季愛民

1926年，拉姆齊首倡“概率即部分信念”的主觀主義概率觀。1937年，菲尼蒂建構(gòu)了關(guān)于相信度的主觀概率理論。之后，薩維奇等主觀貝葉斯學者對主觀概率理論進行了拓展，使概率具有了私人性質(zhì)，成為個體相信度的一種測度。薩維奇認為：“私人的觀點認為概率是測度一個特殊的個體對一特殊的命題的真實性的信心。例如，明天將下雨。這些觀點要求被涉及的個體在某些方面是‘合理的’，但是他們并不否認兩個理性的個體面對相同的證據(jù)，對相同的命題的真實性，他們將可能有著不同的信心程度?！盵1]在薩維奇之后，“主觀概率的方法開始逐漸在各個領(lǐng)域受到人們的尊重，‘主觀貝葉斯主義’這個學術(shù)標簽在決策領(lǐng)域越來越流行，它的發(fā)展和應用已經(jīng)深深地深入到自然科學和社會科學之中。”[2]而主觀主義概率論者建構(gòu)主觀概率理論的基礎(chǔ)就在于一致性條件及其荷蘭賭論證。

一、一致性條件

“主觀概率論的闡發(fā)者拉姆齊和菲尼蒂將個體的部分信念定義為公平賭商，通過公平賭商必須滿足概率演算公理，將部分信念與主觀概率聯(lián)系起來，給出的理由是荷蘭賭論證。對于一個理性的個體而言，如果他不想遭遇一個荷蘭賭，他的賭商只有符合一致性條件。”[3]這個部分信念或者賭商的約束條件在拉姆齊和菲尼蒂那里實質(zhì)相同，只不過表述有異。拉姆齊稱為一致性（Consistency），他認為“我們的每一個定義都伴隨著一個一致性的公理（axiom of consistency）；只要這是錯的，其相應的相信度這個概念也就成為無效的了?！盵4]61菲尼蒂稱為一貫性（Coherency），“正是這個一貫性條件構(gòu)成了人們由以引出整個概率演算的唯一原則：因而這個演算看起來象一組規(guī)則，同一個人對于各種事件的概率的主觀求值應該與這組規(guī)則相符合，如果其中沒有根本的矛盾的話?！盵4]86

從形式上看，賭商的變化范圍和數(shù)學上的概率數(shù)值的變化范圍重合，如果主觀概率理論能和數(shù)學上的概率理論做到實質(zhì)性的對應，那自然要考慮定義部分信念的賭商能不能滿足概率公理，這就需要對賭商有一個約束性的一致性條件。這可堪稱主觀主義概率論者最成功的地方，由此主觀概率的數(shù)學基礎(chǔ)得以獲得。因為在給事件進行概率分配時，每一個人都可以自由表達他的觀點。正如菲尼蒂所言，觀眾在錦標賽中可以根據(jù)自己的主觀態(tài)度來自由選擇每一隊獲勝的概率，理論不能先驗地拒斥他的判斷。不過，這種對概率或者賭商的看似寬泛的選擇，也有約束條件。如果概率的選擇使得別人可以以必勝的方式與他打賭，那么“人們顯然會說，這個人在概率求值中包含了一種不一貫性，一個內(nèi)在矛盾；”[4]86相反，如果他的選擇使得別人在和他打賭時沒有辦法通過選擇賭商來必然取勝，那么“我們將說，這個人是首尾一貫的?！盵4]86這就是說，每個個體為了做到首尾一貫，他的賭商要符合某一法則。

對于一致性約束條件，拉姆齊和菲尼蒂都獨立地通過對打賭的分析得出并且給予了嚴格證明。拉姆齊提到：“這些就是概率律(laws of probability)，我們已經(jīng)證明了對于任何一致的相信度集合，它們都必然成立?！绻魏稳说乃季S活動違背了這些定律，……這可能會使得一個狡猾的打賭者專門找他打賭，并且在任何情況下他都總是會輸。因而，我們發(fā)現(xiàn)對部分信念的精確說明揭示了概率律就是一致性律，是擴展到部分信念的形式邏輯，即一致性邏輯?！盵4]62如果測定部分信念的賭商不滿足概率律，那么打賭時肯定使得自己處于必輸境地，而一個確定的、必定遭受損失的事實，對打賭的個體而言肯定不合理，這說明該個體的部分信念不滿足一致性條件。所以，這些概率公理對于滿足一致性的相信度集合都必然成立，對于任何一個理性的個體而言，概率律就是一致性律。菲尼蒂在《預見：其邏輯規(guī)律與主觀根源》中認為：“采用了主觀定義，就容易從一個非常自然的條件中嚴密地引出這些邏輯規(guī)則，這就是一貫性條件，它使我們不得不小心謹慎地計算概率，不管發(fā)生什么情況，決不讓一個與我們打賭的對手通過對各種事件的賭注的審慎組合而具有取勝的把握?；径ɡ恚ㄈ怕?、復合概率）僅僅是這些基本條件的直接推論?！盵4]141在文中，他給予了嚴密的論證。以全概率定理為例，他指出：“讓我們看看如何根據(jù)這個觀點證明全概率定理?！O(shè) E1，E2，…En為不相容事件，……，設(shè) P1，P2，…Pn為一特定的人所求出的它們的概率；……，結(jié)果是，一貫性迫使我們加上這樣一個條件：P1+P2…+Pn=1。”[4]86-87他指出這個一貫性條件和滿足概率公理是充分必要條件的關(guān)系，因為，如果它被滿足，所得的收益永遠不可能為正，而不管賭注是什么。“這樣，就有了下面這種形式的全概率公理：在不相容事件的一個完全類中，概率的總和必然等于1?！盵4]87這也正如豪森所言：“因此，我們得到基本的定理：P1，……，Pn是一致的當且僅當它們是概率函數(shù)。”[5]162菲尼蒂除了證明一貫性和全概率公理外，還證明了條件概率的定義和概率乘法定理，嚴密地論證了賭商的一貫性條件和賭商滿足概率演算公理確實互為充要條件，一貫性條件由此成為整個概率演算的唯一原則。

在拉姆齊論述中，作為中間過度環(huán)節(jié)的“在任何情況下他只會是輸”的賭就是“荷蘭賭（Dutch Book）”或者稱之為“大棄賭”。這是一種特殊的賭，因為不論所打賭的事件發(fā)生與否，都可以使得參與打賭的一方處于必輸?shù)木车?。一致性條件是指：某人的賭商是一致的當且僅當他的對手不可能通過選擇打賭的方式（例如改變賭注的大小）使得他總是輸。如果一個狡詐的對手和他進行打賭，使得他總是輸，那么對他而言就發(fā)生了一個荷蘭賭。因此，為了在打賭中不遭受損失，他勢必要保持自己賭商的一致性。

主觀概率理論之所以可以使得概率論的邏輯規(guī)律能在主觀主義觀點中被嚴格地確立，就是因為這個一致性條件對于賭商滿足概率公理既是充分條件又是必要條件，即拉姆齊所說的概率律就是一致性律。

二、主觀概率演算系統(tǒng)

拉姆齊和菲尼蒂建立主觀概率的思路都是通過荷蘭賭論證，如果他們提出的荷蘭賭論證得到證明而成為一個嚴格的荷蘭賭定理，那么他們的概率理論也就因此得到一個主觀基礎(chǔ)。論證荷蘭賭定理之前，需要先闡明主觀主義的概率演算系統(tǒng)，以及荷蘭賭的基本模型。

因為滿足柯爾莫哥洛夫建立的公理系統(tǒng)提出的概率函數(shù)是數(shù)理概率，而不是主觀概率，這意味著主觀主義者的概率公理和柯爾莫哥洛夫公理系統(tǒng)有區(qū)別。菲尼蒂已經(jīng)提到了這個不同點，有“全概率定理不能運用于無窮多或甚至可數(shù)量的事件的場合”[4]92，這就是說，在柯爾莫哥洛夫公理系統(tǒng)中，對無限集合而言的可列可加性公理，應該改進為僅包括有限事件集合性質(zhì)的有限可加性公理。理由在于，在可列可加性的系統(tǒng)中，一些事件是不能依概率測定的不可測事件，而主觀概率要求每一個事件都可以預測。拉姆齊對此持有相同觀點，他說：“我們還沒有談到當可選擇對象數(shù)量無限的時候相信度的情況。關(guān)于這一點我沒有什么可說的，我只是懷疑大腦能否考慮多于有限數(shù)量的可選擇對象。它能夠考慮有無限多的可能答案問題，但是為了要考慮這些答案，就必須要把它們歸并在有限數(shù)量的類別之中。”[4]63薩維奇也贊同并且拓展了主觀概率的有限可加性系統(tǒng)，發(fā)展了一個更具廣泛基礎(chǔ)的公理系統(tǒng)。

這樣一來，對主觀概率理論而言，一般的概率演算律為：設(shè)事件的樣本空間為Ω（隨機事件E或者F是Ω的子集），P（E）是E的一個實值函數(shù)，且滿足下列三條公理，則稱函數(shù)P（E）為事件E的概率。

公理1（非負性）：對于任一事件E，有0≤P（E）≤1；

公理2（規(guī)范性）：Ω 是一確定的事件，P（Ω）=1；

公理 3（有限可加性）：若 E1，E2，……，Ei，……，En為不相容事件的一個完全類（即其中有一個并且只有一個必然會發(fā)生），則 P（E1+E2+……+En）=P（E1）+P（E2）+……+P（En）。（或如菲尼蒂的表述:P（E1）+P（E2）+……+P（En）=1）

對于不相容事件完全類可以這樣直觀地理解。如對于擲骰子的事例，可能出現(xiàn)的全部事件為E1∨E2∨E3∨E4∨E5∨E6（其中的Ei分別代表出現(xiàn)的點數(shù)為i），很明顯，上式成立。為了證明荷蘭賭定理對任意兩個互斥事件（即兩事件互不相容，但可能不是樣本空間里的一個完全類）均成立，公理3可以變形為對兩個互斥事件的情形，如果兩個事件一般性地分別用E和F表示，并且E∨F，則公理3可以變形為P（E∨F）=P（E）+P（F）。同樣對于任意兩個不一定構(gòu)成一個完全類的互斥事件，也可用擲骰子的事例來直觀地理解。如果這兩個事件分別理解為出現(xiàn)1點和出現(xiàn)2點的事件，那么，這并沒有構(gòu)成擲骰子可能出現(xiàn)的全部結(jié)果，因為可能出現(xiàn)1點和2點都沒有出現(xiàn)的結(jié)果。對于公理3和它的變形公式，在荷蘭賭定理的證明中，只需要證明其中的任意一個，因為可以證明兩種形式在邏輯上是等值的。[6][7]

除了上面的三個公理，對于主觀主義概率論者來說，相信度通過賭商來測定對于條件概率的定義也適合，拉姆齊認為“我們也能夠定義一個非常有用的新概念——‘給定q時對P的相信度’。……，這種有條件的打賭在十八世紀是比較普遍的?！盵4]60菲尼蒂在證明了上面的三個公理和一致性之間的充分必要后，進一步提出“我們還必須考慮條件概率的定義和關(guān)于概率乘法定理的證明。”[4]92因此，概率演算律要另外加上條件概率的定義：如果 P（F）>0，則 P（E|F）=P（E∧F）/P（F）。

三、荷蘭賭基本模型

結(jié)合國內(nèi)外相關(guān)研究資料，對荷蘭賭的賭博體系[7]或者基本模型可以從賭注與賭商規(guī)則、勝負規(guī)則、金錢規(guī)則以及賭局構(gòu)成規(guī)則這幾個方面進行概括。

1.賭注與賭商規(guī)則

賭注應該適當或者說雙方能真正愿意接受，并且正負未定。賭商取決于他愿意接受的賭注與付款的差額的最低差額，在賭注適當?shù)那樾蜗?，一個人的賭商等于他愿意出的付款與賭注的比值，即賭商=付款/賭注。

賭商要真正測度出某人的相信度，那么雙方打賭的意愿必須真誠，打賭之前他們并不預先知道賭博的輸贏。也就是說，雙方在打賭中所處地位是公平的情形下進行打賭，賭商應該為公平賭商。這體現(xiàn)在，如果雙方在接受了一定的賭商后，那么他們既愿意為打賭事件的真實性以P進行打賭，又愿意以打賭事件的虛假性，即以P進行打賭。當然，這也可以通過對手位置的互換來理解，由賭商定義知，如果一方的賭商為P，則對手的賭商為1-P。

2.勝負規(guī)則

如果打賭者打賭的事件為真，則獲勝，對手輸。如A和B對事件E的發(fā)生與否進行打賭，A打賭事件E發(fā)生，B打賭事件E不發(fā)生，如果結(jié)果是E發(fā)生了，則A獲勝，B輸。如果結(jié)果是E沒有發(fā)生，則B獲勝，A輸。

3.金錢規(guī)則

付款=賭注×賭商，賭注=參與打賭的雙方的付款之和。勝者的收益等于賭注減去自己的付款，或者說，勝者的收益為得到對手的付款，而負者的收益為失去自己的付款，即勝者的收益=-負者的收益。如在一個賭中，賭注為S，A的付款為SpA，B的付款為SpB。如果A勝，B負，則A的收益GA=S-SpA=SpB，B的收益GB=-SpB；如果 A 負，B 勝，則 GA=-SpA，GB=S-SpB=SpA。

4.賭局構(gòu)成規(guī)則

第一，打賭是針對一個事件所有可能出現(xiàn)的結(jié)果進行考慮，如果對一個不相容事件的完全類進行打賭，要對其中所有不相容的基本事件同時進行打賭。如E1，E2，……，En為不相容事件，E是它們的一個完全類，此時，對E進行的賭局構(gòu)成為：打賭的雙方同時對其中的Ei（i=1，2，……，n）進行打賭，分別給出賭注Si和公平賭商qi。如對于任意兩個互斥事件E和F進行打賭，也要考慮所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，即要考慮到E出現(xiàn)或者F出現(xiàn)的結(jié)果，也要考慮E與F都沒有出現(xiàn)的結(jié)果。

第二，當一方對的真（發(fā)生）進行打賭，是另一方則同時為Ei的假（不發(fā)生）或者說對-Ei的真進行打賭。如對事件“明天此地是否下雨”進行打賭，此事件E可以作為下面兩個不相容的基本事件的完全類：E1“明天此地下雨”和E2“明天此地不下雨”。此時，賭局構(gòu)成為：A同時對“E1的真”和“E2的假”進行打賭；相應地，B 同時對“E1的假”和“E2的真”進行打賭。或者，A 同時對“E1的假”和“E2的真”進行打賭；相應地，B同時對“E1的真”和“E2的假”進行打賭。

第三，條件賭的有效性建立在條件為真的情形下，如果條件為假，則賭博終止。

對于這一規(guī)則，拉姆齊提到：“它不是指對‘如果P那么q’或者‘P蘊涵q’的相信度，也不是指如果這個人知道q的話，他會對P具有的或者應該具有的相信度。它粗略地表示了他就P打賭時他會接受的賭注與付款的差額，只有q真，這個打賭才是有效的?！盵4]60這就是說，如果進行一個E相對于F的賭博，公平賭商并不是指僅僅對E的真應該具有的相信度，而是對（E|F）所具有的相信度?；蛘哒f，在F這個條件下，對E的真所具有的相信度，并且只有在F為真的情形下，這個打賭才是有效的；如果F實際不發(fā)生，則對（E|F）的打賭因為無效而終止。

四、荷蘭賭論證

拉姆齊和菲尼蒂用荷蘭賭論證了“一個賭商集合不可能導致荷蘭賭，當且僅當，這個賭商集合滿足概率演算公理?！睂W者稱之為‘Dutch Book Argument’（國內(nèi)大多翻譯為“荷蘭賭定理”或者“大棄賭定理”）。國外有的文獻也稱之為‘The Ramsey-De Finetti Theorem’，即一個賭商集合是一致的，當且僅當，該賭商集合滿足概率公理。

關(guān)于荷蘭賭定理的國外文獻較多，在這里主要依據(jù)菲尼蒂在1937年的經(jīng)典著作中提出的賭者獲得收益的方法來略加證明。[4]86-95對于荷蘭賭定理，需要依次證明對于一個確定事件、一個任意事件、不相容事件的完全類，以及條件事件的賭商集合不可能導致荷蘭賭的充分性：如果一個賭商集合不可能導致荷蘭賭，那么這個賭商集合滿足概率演算律（即分別滿足公理1，公理2，公理3和條件概率定義）。除此之外，還必須證明對于一個確定事件、一個任意事件、不相容事件的完全類以及條件事件的賭商集合不可能導致荷蘭賭的必要性：如果一個賭商集合滿足概率演算律，那么一個賭商集合不可能導致荷蘭賭。

下面僅代表性地對一個任意事件進行證明。即證：對于一個任意事件的賭商集合不可能導致荷蘭賭，當且僅當，這個賭商集合滿足概率演算公理。

第一步證明充分性：如果對于一個任意事件E的賭商集合不可能導致荷蘭賭，那么這個賭商集合要滿足概率公理 1（即 0≤P(E)≤1）。

對于一個任意事件E，如果打賭的一方選擇P（E）<0，則 E 出現(xiàn)時他的收益為 S（1-P（E）），E 不出現(xiàn)時他的收益為-SP（E），那么當對手選擇S<0的時候，可以使得他的收益總是為負，對他而言出現(xiàn)了荷蘭賭。如果打賭的一方選擇P（E）>1，那么當對手選擇S>0的時候，可以使得他的收益總是為負，對他而言依然是發(fā)生了荷蘭賭。因此，為了避免荷蘭賭，他必須選擇0≤P（E）≤1，即必須滿足公理1。

第二步證明必要性：如果對于一個任意事件E的賭商集合滿足概率演算公理，那么這個賭商集合不可能導致荷蘭賭。

對于任意事件E進行打賭，由賭局構(gòu)成規(guī)則，這是打賭的雙方同時對其中的E的真實性和虛假性進行打賭，假設(shè)打賭一方對E的賭商為P（E），對-E的賭商為P（-E），可能的結(jié)果是“E出現(xiàn)與-E不出現(xiàn)”或者“E不出現(xiàn)與-E出現(xiàn)”，那么打賭者的收益均為：S·（1-（P（E）+P（-E）），因為賭商滿足概率演算律，所以 P（E）+P（-E）=1（公理 3），因此，不管出現(xiàn)什么結(jié)果，打賭者的收益為0。證畢。

五、結(jié)語

總之，隨著現(xiàn)代決策論的發(fā)展，主觀概率理論越來越得到重視，“因為在決策那里，主體決策依賴于建立在其認知上的對外部事件的主觀評價，因而不確定事件的概率在不同決策者那里是不同的，且大大影響決策者的策略選擇?！盵8]而主觀主義概率論者建構(gòu)主觀概率理論的進路則可以歸納為：主觀概率被解釋為部分信念，可以通過賭商來進行數(shù)值的測量；一個個體的信念集合是合理的，當且僅當，他的賭商集合是合理的；一個賭商集合是合理的，當且僅當，這個賭商集合是一致的；一個賭商集合是一致的，當且僅當，這個賭商集合不可能導致荷蘭賭；一個賭商集合不可能導致荷蘭賭，當且僅當，這個賭商集合滿足概率演算公理；因此，如果荷蘭賭定理被嚴格地證明，那么概率理論的主觀基礎(chǔ)得以合理建立（即被解釋為部分信念的邏輯），即：一個個體的信念集合是合理的，當且僅當，他的信念集合滿足概率演算律。由此，依據(jù)一致性條件和荷蘭賭論證，闡釋概率即部分信念的主觀概率理論的主觀基礎(chǔ)得以奠定。

［1］Leonard J.Savage.The Foundations of Statistics[M].New York：John Wiley and Sons，1954.3.

［2］季愛民.主觀主義概率觀溯源及其成就探析[J].燕山大學學報（哲學社會科學版），2015,（3）：9.

［3］季愛民.主觀主義概率觀合理性探討[J].安徽師范大學學報（人文社會科學版），2012,（6）：679.

［4］江天驥.科學哲學名著選讀[M].武漢：湖北人民出版社，1988.

［5］Colin Howson.Dutch Book Arguments and Cosistency[J].PSA：Proceedings of the Biennial Meeting of the Philosophy of Science Association，Vol.1992，1992，（2）：162.

［6］Donald Gillies.Philosophical Theories of Probability[M].London and New York：Taylor&Francis Group Routledge，2000.60.

［7］陳曉平.大棄賭定理及其哲學意蘊[J].自然辯證法通訊，1997,（2）：1-9.

［8］季愛民.概率即部分信念[J].自然辯證法研究，2012,（11）：12.