江 浩，李榮建, ，閆 蕊，劉軍定，張 媛

（1. 西安理工大學 巖土工程研究所，陜西 西安 710048；2. 長安大學 國土資源部巖土工程開放研究實驗室，陜西 西安 710054）

1 引 言

模型試驗研究是一種比較直觀的科學研究方法，可根據(jù)實際需要進行試驗設(shè)計，通過模型試驗對各種復雜的巖土工程結(jié)構(gòu)的工作性能進行試驗研究，因此，巖土工程中通過各類模型試驗探討土-結(jié)構(gòu)系統(tǒng)力學響應機制逐漸成為試驗研究的重要的發(fā)展方向之一，土工模型試驗越來越受到研究者的廣泛關(guān)注[1－4]，并取得了豐富的研究成果。

模型試驗要求模型與原型之間遵循一定的相似準則，使得模型可以再現(xiàn)原型的特性，但模型試驗研究的可靠性在基于幾何相似的基礎(chǔ)上才取決于模型相似材料的相似性以及數(shù)據(jù)采集的可靠性。幾何相似比尺、相似材料力學指標與實際材料符合程度直接關(guān)系到模型試驗數(shù)據(jù)的準確程度，為確保在正確的尺寸縮尺模型中材料和原型材料性狀相似、應力和應變相等，關(guān)鍵的問題是正確設(shè)計模型試驗相似比尺，選擇和研制更加嚴格滿足相似比尺的模型材料，才能夠較好地模擬實際情況[5－7]。

在隧道模型研究方面，陳正發(fā)[8]、周小文等[9]對隧洞結(jié)構(gòu)在彎曲和軸向荷載作用下的相似條件和計算依據(jù)進行了分析，指出了隧道襯砌結(jié)構(gòu)原型和模型量值之間必需要有一套合理的比例縮放關(guān)系。李榮建等[10－11]指出了模型在力學響應模擬和破壞模擬中具體的模型理論比尺關(guān)系和關(guān)鍵問題，分析了不同層次的相似比尺要求下模型結(jié)構(gòu)材料的選擇與設(shè)計方法。熊田芳等[12]以西安地鐵二號線為研究對象，設(shè)計了幾何相似比尺1:50的隧道物理模型試驗，采用高強度替代材料制作了隧道模型，研究了隧道穿越地裂縫時襯砌與土體相互作用的力學響應。但是，模型試驗中幾何相似比尺的設(shè)計存在一定問題，可能使得通過隧道模型反演的原型隧道應力和彎矩等方面產(chǎn)生較大的誤差，不能合理地模擬實際情況。

為了評價幾何相似差異性對隧道模型和原型之間應力與彎矩的影響程度，本文首先討論隧道結(jié)構(gòu)模型試驗的相似比尺關(guān)系，分析模型試驗中相似材料的選用原則和要求。然后基于兩種不同的幾何相似程度，分析討論幾何相似程度對隧道模型和隧道原型結(jié)構(gòu)之間應力與彎矩結(jié)果的影響，藉此論證模型試驗中幾何相似程度決定了模型相似比尺設(shè)計的合理性，是模型試驗能否合理、高精度地反映和模擬原型結(jié)構(gòu)的關(guān)鍵性制約因素之一。

2 隧道模型試驗相似比尺與相似材料

2.1 模型試驗相似理論

模型試驗的理論基礎(chǔ)是相似理論，相似理論既是指導模型試驗設(shè)計的指南，又是分析原型力學響應的依據(jù)。

根據(jù)相似理論確定相似關(guān)系的原理是：若一個物理過程中共有n個物理量，k個基本量綱，則可以組成n-k個獨立的無量綱參數(shù)組合，無量綱參數(shù)組合簡稱“π數(shù)”。設(shè)一個物理過程為式（1），含有n個參數(shù)X1, X2, …, Xn：

任何一種可以用數(shù)學方程定義的物理現(xiàn)象都可以用無量綱數(shù)π來定義。相似的物理過程其相應的π數(shù)必然相等，因而可根據(jù)上述規(guī)律來確定相似條件，這就是Bockingham π定理。

2.2 模型試驗中地鐵隧道相似比尺的理論分析

基于上述Bockingham π定理，確定相似條件的具體方法有方程式分析法和量綱分析法。采用方程式分析法建立相似關(guān)系方便明確，但必須在模型試驗設(shè)計之前對所研究的物理過程中各物理量之間的函數(shù)關(guān)系，亦即對試驗結(jié)果與試驗條件之間的關(guān)系提出明確的數(shù)學方程式。量綱分析法是根據(jù)方程式量綱均衡性原理進行的，僅需明確影響所研究物理現(xiàn)象的物理量以及明確量測這些物理量所需要的量綱即可。

為確保在尺寸減小的模型試驗中各種材料和原型材料的性狀相似，試驗測定的數(shù)據(jù)有明確的對應原型，原型和模型之間必須有一套相適應的比例縮放關(guān)系。因此，相似比的設(shè)計是整個模型試驗中的一個關(guān)鍵環(huán)節(jié)。

將隧道襯砌視為薄板結(jié)構(gòu)，用薄板彎曲的控制方程來推導相似比。根據(jù)彈塑性力學中薄板彎曲的微分方程：

設(shè)板的厚度為h、x、y為2個互相垂直的坐標，橫向均布力為q，薄板的撓曲為w，彎曲剛度為Q，則方程變?yōu)?/p>

根據(jù)相似常數(shù)λ的定義，假定模型與原型有以下關(guān)系：

式中：z為板厚度方向的坐標。采用上述相同的方法推導，可以得到原型應力：

即為襯砌彎曲作用中地下結(jié)構(gòu)模型與原型應力的換算公式。將模型試驗所得的彎曲應力mσ代入式（20），可推得地下結(jié)構(gòu)原型的彎曲應力pσ。

2.3 相似材料的選用

模型試驗是采用與原型力學性質(zhì)相似的材料，按一定關(guān)系制成模型，應該具有原型結(jié)構(gòu)的全部或主要特征。在普通重力場內(nèi)，模型試驗規(guī)模是有限的，模型中各點的應力水平仍然比原型低得多，原型材料的應力-應變關(guān)系特別是非線性關(guān)系在模型中不能得到真實體現(xiàn)。通常在通過離心場或氣囊壓力實施后，這一問題可以得到一定程度的解決。模型試驗成果主要依賴于模型相似材料的相似性以及數(shù)據(jù)采集的可靠性，因此，相似材料力學指標與實際材料符合程度直接關(guān)系到模型試驗數(shù)據(jù)的準確程度。

進行相似模型試驗必須遵循相似條件，即要求模型不僅幾何形狀相似，而且在模型試驗過程中所包含的各物理量或主要物理量應與原型相似，由于不同種類的材料各有其特殊性質(zhì)，同一種材料，在應力-應變關(guān)系曲線中的不同階段，所表現(xiàn)出的力學性質(zhì)也不盡相同，包括受力條件在內(nèi)的各種外界條件都可以導致材料性質(zhì)的多變性。模型試驗前必須對所模擬的對象的有關(guān)問題進行具體分析，找出合適的相似材料，制作與原型相似的模型。

試驗室內(nèi)可利用相似材料，按相似原理制作與原型相似的模型，借助試驗儀器、儀表觀測模型的力學參數(shù)、變形狀態(tài)以及應力分布規(guī)律，根據(jù)在模型上研究的成果，推斷原型中可能發(fā)生的力學現(xiàn)象，達到利用相似模型的研究來解決工程中的實際問題的目的。因此，進行相似模型研究，相似材料必須滿足下面要求：（1）相似材料的主要力學性質(zhì)應與模擬的原型的結(jié)構(gòu)相似。（2）材料的力學性能穩(wěn)定，不受外界的影響。（3）容易成型，方便制作。（4）材料來源廣，成本低廉。

3 隧道模型幾何相似程度分析與比較

本文以西安地鐵二號線區(qū)間隧道為例，作為模型試驗中幾何相似程度分析的案例。地鐵隧道直徑為930 cm，內(nèi)襯采用鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)，襯砌厚50 cm，模擬的地鐵隧道總長度為90 m。

3.1 縮尺模型的設(shè)計

文獻[12]中設(shè)計的模型試驗中圍巖試驗土樣取自地鐵隧道施工現(xiàn)場，隧道模型襯砌采用有機玻璃制作，模型襯砌厚度為1 cm，制作模型襯砌的有機玻璃材料的泊松比為0.372。

值得注意的是：有機玻璃材料的彈性模量約為混凝土襯砌的 1/10，混凝土襯砌材料泊松比約為0.17，因此，彈性模量和泊松比的相似常數(shù)不為1。

3.2 隧道模型尺寸確定依據(jù)與檢驗

為了模型制作和試驗方便，隧道模型采用圓形橫斷面，如圖1所示。

圖1 隧道模型示意圖Fig.1 Sketches of tunnel model

文獻[12]中根據(jù)已確定的幾何相似常數(shù)lλ=1/50，確定有機玻璃隧道模型襯砌結(jié)構(gòu)尺寸。則隧道模型長度為

根據(jù)嚴格的相似比，采用本文推導的相似比尺公式所計算的隧道模型襯砌的壁厚為2.07 cm。但文獻[12]則忽略了相差較大的原型襯砌材料與模型襯砌材料的彈性模量和泊松比，并且認為這對襯砌結(jié)構(gòu)應力狀態(tài)誤差的影響很小，并求得隧道模型襯砌壁厚為1.0 cm。計算分析表明，這兩種結(jié)果差異明顯較大，說明了文獻[12]中幾何比尺的設(shè)計存在問題。

4 隧道模型與原型力學響應差異分析

4.1 隧道模型和隧道原型襯砌的應力比較

文獻[12]在模型試驗中通過對土體施加附加壓力的途徑來實現(xiàn)圍巖應力條件的相似比等于1.0的條件，并且認為由于試驗所模擬的圍巖應力場與原型近似一致，則模型與原型的隧道襯砌結(jié)構(gòu)的應力一致，模型中襯砌結(jié)構(gòu)的應力變化規(guī)律可直接反映到原型，即

根據(jù)模型試驗理論，對隧道原型和通過對土體施加附加壓力的隧道模型進行受力分析。圖2為隧道原型在自重應力下的受力分布圖，圖3為隧道模型表面施加附加應力的受力分布圖。

圖2 隧道原型的自重應力分布Fig.2 Vertical stress distribution of prototype tunnel

圖3 模型表面施加附加應力的應力分布Fig.3 Equivalence stress distribution in tunnel model

為了驗證試驗的差異性，參考了文獻[12]某一測點測試值（見圖4），當正交地裂縫發(fā)生25 cm錯動位移時，在距離地裂縫0.5 m處該測點上盤內(nèi)模型襯砌結(jié)構(gòu)應力為-2.006 4 MPa，文獻[12]認為該點對應的原型隧道襯砌結(jié)構(gòu)的應力pσ= -2.006 4 MPa。

圖4 隧道模型襯砌結(jié)構(gòu)測點布置Fig.4 Arrangement of measuring points inlining of tunnel model

經(jīng)過本文分析，在嚴格的控制相似比尺關(guān)系的條件下，根據(jù)式（25）計算得到該點對應的隧道襯砌的原型應力pσ′=-2.261 2 MPa。pσ與pσ′這兩者之間的差值為0.254 8 MPa，這個差值還是比較大的，其分析誤差超過了12%。同理，如果按照式（26）進行計算，結(jié)果差異將會更加顯著。因此，本文認為文獻[12]模型中襯砌結(jié)構(gòu)的應力變化規(guī)律可直接反映到原型是不合理的，與實際情況有較大差異。

4.2 隧道模型和原型襯砌結(jié)構(gòu)彎矩比較

材料力學彎曲正應力的計算公式為

圖5 隧道模型縱向正應力與彎矩分布Fig.5 Distribution of longitudinal normal stress and bending moment of tunnel model

由式（30）可得隧道模型襯砌彎矩 Mm和隧道原型Mp的比例關(guān)系式為

本文考慮到原型襯砌材料與模型襯砌材料的彈性模量和泊松比相差較大時，在嚴格控制相似比條件下，對式（31）進行推導以便得出模型和原型的彎矩反演關(guān)系。首先，可令

由此可以得到隧道襯砌原型彎矩 Mp和隧道模型彎矩Mm之間的關(guān)系式，即

對比式（39）和式（40）可知，本文和文獻[12]在兩種不同幾何相似程度情況下得到的隧道襯砌原型彎矩Mp和隧道模型彎矩Mm之間的關(guān)系式差異很大，其分析誤差達到了142.1%。

本文提出的隧道襯砌原型彎矩 Mp和隧道模型彎矩 Mm的關(guān)系式具有嚴格的相似比尺的理論基礎(chǔ)，可以通過隧道模型彎矩正確地反演原型隧道相應的彎矩，可以合理地模擬原型隧道的實際情況。

5 結(jié) 論

（1）為確保在尺寸減小的隧道襯砌模型中各種材料和原型材料的性狀相似，試驗測定的數(shù)據(jù)具有明確對應的原型，討論了隧道襯砌結(jié)構(gòu)原型和模型之間量值之間的比例縮放關(guān)系和模型材料的選擇。

（2）分析了兩種幾何縮尺模型，第一種是沒有按照嚴格相似比進行隧道模型幾何尺寸的確定，第二種是嚴格控制相似比進行模型幾何尺寸的確定，這兩種情況計算的隧道模型襯砌厚度差值較大。分析表明幾何相似是必要條件，不能輕易放松這個條件，否則數(shù)據(jù)分析的偏差較大而不能較好地模擬實際原型。

（3）推導了兩種縮尺隧道模型條件下應力和彎矩的關(guān)系式，在沒有嚴格控制相似比和嚴格控制相似比尺兩種不同條件下得到的隧道原型的應力與彎矩差異較大，應力的誤差超過12%，彎矩的誤差超過 140%。表明只有嚴格控制相似比條件下隧道模型才能合理、高精度地反映隧道原型。

隧道襯砌結(jié)構(gòu)的原型材料與模型材料的彈性模量和泊松比相差較大時，隧道襯砌結(jié)構(gòu)的厚度必須按照嚴格的相似比來計算，才能夠較好地模擬實際情況。

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