劉艷，韓秋實，李啟光，彭寶營

(北京信息科技大學(xué) 機電工程學(xué)院，北京 100192)

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凸輪恒磨除率磨削的轉(zhuǎn)速曲線優(yōu)化

劉艷，韓秋實，李啟光，彭寶營

(北京信息科技大學(xué) 機電工程學(xué)院，北京 100192)

摘要：凸輪是復(fù)雜的非圓零件，加工過程中，瞬時速度和加速度劇烈變化會降低加工品質(zhì)。推導(dǎo)了恒磨除率變速磨削數(shù)學(xué)模型。基于恒力磨削的思想，得到了凸輪C軸變速恒磨除率公式。在此基礎(chǔ)上，運用最小二乘法對凸輪輪廓數(shù)據(jù)進(jìn)行多項式擬合，得到平滑的凸輪轉(zhuǎn)速曲線和砂輪進(jìn)給速度曲線。仿真結(jié)果表明，該方法能夠使磨除率保持近似恒定的同時，還得到平滑的旋轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)速曲線，并大幅減小C軸的加速度，從而提高凸輪軸磨削精度。

關(guān)鍵詞：凸輪；恒磨除率；最小二乘法；速度優(yōu)化

0引言

凸輪磨削是一種復(fù)雜的非圓磨削，除磨削基圓部分與普通的外圓磨削加工狀況一樣，其他部分的磨削條件是不斷在變化的。磨削凸輪一周的順序為:“基圓-升程-桃尖-頂圓-回程-基圓”。采用恒角速度磨削凸輪時，磨削深度相同時，由于凸輪極徑的變化引起磨削點線速度變化，使得接觸弧長不同，從而金屬切除率和磨削力除基圓部分恒定外其他部分的磨除率和磨削力不斷變化，磨除率和磨削力變化會對凸輪加工表面品質(zhì)產(chǎn)生較大影響。理論上，恒線速度磨削加工，磨削力比較平穩(wěn)，可提高工件磨削加工精度和工件磨削表面品質(zhì)。但實際生產(chǎn)加工中，恒線速度加工復(fù)雜的聯(lián)動軸運動，引起瞬時速度和加速度劇烈變化。

北京信息科技大學(xué)提出了基于恒磨除率的恒線速磨削加工數(shù)學(xué)模型，采用三次樣條曲線擬合方法，得到波動的速度曲線[1-3]；湖南大學(xué)采用三次樣條曲線擬合方法對工件旋轉(zhuǎn)速度優(yōu)化，提出了近似的恒線速控制方法，通過控制磨削點加速度對速度進(jìn)行優(yōu)化[4-5]?；诤隳コ首兯倌ハ髂Ｐ瓦\用最小二乘法擬合多項式并求導(dǎo)，計算得到波動較小的C軸轉(zhuǎn)速和砂輪架進(jìn)給速度。使工件在不同的磨削點處，工件轉(zhuǎn)速不同，凸輪單位時間內(nèi)磨削的弧長基本保持不變，以保證在磨削凸輪一周的過程中，金屬磨除率基本保持不變，且磨削力變化不大，減少凸輪輪廓的加工表面紋波和燒傷。

1凸輪恒磨除率磨削的數(shù)學(xué)模型推導(dǎo)

凸輪輪廓數(shù)據(jù)的表達(dá)方式有兩種分別為：凸輪輪廓曲線數(shù)據(jù)和升程數(shù)據(jù)。采用凸輪輪廓曲線數(shù)據(jù)并由幾何關(guān)系直接確定恒磨除率變速磨削數(shù)學(xué)模型。已知凸輪的型線方程ρ=ρ(φ)，將凸輪輪廓的極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)。

根據(jù)坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)公式，當(dāng)凸輪轉(zhuǎn)過時，凸輪輪廓型線方程為：

(1)

根據(jù)坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)公式，當(dāng)凸輪轉(zhuǎn)過θ時，凸輪輪廓型線方程為：

(2)

由式(2)得到在直角坐標(biāo)系中凸輪輪廓的離散值，為最小二乘法擬合多項式的原始數(shù)據(jù)。

圖1　凸輪磨削模型

(3)

(4)

1.1　單位時間凸輪磨削弧長的計算

磨除率是指單位時間內(nèi)磨除的弧長、磨削深度ap和凸輪寬度b的乘積。磨削深度ap和凸輪寬度b為磨削加工前已確定的值，磨除率與單位時間內(nèi)磨除的弧長成正比關(guān)系，因此恒磨除率是近似指單位時間內(nèi)磨削弧長恒定。凸輪單位時間磨削的弧長公式如下[1]。

1.2　基于恒磨除率的凸輪轉(zhuǎn)速公式推導(dǎo)

(5)

凸輪寬度b和磨削深度ap均為固定不變量，基圓部分單位時間內(nèi)磨削弧長恒定，故基圓部分磨除率也為定值，設(shè)為K，則K=R0ω0，令凸輪其余部分磨除率也為K，即保證凸輪全部輪廓磨削的恒磨除率。由式(3)知：

則除基圓部分外凸輪的轉(zhuǎn)速ωφ的公式為：

(6)

1.3　凸輪磨削點線速度和砂輪架移動速度公式推導(dǎo)

凸輪輪廓的磨削加工是由凸輪c軸和砂輪架x軸的聯(lián)動實現(xiàn)的。因此，凸輪磨削加工過程由切入和聯(lián)動兩部分構(gòu)成，要實現(xiàn)聯(lián)動必須滿足條件式(7)，沿凸輪極徑方向速度合成為零，否則會產(chǎn)生“過切”或者“切不到”的現(xiàn)象。

Vtsinβ-Vxcosα=0

(7)

由圖1知，實現(xiàn)聯(lián)動加工時，凸輪上磨削點的線速度Vc、磨削點處的切線速度Vt和砂輪架進(jìn)給速度Vx滿足如下關(guān)系：

Vc=Vtcosβ+Vxsinα

因此，由式(7)知A點瞬時線速度為：

(8)

將已求的β和α帶入求的砂輪架移動速度公式：

(9)

2凸輪轉(zhuǎn)速曲線優(yōu)化

凸輪恒磨除率磨削的加工方法雖然能有效提高加工精度，但隨著極徑的變化磨削點線速度也不斷變化，容易引起聯(lián)動軸x軸的加速度過大，機械系統(tǒng)和伺服系統(tǒng)的響應(yīng)不能滿足要求，可能引起沖擊、震顫等降低凸輪輪廓表面品質(zhì)。另外，由恒磨除率變速磨削模型知，凸輪上單位時間內(nèi)磨削弧長恒定只是近似的恒金屬切除率，磨削量與各點的曲率半徑有關(guān)，曲率半徑越大磨削量越大[7]，而凸輪頂圓部分輪廓曲率較大，磨削加工時需要適當(dāng)降低頂圓部分轉(zhuǎn)速才能使磨削更充分。為了使加工曲線既符合機床機械系統(tǒng)和伺服系統(tǒng)的響應(yīng)要求，又滿足充分磨削和理論曲線的基礎(chǔ)上對凸輪轉(zhuǎn)速曲線進(jìn)行優(yōu)化[8-10]。

2.1　最小二乘法原理

已知的凸輪輪廓數(shù)據(jù)是離散值，從恒磨除率變速磨削的數(shù)學(xué)模型可以看出，砂輪架的移動速度Vx和凸輪除基圓部分的轉(zhuǎn)速的計算與導(dǎo)數(shù)的算法ωφ有關(guān)，合理的算法可以避免計算誤差累積引起Vx和ωφ的波動，所以本文在保證恒磨除率的同時對凸輪c軸轉(zhuǎn)速曲線進(jìn)行光順，來提高磨削工件的表面品質(zhì)。

最小二乘法擬合凸輪輪廓曲線多項式。最小二乘法是已知一組數(shù)據(jù)(xi,yi),(i=1,2,…,n)，求參數(shù)a0,a1,…，am(m

利用高斯消元法求解，求得多項式S(x)=a0,a1x+…+anxn，對其進(jìn)行求導(dǎo)并帶入xi的值，方可求得導(dǎo)數(shù)，并計算凸輪轉(zhuǎn)速和砂輪架移動速度。利用最小二乘法不需要通過所有已知點，只要求各點出的誤差平方和最小，明顯優(yōu)于三次樣條擬合，最小二乘法可以濾除原始數(shù)據(jù)中的測量誤差，即反應(yīng)了凸輪輪廓的總體特性，又濾除了局部大的波動和函數(shù)逼近的特性。

2.2　凸輪磨削的動態(tài)特性曲線優(yōu)化

以車磨復(fù)合機床上磨削加工為例，對恒磨除率變速磨削加工進(jìn)行分析。凸輪的基本數(shù)據(jù)為：基圓半徑15.1mm，最大極徑為20.0775mm，極角極徑是由L_2000系列凸輪軸檢測儀采集得到，共采樣360個點，采集間隔為一度，砂輪半徑500mm。運用MATLAB軟件對凸輪輪廓數(shù)據(jù)進(jìn)行8段9次多項式擬合，求得8個S(x)的9次多項式，并分別對其求導(dǎo)。將結(jié)果帶入式(4)和式(6)，計算出凸輪轉(zhuǎn)速曲線砂輪架移動速度曲線，如圖2、圖3和圖4為優(yōu)化后磨除率變化曲線。

圖2　恒磨除率變速磨削c軸速度圖

圖3　恒磨除率變速磨削優(yōu)化后砂輪架速度及加速度圖

圖4　恒磨除率變速磨削轉(zhuǎn)速優(yōu)化后磨除率圖

3結(jié)論

推導(dǎo)了基于恒磨除率變速磨削的數(shù)學(xué)模型，利用最小二乘法對凸輪輪廓數(shù)據(jù)進(jìn)行多項式擬合求導(dǎo)，對凸輪變轉(zhuǎn)速曲線和砂輪架移動速度曲線進(jìn)行了優(yōu)化，既保證了磨除率恒定又求得了波動較小的凸輪轉(zhuǎn)速曲線和砂輪架移動速度曲線。結(jié)果顯示，最小二乘法優(yōu)化凸輪磨削的動態(tài)特性曲線，有效的減小了聯(lián)動軸加速度的跳動。

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Speed Curve Optimization of Constant Removal Rate of Cam

LIU Yan,HAN Qiu-shi,LI Qi-guang,PENG Bao-ying

(College Of Mechanical Engineering, Beijing Information Science & Technology University, Beijing 100192,China)

Abstract:Cam is a non-circular parts. The dramatic change of instantaneous speed reduces the processing quality . This paper deduces variable speed grinding mathematical model, based on the constant grinding rate. The variable-speed grinding removed constant rate figure of the cam C shaft is obtained based on the idea of constant force grinding. On this basis, it uses the least square method to do the polynomial fitting of the cam profile data and get the speed curves of smooth cam operation and grinding wheel feeding. The simulation results show that the method can be used to make the grinding rate approximately constant and get the smooth rotation speed curve, and the C axis acceleration is reduced greayly, thus improving the cam grinding precision.

Keywords:cam；grinding removal constant rate；least square method；speed optimization

收稿日期：2014-11-07

中圖分類號：TH132.47;TG580.6

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：B

文章編號：1671-5276(2015)02-0026-04

作者簡介：劉艷(1988-)，女，河南洛陽人,碩士研究生，研究方向：智能化與數(shù)字化控制。

基金項目：國家自然基金資助項目(51375056)；北京市自然科學(xué)基金重點項目(KZ201211232039)；北京市高等學(xué)校人才強教(PHR201106132)資助項目資助