☉江蘇省新海高級(jí)中學(xué) 霍小偉

心中有生，貼地而行
——“二元一次不等式表示的平面區(qū)域”教學(xué)案例

☉江蘇省新海高級(jí)中學(xué) 霍小偉

在教學(xué)中，很多教師受傳統(tǒng)知識(shí)觀的影響，把手中的教材當(dāng)成是“法寶”“萬能工具”，死板教條地從事著自己的教育工作，認(rèn)為只要把前人整理好的知識(shí)理解了，然后教給學(xué)生，千方百計(jì)地讓他們記住了，以后就可以去解決靈活多變的實(shí)際問題，就能應(yīng)付不斷變化的大千世界.這樣的教學(xué)，過分強(qiáng)調(diào)書本知識(shí)的權(quán)威、標(biāo)準(zhǔn)答案的權(quán)威、教師的權(quán)威，慢慢地學(xué)生便習(xí)慣于對(duì)“快餐知識(shí)”的接受.長(zhǎng)期這樣下去，學(xué)生便將書本知識(shí)奉為“真理”，將教師的講解當(dāng)成“圣旨”，對(duì)已有觀念缺乏檢驗(yàn)，沒有自己的思想，雖然擁有大量的知識(shí)，但卻不知厚積薄發(fā).

因此平時(shí)的教學(xué)中，教師要心中有學(xué)生，俯下身子“蹲”在學(xué)生的角度看待問題，教學(xué)不能高高在上，要接地氣，貼地而行.在日常的教學(xué)活動(dòng)中，我們不僅要充分發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用，積極引導(dǎo)學(xué)生的認(rèn)識(shí)方向，還要讓學(xué)生的主體性得以充分地發(fā)揮.教師在課堂教學(xué)中要想學(xué)生所想，要經(jīng)常研究學(xué)生會(huì)在哪些地方感到有疑惑，他們喜歡什么.教師只有做到這些，主導(dǎo)性作用才能得以體現(xiàn)，才能切切實(shí)實(shí)地調(diào)動(dòng)起學(xué)生的主觀能動(dòng)性.學(xué)生才能夠積極主動(dòng)地、自覺自愿地參與到學(xué)習(xí)中去.本章主要結(jié)合“二元一次不等式表示的平面區(qū)域”教學(xué)案例實(shí)際，談?wù)勗诮虒W(xué)中筆者自己的一些想法和設(shè)計(jì).這節(jié)課的重點(diǎn)是理解二元一次不等式表示的平面區(qū)域，會(huì)畫二元一次不等式表示的平面區(qū)域，難點(diǎn)是如何尋求二元一次不等式表示的平面區(qū)域，筆者重點(diǎn)設(shè)計(jì)了下面四個(gè)環(huán)節(jié)，有梯度地完成了本節(jié)課的教學(xué).

一、創(chuàng)設(shè)情境，引出課題

問題：已知圓的方程為x2+y2=r2（r>0），平面直角坐標(biāo)系中任一點(diǎn)P（a，b）與圓有什么樣的關(guān)系？如何用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)？

生：若點(diǎn)在圓上，則滿足a2+b2=r2；若點(diǎn)在圓內(nèi)，則滿足a2+b2r2.

師：若將任一點(diǎn)P（a，b）的坐標(biāo)換成P（x，y），結(jié)果又如何表示？

生：依次為x2+y2=r2；x2+y2r2.

師：它們分別代表什么樣的平面區(qū)域？

生：分別代表圓、圓內(nèi)、圓外.

點(diǎn)評(píng)：找了一個(gè)貼近學(xué)生認(rèn)知的平臺(tái)，既關(guān)注了學(xué)生現(xiàn)有的思維發(fā)展區(qū)，又走向了學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)，引導(dǎo)學(xué)生思考，教會(huì)學(xué)生感知數(shù)學(xué)，很自然地為后面提出課題做好了鋪墊工作.

二、類比思考，學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)

教師追問：通過上述圓的問題，我們發(fā)現(xiàn)x2+y2=r2表示的平面區(qū)域是圓，而不等式x2+y2r2表示的平面區(qū)域是圓外.那么點(diǎn)集{（x，y）| y>x+2}表示怎樣的平面區(qū)域？

點(diǎn)評(píng)：由于引例中圓的問題的鋪墊，學(xué)生很容易通過類比遷移理解上述不等式表達(dá)的平面區(qū)域與直線y= x+2息息相關(guān)，猜想出結(jié)果.

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“學(xué)生是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主人，教師是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者.課堂教學(xué)中教師應(yīng)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，向?qū)W生提供充分從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的機(jī)會(huì)，幫助他們?cè)谧灾魈剿骱秃献鹘涣鞯倪^程中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).”為了進(jìn)一步檢驗(yàn)猜想正確與否，筆者很大方地將下面的活動(dòng)放手交給了學(xué)生.

活動(dòng)1：實(shí)踐（給出幾個(gè)點(diǎn)代入）.

活動(dòng)2：猜想（結(jié)論）.

活動(dòng)3：證明（結(jié)論）.

活動(dòng)4：點(diǎn)集{（x，y）|y>-x+2}與{（x，y）|x-y-2>0}表示怎樣的平面區(qū)域？你有簡(jiǎn)便的判斷方法嗎？

最終在學(xué)生“自主探索”與筆者“有效引導(dǎo)”激情共舞下，圓滿解決了問題，并初步總結(jié)出判斷方法：直線定界，特殊點(diǎn)定域.

點(diǎn)評(píng)：通過問題串的層層推進(jìn)，由淺入深，培養(yǎng)學(xué)生的類比能力和化歸能力，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和自主探究的精神.

三、自主探索，形成結(jié)論

在前面活動(dòng)的引領(lǐng)下，初嘗甜頭的學(xué)生很自然地提出更具一般性的結(jié)論.筆者也順理成章地引出了本節(jié)課的課題“二元一次不等式表示的平面區(qū)域”.

活動(dòng)5：一般地，直線y=kx+b將平面分成兩個(gè)區(qū)域，____________表示直線上方的平面區(qū)域；____________表示直線下方的平面區(qū)域.

活動(dòng)6：對(duì)于二元一次不等式Ax+By+C>0（A2+B2≠0），如何確定它所表示的平面區(qū)域？（對(duì)B進(jìn)行討論）

請(qǐng)完成下面的表格.

思考：能否對(duì)A進(jìn)行討論呢？請(qǐng)你試著自己列個(gè)表格.試試看，相信你一定很棒的！

點(diǎn)評(píng)：在活動(dòng)4的解決過程中，學(xué)生積累了經(jīng)驗(yàn).可用化歸法，也可用特殊點(diǎn)法來完成活動(dòng)5和活動(dòng)6.通過表格的填寫，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，提高了由特殊到一般的自主歸納、整理知識(shí)點(diǎn)的能力.最后師生共同總結(jié)，得出簡(jiǎn)便的判斷方法：方法1是直線定界，特殊點(diǎn)定域；方法2是A正分左右，B正分上下（A、B分別是直線的一般式方程中x、y前的系數(shù)）.

四、發(fā)現(xiàn)創(chuàng)造，展示成果

有了前面的總結(jié)，筆者及時(shí)地補(bǔ)充了幾個(gè)練習(xí)，檢驗(yàn)教學(xué)效果.

畫出下列不等式所表示的平面區(qū)域：

（1）y≥3；（2）x-6≤0；（3）y>-2x+1；（4）x-y+4<0.

點(diǎn)評(píng)：通過由特殊直線到一般直線，深化所學(xué)知識(shí)，感受判定的一般性方法.

當(dāng)然，學(xué)生才是教學(xué)活動(dòng)的主角，要讓他們的思維一發(fā)不可收拾.

活動(dòng)7：你們能相互出幾個(gè)題目給你的同桌做做嗎？試試看！

活動(dòng)8：我們能否反過來看問題呢？說說你的想法，和我們大家分享一下吧！

（給出平面區(qū)域，反過來寫二元一次不等式或不等式組）

點(diǎn)評(píng)：通過這兩個(gè)活動(dòng)，留給學(xué)生適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)空白，給足學(xué)生質(zhì)疑時(shí)間與空間，通過這樣的過程培養(yǎng)他們的逆向思維，引導(dǎo)他們思考，必要時(shí)為了保障教學(xué)質(zhì)量，教師可用幾何畫板針對(duì)性地畫出幾個(gè)平面區(qū)域，讓學(xué)生寫出相應(yīng)二元一次不等式組，達(dá)到深化所學(xué)知識(shí)的目的.在活動(dòng)中，教會(huì)他們思考，讓學(xué)生在自身的認(rèn)知建構(gòu)過程中，瞄準(zhǔn)方向，針對(duì)性地進(jìn)行質(zhì)疑探究，通過自己的努力，取得累累碩果.

接著筆者將班級(jí)分成若干小組，探討下面兩個(gè)活動(dòng).

活動(dòng)9：點(diǎn)集{（x，y）|y>x2}表示怎樣的平面區(qū)域？你能畫出來嗎？試試看！

給出與曲線方程有關(guān)的平面區(qū)域，你能寫出相應(yīng)的不等式（或不等式組）嗎？

活動(dòng)10：點(diǎn)到直線的距離公式中的絕對(duì)值你能用今天學(xué)到的知識(shí)將它去掉嗎？

點(diǎn)評(píng)：筆者通過活動(dòng)9與活動(dòng)10，提升了學(xué)生的思維層次，與引例圓的問題首尾呼應(yīng)，起到了畫龍點(diǎn)睛的作用.在學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)提出問題，由直線到曲線，教會(huì)學(xué)生類比思考，學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，讓學(xué)生感受到“跳一跳就摘到桃”的喜悅，在互動(dòng)探究中培養(yǎng)了學(xué)生合作交流的能力，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情.如果按照教學(xué)進(jìn)度暫時(shí)不提，學(xué)生就會(huì)失去一次思維訓(xùn)練的良好機(jī)會(huì).教學(xué)中要活用教材，要在教材的使用過程中融入自己的科學(xué)精神和智慧，教材不等于教學(xué)內(nèi)容，教學(xué)內(nèi)容應(yīng)大于教材.

數(shù)學(xué)家陳省身曾說過這樣一句話，數(shù)學(xué)本來是“好玩”的，孩子們也是很有好奇心的，可是我們教師若把數(shù)學(xué)講得干巴巴的，就會(huì)激發(fā)不了孩子的興趣，進(jìn)而扼殺了他們的好奇心，數(shù)學(xué)自然就難學(xué)了.其中的“好玩”，我們不能淺顯地把它理解成是童趣幼稚的好玩，而是利用數(shù)學(xué)思維，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)本質(zhì)的好玩.教學(xué)要基于教材，但又不能拘泥于教材，要學(xué)會(huì)變通，學(xué)會(huì)創(chuàng)造.教學(xué)要針對(duì)學(xué)生，對(duì)教材的使用方式不同，學(xué)生的參與方式也不同.教學(xué)時(shí)要結(jié)合教師個(gè)人的教學(xué)風(fēng)格，創(chuàng)造性地使用教材.本節(jié)課筆者心中始終裝著學(xué)生，通過一個(gè)問題十個(gè)活動(dòng)，站在學(xué)生的角度，貼近學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，層層推進(jìn)，很接地氣地調(diào)動(dòng)了學(xué)生的積極性，培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)造性思維，讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)進(jìn)而學(xué)會(huì)學(xué)習(xí).

當(dāng)然，為了避免學(xué)生進(jìn)入“死胡同”，教師應(yīng)做好示范工作，可以給學(xué)生提供足夠的事例，讓學(xué)生通過自行檢驗(yàn)，最后從特殊到一般提煉出概念和原理.在教學(xué)中，有了教師有效的指導(dǎo)，學(xué)生的參與度會(huì)越來越大，思維發(fā)展越來越快，成就感自然也就越來越高了.當(dāng)學(xué)生在教師的適當(dāng)引領(lǐng)下，自己學(xué)會(huì)了如何去學(xué)習(xí)，從什么方向去自主研究，發(fā)現(xiàn)了數(shù)學(xué)的樂趣，并會(huì)主動(dòng)建構(gòu)自己的知識(shí)時(shí)，那么學(xué)生就會(huì)處于一種自覺的思維活動(dòng)中，他的問題解決能力的提高就是水到渠成的事情，我們的教學(xué)效果自然也就達(dá)到了最大化.

1.張孝達(dá)，陳宏伯，李琳.數(shù)學(xué)大師論數(shù)學(xué)教育［M］.杭州：浙江教育出版社，2007.

2.中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）［M］.北京：人民教育出版社，2003.A