余勝斌

( 陽光學(xué)院 基礎(chǔ)教研部， 福建 福州 350015 )

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一類離散非自治競爭系統(tǒng)的絕滅性和穩(wěn)定性

余勝斌

( 陽光學(xué)院 基礎(chǔ)教研部， 福建 福州 350015 )

摘要：通過構(gòu)造適當(dāng)?shù)腖yapunov絕滅函數(shù)，研究了一類離散非自治競爭系統(tǒng)，得到了保證系統(tǒng)中某個(gè)種群絕滅和另外一個(gè)種群全局吸引的充分性條件，所得的結(jié)果補(bǔ)充了前人的工作. 競爭； 絕滅性； 穩(wěn)定性； 離散； 非自治 O175.14

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

0引言

近年來，如下具有非線性相互抑制項(xiàng)的競爭系統(tǒng)受到學(xué)者們的關(guān)注[1-6]：

(1)

其中: x1(n)和x2(n)分別表示2個(gè)競爭種群在第n代的種群密度, ri(n) (i=1,2)表示2個(gè)種群的內(nèi)稟增長率, ai(n) (i=1,2)為2個(gè)種群的種內(nèi)競爭系數(shù), ci(n) (i=1,2)為2個(gè)種群的種間競爭系數(shù).Qin Wenjie等[1]探討了系統(tǒng)(1)的持久性和全局穩(wěn)定的周期解的存在性.受文獻(xiàn)[1]啟發(fā),Wang Qinglong等[2-3]通過定義Lyapunov函數(shù)和適當(dāng)?shù)姆治鍪址?得到了系統(tǒng)(1)相應(yīng)的離散和連續(xù)概周期系統(tǒng)存在唯一全局漸進(jìn)穩(wěn)定的正概周期解的充分性判據(jù).考慮到自然界受人類開采等因素的影響,Wang Qinglong等[4]進(jìn)一步討論了具反饋控制的系統(tǒng)(1)的動力學(xué)行為.筆者在文獻(xiàn)[5]中進(jìn)一步探討了反饋控制變量對系統(tǒng)(1)持久性的影響,得到了反饋控制變量不會影響系統(tǒng)持久性的結(jié)論,從而改進(jìn)了文獻(xiàn)[4]的結(jié)果.但是,文獻(xiàn)[1-5]均未探討系統(tǒng)的絕滅性.由于絕滅性是生態(tài)系統(tǒng)研究中的一個(gè)重要課題,與物種或者自然資源的保護(hù)和開發(fā)等有直接的關(guān)系[6],因此本文就系統(tǒng)(1)的絕滅性進(jìn)行探討,類似的工作參見文獻(xiàn)[6-9]及其所引文獻(xiàn).

1絕滅性

以下將證明在適當(dāng)?shù)臈l件下,種群x2或x1將趨于絕滅.

引理1系統(tǒng)(1)的任一正解(x1(n),x2(n))T均滿足：

(2)

即系統(tǒng)(1)的任一正解是最終有界的.

證明引理1的證明與文獻(xiàn)[7]中引理2.1的證明類似,這里不再給出.

定理1假設(shè)如下條件(H1)成立：

證明由條件(H1)可選取足夠小的數(shù)ε1>0， 使得

(3)

(4)

對上述ε1， 由引理1可知存在足夠大的自然數(shù)N>0， 使得當(dāng)n≥N時(shí)，有

xi(n)

(5)

對任意的p≥N， 由系統(tǒng)(1)和式(5)可知：

(6)

由不等式(4)—(6)可得，對p≥N有

(7)

(8)

定理2假設(shè)如下條件(H2)成立:

證明由條件(H1)可選取足夠小的數(shù)ε2>0， 使得

(9)

(10)

對任意的p≥N， 由系統(tǒng)(1)和式(5)可知：

(11)

由不等式(5)、(10)和(11)可知，當(dāng)p≥N時(shí)，有

(12)

余下的證明與定理1的證明類似，故省略.

2穩(wěn)定性

以下將討論在一個(gè)種群絕滅的情況下另一個(gè)種群的穩(wěn)定性問題,為此,首先給出幾個(gè)引理.

引理3假設(shè)(H1)成立，則系統(tǒng)(1)的任一正解(x1(n),x2(n))T均滿足：

證明由引理1和定理1可知:

(13)

(14)

由式(13)知,對上述ε>0, 存在足夠大的N1>0, 使得對任意的n≥N1， 有x1(n)≤B1+ε, x2(n)≤ε.從而由系統(tǒng)(1)的第1個(gè)方程可知

(15)

(16)

引理3得證.

引理4假設(shè)(H2)成立，則系統(tǒng)(1)的任一正解(x1(n),x2(n))T均滿足：

證明類似于引理3的證明可以得到引理4的證明,故省略.

下面考慮如下logistic方程：

(17)

這里r1(n)和a1(n)為非負(fù)有界序列.由文獻(xiàn)[7]中的引理3.2可得：

對如下logistic方程：

(18)

與引理5類似的有如下結(jié)論：

定理3假設(shè)(H2)成立，且如下條件(H3)也成立：

則系統(tǒng)(1)的任一正解(x1(n),x2(n))T和方程(17)的任一正解x(n)有：

(19)

(20)

A1-ε≤x1(n)≤B1+ε, x2(n)≤ε, A1-ε≤x(n)≤B1+ε.

(21)

(22)

類似地，可以得到如下定理：

定理4假設(shè)(H2)成立，且如下條件(H4)也成立：

3應(yīng)用舉例

例1考慮如下系統(tǒng)：

(23)

對系統(tǒng)(23)來說，經(jīng)過驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)條件(H1)和(H3)成立,從而由定理3可知x2絕滅而x1全局吸引,數(shù)值模擬(圖1)也支持這一結(jié)果.

圖1　具初始條件為和的系統(tǒng)(23)的數(shù)值模擬

例2考慮如下系統(tǒng)：

(24)

對系統(tǒng)(24)來說，經(jīng)過驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)條件(H2)和(H4)成立,從而由定理3可知x1絕滅而x2全局吸引,數(shù)值模擬(圖2)也支持這一結(jié)果.

圖2　具初始條件為和的系統(tǒng)(24)的數(shù)值模擬

參考文獻(xiàn)：

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Extinction and stability in a class of discrete non-autonomous competition system

YU Shengbin

(DepartmentofBasicTeachingandResearch，YangoCollege，F(xiàn)uzhou350015，China)

Abstract：A class of discrete non-autonomous competitive system of two species is considered. By constructing some suitable Lyapunov type extinction functions, sufficient conditions which guarantee the extinction of species and the stability property of another species are obtain. The results supplement some known results.

Keywords：competitive； extinction； stability； discrete； non-autonomous

文章編號：1004-4353(2015)04-0279-06

作者簡介：余勝斌(1984—)，男，講師，研究方向?yàn)樯飻?shù)學(xué).

收稿日期：2015-10-28基金項(xiàng)目： 福建省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2015J01012，2015J01019)