一下，教師若不會(huì)自圓其說，即使所傳授的知識(shí)是正確的、科學(xué)的，恐怕也很難讓學(xué)生心服口服；教師若能夠做到自圓其說，即使表述的理由稍有瑕疵，反而有助于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解.正是為了能夠在課堂教學(xué)中順利地實(shí)現(xiàn)自圓其說，所以教師要挖掘教材，創(chuàng)造性地使用教材，查閱相關(guān)文獻(xiàn)，展開想象推理.因此，筆者認(rèn)為有必要賦予“自圓其說”新的內(nèi)涵，那就是：“‘圓’數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生背景，‘圓’知識(shí)間內(nèi)在的聯(lián)系，從而促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解.”

當(dāng)然，有一點(diǎn)需要強(qiáng)調(diào)，那就是千萬不要把“自圓其說”誤讀為“胡編亂造”.教師應(yīng)該是“考古”學(xué)家，考古應(yīng)該做到科學(xué)、嚴(yán)謹(jǐn)，在立足基本事實(shí)的基礎(chǔ)上再進(jìn)行合情合理的想象和推測(cè).那么，具體該如何實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的自圓其說呢？

1.梳理數(shù)學(xué)發(fā)展史中的脈絡(luò)，實(shí)現(xiàn)“自圓其說”

大數(shù)學(xué)家龐加萊曾指出：“如果我們想要預(yù)見數(shù)學(xué)的將來，適當(dāng)?shù)耐緩绞茄芯窟@門科學(xué)的歷史與現(xiàn)狀.”歷史是人類最寶貴的精神財(cái)富，“以史為鑒，可以明得失”，以數(shù)學(xué)史為鑒，可以讓你讀懂?dāng)?shù)學(xué).閱讀數(shù)學(xué)史，你看到的不僅僅是智慧的光芒，還有數(shù)學(xué)家的喜怒哀樂，恩怨情仇.因此數(shù)學(xué)并不是“僵化”的，而是“鮮活”的.如果說數(shù)學(xué)史是一片片生機(jī)盎然的綠葉的話，那么那些細(xì)如發(fā)絲、縱橫交錯(cuò)的葉脈就是數(shù)學(xué)概念形成和發(fā)展的軌跡，而我們要做的就是耐下心來，仔細(xì)梳理這些葉脈的走向，從而實(shí)現(xiàn)自圓其說.

2.尋找數(shù)學(xué)在生活中的“影子”，實(shí)現(xiàn)“自圓其說”

人們常說“數(shù)學(xué)源于生活”，的確如此.數(shù)學(xué)最早的作用就是為了解決生產(chǎn)、生活中的實(shí)際問題，但隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，數(shù)學(xué)在解決應(yīng)用問題的同時(shí)還使人們產(chǎn)生莫大的成就感、滿足感，于是就出現(xiàn)了數(shù)學(xué)家這個(gè)職業(yè).他們研究數(shù)學(xué)不會(huì)首先去考慮如何應(yīng)用，而是希望通過建立一系列的規(guī)則、理論使數(shù)學(xué)在邏輯上實(shí)現(xiàn)完美推理.至此，數(shù)學(xué)已經(jīng)從最初的“應(yīng)用工具”上升到“思維體操”，這也標(biāo)志著數(shù)學(xué)開始“高于生活”了.數(shù)學(xué)一旦“高于生活”，就不可避免地會(huì)產(chǎn)生“脫離生活”的危險(xiǎn)，這也就不難理解為何有些數(shù)學(xué)概念是如此的抽象，讓人費(fèi)解.但無論如何，數(shù)學(xué)的根還在生活，而教師要做的就是讓數(shù)學(xué)回歸生活，從生活中尋找數(shù)學(xué)概念的影子，從而實(shí)現(xiàn)自圓其說.

3.重建數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)“自圓其說”

大家都知道，各類數(shù)學(xué)知識(shí)之間不是相互孤立的，而是有著千絲萬縷的聯(lián)系.比如，有很多數(shù)學(xué)新知識(shí)都是在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上形成和發(fā)展起來的；前面的知識(shí)是后面的知識(shí)的基礎(chǔ)，后面的知識(shí)又是前者的發(fā)展，從而造就了數(shù)學(xué)的整體性和連續(xù)性.隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，各類數(shù)學(xué)知識(shí)開始相互整合.整合的結(jié)果就是形成了眾多的數(shù)學(xué)分支.這些數(shù)學(xué)分支有著各自獨(dú)立的理論基礎(chǔ)和思維模式，于是它們之間的鴻溝開始擴(kuò)大，界限也日漸分明，它們最初那種天然的聯(lián)系也變得不那么明顯，不被人所重視.但無論數(shù)學(xué)怎么發(fā)展，它都應(yīng)該是一個(gè)整體，在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，可通過重建數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系達(dá)到自圓其說的目的.

4.站在其他學(xué)科的獨(dú)特視角，實(shí)現(xiàn)“自圓其說”

各學(xué)科原本就是互相聯(lián)系、互相滲透的.可以毫不夸張地說，很多學(xué)科“五百年前就是一家”.比如，物理、數(shù)學(xué)都源于自然哲學(xué)，化學(xué)的出現(xiàn)更是和煉金術(shù)密不可分.因此，對(duì)任何一門學(xué)科的教學(xué)，都不能單純地依靠對(duì)這門學(xué)科本身的研究，特別是對(duì)數(shù)學(xué)這樣一個(gè)深入到自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)各個(gè)領(lǐng)域的有影響的學(xué)科，更應(yīng)該試著跳出學(xué)科本身的范疇，爬到其他學(xué)科的肩膀上去實(shí)現(xiàn)自圓其說.

綜上所述，筆者認(rèn)為“自圓其說”不僅是一種手段，還應(yīng)該是一種教學(xué)理念，為追求數(shù)學(xué)概念的真相而“衣帶漸寬終不悔，為伊消得人憔悴”的理念.

1.呂增鋒.數(shù)學(xué)概念教學(xué)貴在“自圓其說”［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上），2011（3）.

2呂增鋒，邵興專.數(shù)學(xué)習(xí)題課四種“上法”的“性價(jià)比”分析［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2014（10）.