☉安徽省碭山中學(xué) 胡云浩

2015年全國新課標(biāo)I卷理科第20題的深度探究

☉安徽省碭山中學(xué) 胡云浩

一、問題提出

題目（2015年全國新課標(biāo)Ⅰ理科第20題）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線與直線y=kx+a（k>0）交于M、 N兩點.

（Ⅰ）當(dāng)k=0時，分別求C在點M和N處的切線方程；

（Ⅱ）y軸上是否存在點P，使得當(dāng)k變動時，總有∠OPM=∠OPN？說明理由.

本題的（Ⅱ）主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識和運算求解的基本技能，考查推理論證及數(shù)形結(jié)合的思想.立意深刻、內(nèi)蘊厚重.那么本題能否推廣為一般情況呢？即已知拋物線x2=2py（p>0），如果過定點（0，m）（m>0）且不與y軸垂直的直線l交拋物線C于M、N兩點，那么y軸上是否存在定點P，使得y軸是∠MPN的平分線呢？它的逆命題是否成立呢？對于橢圓與雙曲線是否具有類似的性質(zhì)？還有什么變式嗎？本文將予以探究.

二、問題探究

探究1：已知拋物線C：x2=2py（p>0），如果過定點（0，m）（m>0）且不與y軸垂直的直線l與拋物線C交于M、N兩點，那么y軸上是否存在點P，使得y軸是∠MPN的平分線呢？

解析：假設(shè)存在點P（0，b），設(shè)直線l的方程為y=kx+ m（k≠0），M（x1，y1），N（x2，y2），直線PM、PN的斜率分別為k1、k2.將y=kx+m代入C，整理得x2-2pkx-2pm=0，則x1+x2= 2pk，x1x2=-2pm.所以k1+k2=.要使∠OPM=∠OPN，只需k1+k2=0即可.因為k≠0，故要使k1+k2恒等于0，只需m+ b=0，即b=-m即可.故y軸上存在點P（0，-m），使得y軸是∠MPN的平分線.

探究2：探究1的逆命題成立嗎？即已知拋物線C：x2= 2py（p>0），點P（0，-m）（m>0），設(shè)不與y軸垂直的直線l與拋物線C交于M、N兩點，如果y軸是∠MPN的平分線，那么直線l是否恒過一定點呢？

解析：設(shè)直線l的方程為y=kx+b（k≠0），M（x1，y1），N（x2，y2），直線PM、PN的斜率分別為k1、k2.因為y軸是∠MPN的平分線，故有k1+k2=0.將y=kx+b代入C，整理得x2-2pkx-2pb=0，x1+x2=2pk，x1x2=-2pb.所以=0.因為k≠0，故有b=m，即直線l恒過定點（0，m）.

由探究1、2可得如下結(jié)論：

定理1：已知拋物線C：x2=2py（p>0），設(shè)不與y軸垂直的直線l交拋物線于M、N兩點，則直線l過定點（0，m）（m> 0）的充要條件為y軸上存在點P（0，-m），使得y軸是∠MPN的平分線.

解析：假設(shè)存在點P（n，0），設(shè)直線l的方程為x=ty+ m（t≠0），M（x1，y1），N（x2，y2），直線PM、PN的斜率分別為k1、k2.將x=ty+m代入，整理得（b2t2+a2）y2+2b2tmy+ b2（m2-a2）=0，則要使∠OPM=∠OPN，只需k1+k2=0即可.所以，因為t≠0，所以mn-a2=0，即，故x軸上存在點），使得x軸是∠MPN的平分線.

解析：設(shè)直線l的方程為x=ty+n（t≠0），M（x1，y1），N（x2，y2），直線PM、PN的斜率分別為k1、k2.將x=ty+n代入，整理得（b2t2+a2）y2+2b2tny+b（2n2-a2）=0，則y1+因為x軸平分∠MPN，所以k1+k2=0.

由探究3、4可得如下結(jié)論：

同理可得雙曲線類似性質(zhì)：

三、定理變式

經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)，由定理1、2、3可以分別得到各自的變式.

對于拋物線C：x2=2py（p>0），由定理1可知，直線l恒過定點（0，m）（m>0）的充要條件為y軸上存在點P（0，-m），使得y軸是∠MPN的平分線.因為y軸平分∠MPN，故直線PM、PN一定關(guān)于y軸對稱.因為直線l不垂直y軸，所以M、N不關(guān)于y軸對稱.設(shè)直線PM與C交于另一點R，則R、N一定關(guān)于y軸對稱.這樣可得定理1的變式：

定理1的變式：已知拋物線C：x2=2py（p>0），點P（0，-m）（m>0），設(shè)不與y軸垂直的直線l交拋物線C于M、N兩點，直線PM與C交于另一點R，則R、N關(guān)于y軸對稱的充要條件為直線l恒過定點（0，m）.

推論1：已知拋物線C：x2=2py（p>0），點），設(shè)不與y軸垂直的直線l交拋物線C于M、N兩點，直線PM與C交于另一點R，則R、N關(guān)于y軸對稱的充要條件為直線l過焦點

注：對于焦點在y軸上的橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點在x軸上的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程類比探究，可得類似結(jié)論.

四、高考鏈接

例1（2013年陜西卷理科第20題）已知動圓過定點A（4，0），且在y軸上截得的弦MN的長為8.

（Ⅰ）求動圓圓心的軌跡C的方程；

（Ⅱ）已知點B（-1，0），設(shè)不垂直于x軸的直線l與軌跡C交于不同的兩點P、Q，若x軸是∠PBQ的平分線，證明直線l過定點.

解析：（Ⅰ）y2=8x.

（Ⅱ）類比定理1易得直線l過定點（1，0）.

例2（2010年全國卷I理科第21題）已知拋物線C：y2=4x的焦點為F，過點K（-1，0）的直線l與C相交于A、B兩點，點A關(guān)于x軸的對稱點為D．

（Ⅰ）證明：點F在直線BD上；

（Ⅱ）略.

解析：由條件知焦點F（1，0），點A、D關(guān)于x軸的對稱，直線BD不與x軸垂直，類比推論2可得直線BD過焦點F，即點F在直線BD上.

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）如圖1，若AB為垂直于x軸的動弦，直線l：x=4與x軸交于點N，直線AF與BN交于點M.

（1）求證：M點恒在橢圓C上；

（2）略.