杜玉霞,梁 武,張文軍

1.宿州學院數(shù)學與統(tǒng)計學院，安徽宿州，234000;2.宿州市第二中學，安徽宿州，234000

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R對稱矩陣左右逆特征值問題的最佳逼近解

杜玉霞1,梁 武1,張文軍2

1.宿州學院數(shù)學與統(tǒng)計學院，安徽宿州，234000;2.宿州市第二中學，安徽宿州，234000

對于給定的矩陣X∈Rn×h,Λ∈Rh×h,Y∈Rn×l,μ∈Rl×l和對稱且非平凡的對合矩陣R,當矩陣方程組

R對稱矩陣；左右逆特征值；最佳逼近

1 引言

實矩陣R∈Rn×n是一個對稱且非平凡的對合矩陣，即R=RT=R-1≠±In。 如果矩陣A∈Rn×n滿足RAR=A(RAR=-A)，那么稱A為R對稱(R反對稱)矩陣。所有R對稱(R反對稱)矩陣的集合記作RSRn×n(RASRn×n)，在下文討論中，始終假定R是固定的。

SE={A|A=XΛX++(YT)+μYT(In-XX+)

+(In-YY+)Z(In-XX+),?Z∈RSRn×n}

矩陣的逆特征值問題已被廣泛研究,并得到了許多重要的結論，例如文獻[2-5]。F.L.Li等討論

(責任編輯：汪材印)

了斜中心對稱矩陣左右逆特征值問題的有解條件[6]，但未見相關R對稱矩陣的左右逆特征值問題的討論，為此本文嘗試討論此問題。特殊的，當R=J時，本文所討論的問題就變?yōu)橹行膶ΨQ矩陣的左右逆特征值問題，其中J為次對角線上元素為1、其他元素全為0的翻轉矩陣。

2 R對稱矩陣的性質

設λ為矩陣A∈Rn×n的一個特征值,記號εA(λ) 表示屬于特征值λ的特征子空間。如果向量z∈Rn滿足Rz=z(Rz=-z)，那么稱z為R對稱(R反對稱) 的。εR(1)與εR(-1) 分別表示R對稱、R反對稱向量的全體，它們都是Rn的子空間。

令r=dim[εR(1)]，s=dim[εR(-1)],對于R=RT=R-1≠±I,r,s≥1，有r+s=n。

假設p1,p2,…,pr和q1,q2,…,qs分別為子空間εR(1)和εR(-1)的正交基。記：

P=[p1,p2,…,pr]，Q=[q1,q2,…,qs]

顯然，[PQ]∈ORn×n，P和Q不是唯一的，直接計算可得合適的P、Q。

其中，APP=PTAP∈Rr×r,APQ=PTAQ∈Rr×s,AQP=QTAP∈Rs×r,AQQ=QTAQ∈Rs×s。

引理1[7]A∈RSRn×n當且僅當

其中，APP=PTAP∈Rr×r,AQQ=QTAQ∈Rs×s。

引理2[7]設A是R對稱矩陣，如果(λ,z)是矩陣A的一個特征對,那么(λ,Rz)也是矩陣A的一個特征對。如果λ是矩陣A的一個特征值,那么特征子空間εA(λ)包含所有形式為z=Px+Qy的向量,其中APPx=λx,AQQ=λy。

由引理1、2可得下述引理。

引理3 令A∈RSRn×n,則：

(i)矩陣A的特征值是矩陣APP與矩陣AQQ特征值的和；

(ii)(λ,Px) 是矩陣A的一個特征對，當且僅當(λ,x)是矩陣APP的一個特征對；

(iii)(μ,Qy)是矩陣A的一個特征對，當且僅當(μ,y)是矩陣AQQ的一個特征對。

容易證明對稱矩陣的左特征對于右特征對有類似的性質(引理1、2、3)。

為不失一般性，在本文所討論的問題中假設:

X=(PX1,QY1),Λ=diag(Λ1,Λ2)

(1)

Y=(PX2,QY2),μ=diag(μ1,μ2)

其中：X1∈Rr×h1,Y1∈Rs×h2,

Λ1∈Rh1×h1,Λ2∈Rh2×h2,

APPX1=X1Λ1,AQQY1=Y1Λ2,

h=h1+h2,X2∈Rr×l1,Y2∈Rs×l2,

μ1∈Rl1×l1,μ2∈Rl2×l2,

X2TAPP=μ1X2T,Y2TAQQ=μ2Y2T,

l=l1+l2

3 問題求解

根據(jù)閉凸集定義，容易證明集合SE是一個非空的閉凸集。因此,對任意給定的矩陣A*∈Rn×n,由最佳逼近定理可得本文所討論問題的解是唯一的。

引理4 設矩陣X,Λ,Y,μ如(1)式所示,則

XΛX+,XX+,YμY+,YY+∈RSRn×n。

引理5Rn×n=RSRn×n⊕RASRn×n。

證明 (i)對任意矩陣A∈Rn×n,都可寫作：

A=A1+A2,

(ii)假設存在A∈RSRn×n∩RASRn×n, 則RAR=A，RAR=-A,于是A=0,即RSRn×n∩RASRn×n={0}。

(iii)對任意的A1∈RSRn×n,A2∈RASRn×n,(A1,A2)=tr(A2TA1)=tr(-RA2TRRA1R)=-tr(RA2TA1R)=-tr(A2TA1)=-(A1,A2),于是(A1,A2)=0。

綜上可得，結論成立。

(2)

(3)

顯然，‖A*-A‖=minA∈SE等價于

(4)

又EA0G=(In-YY+)(XΛX++(YT)+μYT(In-XX+))(In-XX+)

=(In-YY+)((YT)+μYT(In-XX+))=0

因此,(3)式等價于

(5)

[1]杜玉霞,梁武.R對稱矩陣左右逆特征值問題的有解條件[J].佳木斯大學學報：自然科學版,2011,29(2):285-289

[2]F Z Zhou,X Y Hu,L Zhang.The solvability for the inverse eigenvalue problems of centro-symmetric matrices[J].Linear Algebra Appl,2003,364:147-160

[3]W F Trench.Inverse eigenproblems and associated approximation problems for matrices with generalized symmetry or skew symmetry[J].Linear Algebra Appl,2004,380:199-211

[4]X P Pan,X Y Hu,L Zhang.A class of constrained inverse eigenproblem and associated approximation for symmetric reflexive matrices[J].Numer Math，2006,15:227-236

[5]G X Huang,F Yin.Constrained inverse eigenproblem and associated approximation for anti-Hermitian eigenvalue R-symmetric matrices[J].Appl Math Comput,2007,186:426-434

[6]F L Li,X Y Hu,L Zhang.Left and right inverse eigenpairs problem of skew-centrosymmetric matrices[J].Appl Math Comput,2006,177:105-110

[7]W F Trench.Characterization and properties of matrices with generalized symmetry and skew symmetry[J].Linear Algebra Appl,2004,377:207-218

Keywords:R-symmetricmatrix,leftandrightinverseeigenvalues,optimalapproximation.

(責任編輯：汪材印)

The Study of Non-linear Singularly Perturbed Boundary Value Problems with Turning Points

ZHANG Lei1,2，SHI Juan-rong2

1.Anhui Normal University,Anhui Wuhu,241000; 2.Anhui Technical College of Mechanical and Electrical Engineering, Anhui Wuhu, 241000

In this work a kind of non-linear singularly perturbed boundary value problems with turning points is studied. The method of matched asymptotic expansions is first used to construct the outer layer solutions, and by introducing the stretched variable, three kinds of interior layer solutions atx=x0are obtained. Prandtl matching principle is used to get the positions of the turning points and to determine the first-order uniform asymptotic expansions. The obtained results show a high degree of accuracy by comparing with the numerical solution.

singular perturbation;turning points;non-linear;prandtl matching principle

The Optimal Approximation Solution for Left and Right Inverse Eigenvalue Problems ofR-Symmetric Matrices

DU Yuxia1,LIANG Wu1,ZHANG Wenjun2

1.School of Mathematics and Statistics,Su Zhou University，Suzhou,Anhui,234000 2.Suzhou No.2 Middle School,Suzhou,Anhui, 234000

10.3969/j.issn.1673-2006.2015.04.026

2014-12-26

杜玉霞(1981-)，女，山東定陶人，碩士，助教，主要研究方向：矩陣方程。

O151.21

A

1673-2006(2015)04-0091-03