鄭春華，劉文斌(．陜西工業(yè)職業(yè)技術學院基礎部，陜西咸陽　7000;．中國礦業(yè)大學數學系，江蘇徐州　6)

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一類含p-Laplace算子的時滯微分方程多點邊值問題解的存在性

鄭春華1，劉文斌2
(1．陜西工業(yè)職業(yè)技術學院基礎部，陜西咸陽712000;2．中國礦業(yè)大學數學系，江蘇徐州221116)

摘要:利用上下解方法和緊向量場方程的解集連通理論研究了一類含p-Laplace算子的時滯微分方程多點邊值問題．得到了這類邊值問題解存在的充分條件，并在允許非線性項變號的情況下得到了該邊值問題非負解的存在性，推廣和改進了一些已有結果．

關鍵詞:p-Laplace算子;時滯;多點邊值問題;上下解方法;連通性

引用格式:鄭春華，劉文斌．一類含p-Laplace算子的時滯微分方程多點邊值問題解的存在性［J］．安徽師范大學學報:自然科學版，2015，38(2) : 117－122．

隨著科學技術的不斷發(fā)展，在醫(yī)學、生態(tài)學、自動控制等應用研究領域中提出了大量具有時滯的微分方程，它們一直受到科學研究人員的廣泛關注［1］．由于時滯微分方程的周期邊值問題和兩點邊值問題相對比較簡單，研究工作相對較多，也比較深入，已經出現不少有代表性的結果［2－5］．在多點邊值問題方面，常微分方程的相關問題的研究已經進行了幾十年，也已取得不少出色的結果［6－8］，但關于時滯微分方程相應邊值問題的結果還不是很多．在文獻［9］中，作者利用Krasnoselskii不動點定理研究了邊值問題正解的存在性．

對于含有p-Laplace算子的時滯微分方程的非局部邊值問題，文獻［10］的作者利用Krasnoselskii不動點定理和Leggett-Williams不動點定理研究了問題正解的存在性．

上下解方法是微分方程邊值問題研究中的一種經典方法，在時滯微分方程的多點邊值問題的工作中，利用上下解方法開展研究的還不多．在本文中，我們以上下解方法和緊向量場方程的解集連通理論為工具研究含有p-Laplace算子的時滯微分方程的多點邊值問題

解的存在性，得到了邊值問題(1)解存在的充分條件，進一步我們還得到了它存在非負解的條件，其中p(s)且φ(0) = 0，m為大于

2的整數．

1　預備知識

定義1 設u∈C［－τ，1］∩C1［0，1］且p(u')∈C1［0，1］，若u(t)滿足則稱u(t)為邊值問題(1)的下解，類似可以給出其上解的定義．

下面列出兩個文中經常用到的條件，

(A1) BVP(1)存在下解珋x0(t)和上解珋y0(t)且珋x0(t)≤珋y0(t)，

(A2) f∈C(［0，1］×R×R，R)且f(t，珋x0(t)，y)和f(t，珋y0(t)，y)關于y單調遞增．

引理1［11］設Ω為Banach空間X中的有界閉凸集，T:［a，b］×Ω→Ω為全連續(xù)映射，則集合

S = { (λ，x) | T(λ，x) = x，λ∈［a，b］}

包含一條連接{ a}×Ω與{ b}×Ω的連通分支Σ．

引理2 珋x(t)為邊值問題(1)的解的充要條件是x(t) =珋x(t)－x*(t)是問題的解，其中

引理2的證明是容易的，在此略去．

由引理2知，要研究問題(1)解的情況只需討論邊值問題(2)解的情況即可．若珋x0(t)和珋y0(t)分別為BVP(1)的下解和上解且珋x0(t)≤珋y(t)，容易驗證x0(t) =珋x0(t)－x*(t)和y0(t) =珋y0(t)－x*(t)分別為BVP(2)的下解和上解且x0(t)≤y0(t)．

定義修正函數

f*(t，x(t)，x(t－τ) + x*(t－τ) )

有下面的引理3．

引理3 若條件(A1)和(A2)成立，則對BVP(3)的解x(t)有x0(t)≤x(t)≤y0(t)，t∈(0，1)成立．

證明 設x(t)為BVP(3)的任意一個解，若x(t)≥x0(t)不成立，則存在t0∈［0，1］使得x(t0)－．由于x(0)－x0(0) = 0，故t0∈(0，1］．如果t0= 1，則

x'(t)－x'0(t)＜0 t∈(t0－δ，t0)，

再結合p的單調性可知

p(x'(t) )＜p(x'0(t) ) t∈(t0－δ，t0)，從而有(p(x')－p(x'0) ) '(t0)≥0．

另一方面，由BVP(3)中的第一個方程、修正函數及下解的定義可知

(1)若x(t0－τ)≤x0(t0－τ)，則

(2)若x(t0－τ)＞x0(t0－τ)，則利用條件(A2)可知

顯然和前面的結論矛盾，因此，x(t)≥x0(t)成立．類似可以證明x(t)≤y0(t)．

2　主要結果及證明

定理1 設條件(A1)－(A2)成立，則邊值問題(1)有解．

證明 利用引理2和引理3可知，要證明邊值問題(1)有解，只需證明邊值問題(3)有解即可．將邊值問題(3)和下解轉化為方程組的形式，

(4)有解．

為了利用引理1證明BVP(4)有解，引入以下幾個定義．

并定義范數

首先證明x2(t)在［0，1］上有零點．事實上，如果x2(t)＞0，t∈［0，1］由BVP(4)中的第二個方程可知x'1(t)＞0，t∈［0，1］，故x1(1)＞x1(t)≥x1(0) = 0．另一方面，利用

(1)可得x1(1)≤0，矛盾．類似可證x2(t)＜0，t∈［0，1］也不可能，故x2(t)在［0，1］上有正有負，利用微分中值定理知結論成立．

再利用的有界性和BVP(4)中的第二個方程可得M的存在性．

定義算子:

其中D(L) = { x | x∈X∩C1［0，1］×C1［0，1］}．易證

定義算子

易知X = KerLKerP，Y = ImLR，對任意的x∈X有x = C + W，其中

則Lp具有連續(xù)的逆算子，記Kp= Lp－1，KPQ= KP(I－Q)．由于Kp全連續(xù)，I－Q和連N續(xù)，從而KPQ全連續(xù)．

容易驗證問題(4)等價于

若記T(c，W) = KP(I－Q) N(C + W)，利用F的有界性可得N也是有界算子，進一步可知存在有界閉凸集Ω KerP使得T(c，Ω)Ω，進而利用Schauder不動點定理容易證明對任意的c∈R都有W∈Ω滿足(5)中的第一個方程，即

W(c) = { W | W = KP(I－Q) N(C + W) }≠?．

由引理1可知對任意的m，n∈R且m＜n，集合S = { (c，W) | T(c，W) = W，c∈［m，n］}包含一條連接{ m}×W(m)與{ n}×W(n)的連通分支Σ．

對于任意的c∈R，由于集合W(c)Ω有不依賴于c的界，故可以選c1∈R取使得c1+ w2(t)＞y02(t)，t∈(0，1)，W∈W(c1)，這里y0(t) = (y01(t)，y02(t) )T為相應于邊值問題(4)的上解．

可知要使(5)中的第二個方程成立，只需證明存在(c0，W0)使得式子

成立即可，其中W0= (w01(t)，w02(t) )T∈W(c0)．利用上解的定義和q的單調性可得

同理可選常數c2＜c1使得c2+ w2(t)＜x02(t)，t∈(0，1)，W∈W(c2)．類似于上面的證明可知

成立．再利用Σ的連通性和介值定理可知存在c0∈［c2，c1］及相應的W0使得(c0，W0)∈Σ且方程(5)中的第二個方程也成立．記C0=［0，c0］T，則C0+ W0為方程(5)的解，也為BVP(4)的解，w01(t)為問題(2)的解，進而利用引理2可知BVP(1)有解．

推論1 設f(t，x，y)滿足

(B1)且存在常數b＞0滿足

(B2) f(t，0，y)和f(t，bt，y)關于y單調遞增; 則BVP(1)有非負解．

分別為BVP(1)的下解和上解且x珋0(t)≤y珋0(t)，利用定理1可知BVP(1)存在解x(t)滿足0≤x(t)≤bt，t∈［0，1］，即BVP(1)存在非負解．

易驗證條件(B1)、(B2)成立，利用推論1可知邊值問題(6)存在非負解x(t)滿足0≤x(t)≤t，t∈［0，1］．

參考文獻:

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Existence of Solutions for a Multi-Point Boundary Value Problem With Delay and p-Laplace Operator

ZHENG Chun-hua1，LIU Wen-bin2
(1．Basic Department，Shaanxi Polytechnic Institute，Xianyang 712000，China; 2．Department of Mathematics，China University of Mining and Technology，Xuzhou 221116，China)

Abstract:In this paper，a class of multi-point boundary value problem with p-Laplace operator and delay is studied．By using the method of upper and lower solutions and the connected theory of solutions set to compact vector field defined by equation，some sufficient conditions on the existence of solutions for this boundary value problem are obtained．Besides，the nonnegative solutions of this problem are obtained when the nonlinear item is allowed to change sign．Some known results are extended and improved．

Key words:p-Laplace operator; delay; multi-point boundary value problem; method of upper and lower solutions; connectivity

作者簡介:鄭春華(1982－)，男，河南漯河人，講師，碩士，研究方向:微分方程邊值問題．

基金項目:國家自然科學基金(NO．11271364) ;陜西工院科研項目(NO．zk13－40)．

收稿日期:2014－03－05

DOI:10．14182/J．cnki．1001－2443．2015．02．003

文章編號:1001－2443(2015) 02－0117－06

文獻標志碼:A

中圖分類號:O175．8