童晨曦 ，張 升 ，李 希 ，盛岱超

(1. 中南大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 長沙 410075；2. 中南大學(xué) 高速鐵路建造技術(shù)國家工程實驗室，湖南 長沙 410075)

1 引 言

鐵路道砟、碎石、堆石料等顆粒材料廣泛應(yīng)用于土木工程各領(lǐng)域建設(shè)中[1]。然而，不同顆粒材料在外荷載作用下均存在不同程度的破碎，從而使材料受力前后級配曲線發(fā)生改變。目前不同類型的土采用的本構(gòu)模型或者模型參數(shù)大多不相同，如描述黏土的劍橋模型[2]、描述砂土的邊界面模型[3]等，考慮顆粒破碎的本構(gòu)模型中也很少將材料級配作為變量來考慮[4]。為研究顆粒破碎問題，需要考慮以下 3個關(guān)鍵問題[5]：（1）如何用一個簡單合理的變量來表示材料級配的變化從而描述顆粒破碎程度，進(jìn)而將其引入強(qiáng)度準(zhǔn)則和本構(gòu)模型中。（2）如何描述顆粒破碎的演化規(guī)律。（3）描述破碎的變量如何影響材料的力學(xué)特性。

用于工程中的顆粒材料由于密實度、強(qiáng)度等的要求有一定的級配規(guī)范，大多是由不同大小粒徑顆粒組成，很難分別研究每個粒徑組顆粒的破碎規(guī)律，材料的總體破碎規(guī)律則更為復(fù)雜。為此，很多學(xué)者從單一粒徑組入手，研究其破碎規(guī)律。Hagerty等[6]通過對單一粒徑組的石英砂、礦渣以及玻璃球3種材料一維壓縮試驗發(fā)現(xiàn)，在高應(yīng)力下顆粒破碎量隨應(yīng)力的增加而逐漸減小。Coop等[7]通過對單一粒徑組的鈣質(zhì)砂的環(huán)剪試驗，認(rèn)為在高應(yīng)變水平下級配曲線會趨于穩(wěn)定。Nakata等[8]對石英砂進(jìn)行一維壓縮試驗發(fā)現(xiàn)壓縮系數(shù)最后會趨于穩(wěn)定，且單一粒徑組顆粒材料比多粒徑組顆粒材料發(fā)生更多的破碎量。上述對單一粒徑組顆粒材料破碎的研究是通過試驗，只是定性地認(rèn)為破碎存在界限。

本文從概率統(tǒng)計的角度出發(fā)，研究了單一粒徑組顆粒材料的破碎規(guī)律，從數(shù)值上反映了破碎極限的存在，計算了3組數(shù)據(jù)破碎達(dá)極限狀態(tài)時的級配。

2 單一粒徑組顆粒破碎概率規(guī)律分析

2.1 單個顆粒破碎概率

單個顆粒是組成巖土顆粒材料的最小宏觀單元，對單個顆粒破碎特性的研究是對巖土顆粒材料破碎研究的基礎(chǔ)。當(dāng)處于一定的應(yīng)力、應(yīng)變狀態(tài)下，單個顆粒將以某一概率破碎成若干個其他粒徑大小的顆粒。大量學(xué)者對此進(jìn)行了研究，Nakata等[9]、McDowell[10]通過單個顆粒破碎試驗表明單個顆粒的存活概率與應(yīng)力水平符合 Weibull分布函數(shù)。Nakata還指出單個顆粒破碎概率與顆粒的礦物成分有關(guān)，且石英顆粒破碎成較小粒徑顆粒的數(shù)量明顯小于正長石、斜長石顆粒。

2.2 單一粒徑組顆粒破碎概率

單一粒徑組顆粒是由多個相同粒組顆粒組成的集合。一般而言，單一粒徑組顆粒破碎概率p不僅受上述提到的影響單個顆粒破碎概率因素的影響。同時，Hagerty等[6]通過高應(yīng)力下的一維壓縮試驗發(fā)現(xiàn)有棱角的顆粒教球形顆粒更易破碎。Cho等[11]指出砂土顆粒的形狀將影響顆粒與顆粒間的接觸從而影響其破碎概率。

研究表明[7，12－13]，隨著顆粒破碎的發(fā)展，顆粒級配曲線將繞著最大顆粒點而“轉(zhuǎn)動”及“抬升”，主要說明了以下兩點規(guī)律：（1）單一粒徑組顆粒破碎概率隨著破碎的發(fā)展而逐漸增大；（2）單一粒徑組顆粒破碎概率小于 1。為探究其具體演化規(guī)律，本文進(jìn)行了一個簡單的單一粒徑組（D=2.5 mm）鈣質(zhì)砂一維壓縮試驗，壓縮應(yīng)力分別為 0.8、1.6、3.2、6.4、12.8、25.6、51.2 MPa，試驗后級配曲線如圖1所示。此外，搜集文獻(xiàn)[6－7]中的單一粒徑組顆粒破碎試驗數(shù)據(jù)，分別得到單一粒徑組顆粒破碎概率p與應(yīng)力σ、應(yīng)變γ之間的關(guān)系，如圖2所示。

圖1 單一粒徑組鈣質(zhì)砂壓縮試驗前后級配曲線Fig.1 Grading curves of uniformly graded calcareous sand before and after one-dimensional compression

圖2 單一粒徑組顆粒破碎概率變化規(guī)律Fig.2 Evolution of breakage probability

從圖2中可以看出，單一粒徑組顆粒破碎概率p隨應(yīng)力（應(yīng)變）增加而增大，當(dāng)應(yīng)力（應(yīng)變）達(dá)到某一值時，p趨于穩(wěn)定，可用式（1）可統(tǒng)一描述上述規(guī)律：

式中：ps、np為擬合參數(shù)。

對式（1）求極限，即可得到單一粒徑組顆粒破碎概率p的極限值（np為負(fù)數(shù)）：

圖2中所采用的3組數(shù)據(jù)按照式（2）可分別得到不同單一粒徑組顆粒試樣在該試驗條件下的極限破碎概率ps，見表1。

表1 各試樣極限破碎概率Table 1 Ultimate values of breakage probability

3 單一粒徑組顆粒破碎狀態(tài)規(guī)律分析

3.1 單一粒徑組顆粒破碎狀態(tài)

前文給出了單一粒徑組破碎概率的一般演化規(guī)律，研究了單一粒徑組顆粒材料在某一試驗下有多少顆粒發(fā)生破碎的問題。然而，要想知道顆粒材料破碎后級配曲線的變化，還需知道發(fā)生破碎的顆粒破碎成其他更小粒徑顆粒的分布狀態(tài)，即破碎狀態(tài)。基于筆者的前期研究[14]，認(rèn)為兩個參數(shù)的 Weibull分布函數(shù)能夠較好地描述破碎狀態(tài)的分布規(guī)律。

3.2 破碎狀態(tài)的描述

3.3 破碎狀態(tài)參數(shù)的變化規(guī)律分析

參數(shù)a、b可以通過式（5）擬合得到。對上文采用的3組數(shù)據(jù)按式（5）分別求得a、b，見表2。

表2 各試樣破碎狀態(tài)參數(shù)a、b值Table 2 Values of crushing state parameter a and b

根據(jù)表2中的破碎狀態(tài)參數(shù)值，繪出參數(shù)與應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系如圖3所示，擬合發(fā)現(xiàn)參數(shù)a、b均可統(tǒng)一用如下相同形式的指數(shù)函數(shù)：

式中：as、bs為當(dāng)應(yīng)力或者應(yīng)變趨于無窮大時，參數(shù)a、b的極限值。3組試驗數(shù)據(jù)的試樣破碎狀態(tài)參數(shù)的極限值見表3。

表3 各試樣破碎狀態(tài)參數(shù)極限值Table 3 Ultimate values of crushing state parameters

圖3 破碎狀態(tài)參數(shù)變化規(guī)律Fig.3 Evolution of crushing state parameters

4 單一粒徑組顆粒破碎極限分析

基于分形理論[15]，顆粒破碎被認(rèn)為是一個有界限的事件即隨著應(yīng)力（應(yīng)變）的增加，顆粒材料不會無限制的破碎，最終趨于一個穩(wěn)定的級配[7，10，12]。大多數(shù)顆粒材料破碎穩(wěn)定時其分形維數(shù)為 2.0～2.8之間[16]：斷層泥的最終分形維數(shù)為2.6±0.15[17]，石英砂的分形維數(shù)為 2.2～2.6[18]。受試驗儀器所限，一般的三軸試驗及剪切試驗的應(yīng)力（應(yīng)變）有限，很難判斷顆粒材料是否真正達(dá)到了穩(wěn)定級配[19]，上述的研究大部分是人為的假定在某一應(yīng)力（應(yīng)變）下材料達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。由上文分析可知，隨著破碎的進(jìn)行，單一粒徑組顆粒破碎概率p逐漸增加，最終趨于穩(wěn)定值ps；描述單一粒徑組顆粒破碎狀態(tài)的參數(shù)a、b均隨著破碎的發(fā)展而減小，最終也趨于穩(wěn)定值 as、bs；上述特性從數(shù)值規(guī)律上反映了穩(wěn)定級配的存在。下文將介紹一種計算單一粒徑組顆粒材料穩(wěn)定級配的方法。

將表 1、3中 a、b、p的極限值代入式（8）～（10）可得到gT(1)，即最終穩(wěn)定級配如圖4所示。

圖4 各試樣穩(wěn)定級配曲線Fig.4 Curves of ultimate grading for uniformly graded samples

圖4中，在雙對數(shù)坐標(biāo)下3組單一粒徑組試樣（D=2.5 mm的鈣質(zhì)砂顆粒，D=0.425 mm的玻璃珠顆粒以及D=0.425 mm的鈣質(zhì)砂顆粒）分別在各自試驗條件下達(dá)到穩(wěn)定級配時斜率分別為 0.7、0.66、0.72，即3組試樣達(dá)到破碎穩(wěn)定后分形維數(shù)分別為2.3、2.34、2.28。

5 結(jié) 語

本文研究了單一粒徑組顆粒材料破碎演化規(guī)律，其中單一粒徑組顆粒破碎概率p表征了單一粒徑組顆粒材料破碎程度，破碎狀態(tài)參數(shù)a、b則描述了單一粒徑組顆粒材料發(fā)生破碎的顆粒破碎成其它更小粒徑顆粒的分布狀態(tài)。3個參數(shù)隨著破碎的發(fā)展均達(dá)到穩(wěn)定值，從數(shù)值規(guī)律上反映了破碎極限的存在。最后提出一種計算單一粒徑組顆粒材料穩(wěn)定級配的方法。本文對單一粒徑組顆粒材料破碎演化規(guī)律的研究可為開展多粒徑組顆粒材料破碎演化規(guī)律提供重要的參考。

[1] 尹振宇, 許強(qiáng), 胡偉. 考慮顆粒破碎效應(yīng)的粒狀材料本構(gòu)研究: 進(jìn)展及發(fā)展[J]. 巖土工程學(xué)報, 2012, 34(12):2170－2180.YIN Zhen-yu, XU Qiang, HU Wei. Constitutive relations for granular materials considering particle crushing:Review and development[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 2012, 34(12): 2170－2180.

[2] ROSCOE K H, SCHOFIRLD A N, WROTH C P. On yield of soils[J]. Géotechnique, 1963, 8: 22－53.

[3] DAFALIAS Y F, POPOV E P. A model of nonlinearly hardening materials for complex loading[J]. Acta Mechanica, 1975, 21(3): 173－192.

[4] EINAV I. Breakage mechanics. part I. Theory[J]. Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 2007, 55(6):1274－1297.

[5] WOOD D M, MAEDA K. Changing grading of soil:Effect on critical states[J]. Acta Geotechnica, 2008, 3(1):3－14.

[6] HAGERTY M M, HITE D R, ULLRICH C R, et al.One-dimensional high-pressure compression of granular media[J]. Journal of Geotechnical Engineering, 1993,119(1): 1－18.

[7] COOP M R, SORENSEN K K, FREITAS T B, et al.Particle breakage during shearing of a carbonate sand[J].Géotechnique, 2004, 54(3): 157－163.

[8] NAKATA Y, HYODO M, HYDE A F L, et al.Microscopic particle crushing of sand subjected to high pressure one-dimensional compression[J]. Soils and Foundations, 2001, 41(1): 69－82.

[9] NAKATA A F L, HYDE M, HYODO H. A probabilistic approach to sand particle crushing in the triaxial test[J].Géotechnique, 1999, 49(5): 567－583.

[10] MCDOWELL G R. On the yielding and plastic compression of sand[J]. Soils and Foundations, 2002,42(1): 139－145.

[11] CHO G C, DODDS J, SANTAMARINA J C. Particle shape effects on packing density, stiffness, and strength:Natural and crushed sands[J]. Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering, 2006, 132(5): 591－602.

[12] MCDOWELL G R, BOLTON M D. On the micromechanics of crushable aggregates[J]. Géotechnique, 1998, 48(5):667－679.

[13] MIAO G, AIREY D. Breakage and ultimate states for a carbonate sand[J]. Géotechnique, 2013, 63(14): 1221－1229.

[14] 童晨曦, 張升, 李希, 等. 基于 Markov鏈的巖土材料顆粒破碎演化規(guī)律研究[J]. 巖土工程學(xué)報, 2015,37(5):870－877.TONG Chen-xi, ZHANG Sheng, LI Xi, et al. Research on evolution considering particle crushing of geotechnical materials based on Markov chain[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 2015, 37(5): 870－877.

[15] TURCOTTE D L. Fractals and fragmentation[J]. Journal of Geophysical Research(Solid Earth), 1986, 91(B2):1921－1926.

[16] STEACY S J, SAMMIS C G. An automaton for fractal patterns of fragmentation[J]. Nature, 1991, 353: 250－252.

[17] MARONE C, SCHOLZ C H. Particle-size distribution and microstructures within simulated fault gouge[J].Journal of Structural Geology, 1989, 11(7): 799－814.

[18] LU P, JEFFERSON I F, ROSENBAUM M S, et al.Fractal characteristics of loess formation: Evidence from laboratory experiments[J]. Engineering Geology, 2003,69(3): 287－293.

[19] BANDINI V, COOP M R. The influence of particle breakage on the location of the critical state line of sands[J]. Soils and Foundations, 2011, 51(4): 591－600.