唐 寧,馮長(zhǎng)煥,何沁洋

(西華師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息學(xué)院,四川 南充 637002)

基于EGARCH-εt-GPD模型的VaR計(jì)算

唐 寧,馮長(zhǎng)煥,何沁洋

(西華師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息學(xué)院,四川 南充 637002)

在傳統(tǒng)的利用極值理論來(lái)計(jì)算VaR的過(guò)程中,一般先是對(duì)時(shí)間序列建立GARCH模型,再對(duì)殘差序列運(yùn)用極值理論建模,從而估計(jì)得到VaR.但建模時(shí)在GARCH模型的條件方差方程中,人們只考慮了以前時(shí)刻的隨機(jī)誤差項(xiàng)對(duì)方差的影響,而忽視了當(dāng)前時(shí)刻的隨機(jī)誤差項(xiàng)對(duì)方差所作出的貢獻(xiàn).故作者在對(duì)時(shí)間序列建立EGARCH模型時(shí),在方差方程中引進(jìn)了當(dāng)前時(shí)刻的隨機(jī)誤差項(xiàng),然后再對(duì)殘差建立GPD模型來(lái)研究風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值,并進(jìn)行了相應(yīng)的實(shí)證分析,結(jié)果表明加入當(dāng)前時(shí)刻的隨機(jī)誤差項(xiàng)后估計(jì)得到的VaR準(zhǔn)確性更高.

EGARCH模型; GPD分布; 極值理論; VaR

1 預(yù)備知識(shí)

近年來(lái),由于種種原因金融時(shí)間序列的波動(dòng)性日益增大,正是因?yàn)檫@種波動(dòng)所具有的不確定性導(dǎo)致了人們極其關(guān)注金融市場(chǎng)可能存在的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值(VaR),所以衍生出了許多計(jì)算VaR的方法．

在利用傳統(tǒng)方法計(jì)算VaR時(shí)常常假設(shè)收益率序列服從正態(tài)分布.但是隨著人們進(jìn)一步的研究發(fā)現(xiàn)金融時(shí)間序列存在波動(dòng)集聚性、尖峰厚尾性和杠桿效應(yīng),故一般的正態(tài)分布假設(shè)已不再滿足要求,于是許多學(xué)者又假設(shè)序列服從稍滿足尖峰厚尾的t分布或GED分布等,但是并非所有的金融數(shù)據(jù)都完全服從t分布或GED分布,且VaR主要是對(duì)極值的估計(jì),故人們又將極值理論應(yīng)用到了VaR的計(jì)算中.對(duì)于利用極值理論計(jì)算VaR的研究已經(jīng)有許多,如:2003年張國(guó)輝在論文《極值理論及其在風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值中的應(yīng)用》[1]中利用極值理論討論了具有厚尾特性的上證指數(shù)的VaR值;2008年歐陽(yáng)資生基于指數(shù)回歸模型構(gòu)造了厚尾分布的極值分位數(shù)估計(jì),得到了VaR的計(jì)算公式[2];因很多金融時(shí)間序列不滿足極值理論所要求的相互獨(dú)立這一條件,所以2013年俞慧琴將GARCH模型與GPD模型結(jié)合形成了GARCH-GPD模型,利用極值理論分析了具有高峰厚尾和波動(dòng)集聚性的收益率的VaR,并進(jìn)行了相應(yīng)的實(shí)證分析,說(shuō)明了基于GARCH-GPD模型下的VaR具有一定的優(yōu)越性[3]等等.

由于EGARCH模型克服了許多GARCH模型的不足且能很好地反應(yīng)金融時(shí)間序列的波動(dòng)集聚性和杠桿效應(yīng),而極值理論中GPD模型能很好地刻畫(huà)尾部極值的分布,故本文在加入了當(dāng)前時(shí)刻的隨機(jī)誤差項(xiàng)后,將EGARCH模型和GPD模型結(jié)合,利用EGARCH-εt-GPD模型研究了風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值.

2 理論知識(shí)

2.1 EGARCH模型

為了在反映方差時(shí)變性的同時(shí)刻畫(huà)金融時(shí)間序列的杠桿效應(yīng),學(xué)者將Engle定義的ARCH(q)模型:

(1)

(2)

中的均值方程(1)保持不變,而將條件方差方程(2)改為:

(3)

形成了EGARCH(p,q)模型.然而從EGARCH模型的條件方差方程(3)可看出,在計(jì)算t時(shí)刻的方差時(shí),人們只考慮了t時(shí)刻以前的隨機(jī)誤差項(xiàng)對(duì)方差的影響,而忽視了當(dāng)前時(shí)刻的隨機(jī)誤差項(xiàng)對(duì)方差所作出的貢獻(xiàn),為了彌補(bǔ)這一不足,故本文在方差方程中引進(jìn)當(dāng)前時(shí)刻的隨機(jī)誤差項(xiàng)并結(jié)合金融時(shí)間序列的實(shí)際情況建立了加入當(dāng)前隨機(jī)誤差項(xiàng)的EGARCH-εt模型:

其中εt是由計(jì)算機(jī)隨機(jī)產(chǎn)生的當(dāng)前時(shí)刻的隨機(jī)誤差項(xiàng),其值滿足均值與方差等于t時(shí)刻以前的誤差項(xiàng)的均值與方差.

2.2 VaR定義

VaR被定義為:在一給定的置信水平下,預(yù)計(jì)資產(chǎn)在將來(lái)某一時(shí)間段內(nèi)可能的最大損失.即:

(4)

其中Rt為資產(chǎn)在第t期的收益率,VaRt為t時(shí)刻α水平下的VaR(從VaR的定義可知VaR的本質(zhì)是概率分布函數(shù)的分位數(shù)).

將(4)式作適當(dāng)?shù)淖冃慰傻肊GARCH模型下收益率序列的VaREGARCH與經(jīng)EGARCH模型過(guò)濾后得到的殘差序列εt的VaRε之間的關(guān)系;

(5)

其中ut和σt分別是t時(shí)刻序列的均值和標(biāo)準(zhǔn)差.由于計(jì)算得到的ut非常小,故可用總體均值代替

2.3 極值理論——廣義帕累托分布(GPD)

(6)

當(dāng)u充分大時(shí)Fu(y)≈Gτ,σ(y)(GPD分布),其中

(7)

(8)

從而由尾部估計(jì)公式求分位數(shù)函數(shù)得到VaR為:

(9)

其中公式(9)中的參數(shù)σ,τ是對(duì)GPD采用極大似然法估計(jì)得到的.

在利用極值理論計(jì)算VaR時(shí)一般要求序列是獨(dú)立同分布的,但通常情況下收益率序列本身卻存在著自相關(guān)性,然而在經(jīng)EGARCH模型過(guò)濾后得到的殘差序列εt可滿足獨(dú)立同分布這一條件,故可通過(guò)以下思想來(lái)計(jì)算收益率序列的VaR:首先對(duì)收益率序列用時(shí)間序列模型擬合,得到殘差序列,再判斷殘差序列是否近似為獨(dú)立同分布序列,若滿足,則用GPD模型擬合殘差序列并估計(jì)殘差VaR,最后再根據(jù)(5)式由殘差序列的VaR計(jì)算得到收益率序列的VaR.

3 實(shí)證分析

3.1 數(shù)據(jù)來(lái)源及處理分析

本文采用上證指數(shù)2009-01-01到2014-07-31的日收盤價(jià)為樣本,共1 351個(gè)數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)證分析,數(shù)據(jù)來(lái)源于網(wǎng)易財(cái)經(jīng)網(wǎng).本文對(duì)收盤價(jià)的處理為Rt=-(lnPt-lnPt-1)(Pt為資產(chǎn)在t時(shí)刻的價(jià)格),經(jīng)處理后共1 350個(gè)數(shù)據(jù).利用eviews6.0對(duì)序列Rt進(jìn)行分析得到如下結(jié)果:

1)對(duì)序列Rt作單位根ADF檢驗(yàn),其t統(tǒng)計(jì)量的值為-36.125 09小于-3.434 987,即在0.01的顯著水平下序列Rt平穩(wěn).

2)序列Rt的偏度為0.375 715大于0,峰度為 5.375 576大于3,說(shuō)明序列Rt具有高峰厚尾性,且JB統(tǒng)計(jì)量的伴隨概率為0.000小于0.05,所以序列Rt不服從正態(tài)分布.

3)對(duì)Rt進(jìn)行ARCH效應(yīng)的LM檢驗(yàn),其結(jié)果表明2階以后的LM統(tǒng)計(jì)量的伴隨概率均小于0.05,說(shuō)明殘差具有高階的ARCH效應(yīng),且金融時(shí)間序列常存在杠桿效應(yīng),所以對(duì)收益率序列Rt建立EGARCH比較合理.

3.2 建立模型并進(jìn)行參數(shù)估計(jì)

3.2.1 對(duì)序列Rt建立ARMA-EGARCH-εt模型

盡管EGARCH(p,q)模型能很好地刻畫(huà)金融時(shí)間序列的異方差性和杠桿效應(yīng),但為了進(jìn)一步準(zhǔn)確地刻畫(huà)收益率序列的VaR,本文在多次嘗試后利用在方差方程中加入當(dāng)前時(shí)刻隨機(jī)誤差項(xiàng)的EGARCH(1,1)-εt模型對(duì)處理后的上證指數(shù)日收益率序列Rt進(jìn)行擬合,相關(guān)參數(shù)估計(jì)結(jié)果如表一.

表1 Rt序列EGARCH(1,1)-εt模型的參數(shù)估計(jì)結(jié)果

故加入當(dāng)前時(shí)刻殘差后的條件方差方程為:

而傳統(tǒng)EGARCH(1,1)模型的相關(guān)參數(shù)估計(jì)結(jié)果為:

表2 Rt序列EGARCH(1,1)模型的傳統(tǒng)參數(shù)估計(jì)結(jié)果

故傳統(tǒng)的條件方差方程為:

3.2.2 對(duì)殘差序列建立GPD模型

經(jīng)檢驗(yàn),對(duì)序列Rt建立ARMA-EGARCH-εt模型后的殘差序列εt是獨(dú)立且不服從正態(tài)分布的近似白噪聲序列,故可對(duì)殘差εt建立GPD模型.而建立GPD模型的關(guān)鍵是確定閥值,閥值過(guò)大或閥值過(guò)小都直接影響到模型準(zhǔn)確性,結(jié)合所采用的數(shù)據(jù)特點(diǎn),本文選取數(shù)據(jù)1.655 454 777作為閥值來(lái)估計(jì)GPD模型中的參數(shù).利用極大似然法估計(jì)出參數(shù)σ=3.850 8,τ=-0.718 1,從而由公式(9)可估計(jì)出殘差VaRε=1.571 106 34.

3.3 計(jì)算收益率VaR并進(jìn)行后驗(yàn)檢驗(yàn)

結(jié)合ARMA-EGARCH-εt模型的估計(jì)結(jié)果、估計(jì)出的殘差VaRε和公式(5)可得不同置信水平下加入當(dāng)前隨機(jī)誤差項(xiàng)的EGARCH-εt-GPD模型的VaR值.

本文計(jì)算了置信度為95%的后300天的VaR,部分計(jì)算結(jié)果如表3.

表3 EGARCH-εt-GPD模型下的部分VaR值

在估計(jì)出的300天中損失超過(guò)VaR的天數(shù)為15天,失敗率為0.05.故通過(guò)EGARCH-εt-GPD模型計(jì)算得到的VaR是準(zhǔn)確的.

4 結(jié)論

本文首先通過(guò)在方差方程中加入當(dāng)前隨機(jī)誤差項(xiàng)對(duì)上證指數(shù)的收益率序列建立ARMA-EGARCH-εt模型進(jìn)行擬合,擬合的方差方程為:

這樣既刻畫(huà)了收益率序列的尖峰厚尾性和杠桿效應(yīng),也消除了ARCH效應(yīng),然后再對(duì)殘差序列應(yīng)用極值理論建立了GPD模型,最后根據(jù)收益率序列的VaREGARCH與殘差序列εt的VaR的關(guān)系計(jì)算了后300天的EGARCH-εt-GPD模型VaR值(表3),經(jīng)后驗(yàn)檢驗(yàn)其失敗率為0.05,說(shuō)明得到的VaR準(zhǔn)確性較高．而由傳統(tǒng)EGARCH-GPD模型計(jì)算出的VaR值(表4),其失敗率為0.043,這說(shuō)明加入當(dāng)前隨機(jī)誤差項(xiàng)的VaR值更準(zhǔn)確．

表4 傳統(tǒng)EGARCH-GPD模型下的部分VaR值

由加入當(dāng)前時(shí)刻的隨機(jī)誤差項(xiàng)得到的EGARCH-εt-GPD模型的VaR,其最大值為0.261 071 54,最小值為0.011 870 679,均值為0.017 276 371.而由傳統(tǒng)的EGARCH-GPD模型的VaR,其最大值為0.24 305 007,最小值為0.011 862 958,均值為0.017 023 241.這說(shuō)明從總體上來(lái)說(shuō),加入當(dāng)前時(shí)刻的隨機(jī)誤差項(xiàng)后所計(jì)算得出的VaR比直接計(jì)算得到的VaR稍大,故此種方法適用于對(duì)風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值比較敏感的金融行業(yè)．

[1] 張國(guó)輝.極值理論及其在風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值中的應(yīng)用[D].杭州:浙江大學(xué),2003

[2] 歐陽(yáng)資生.厚尾分布的極值分位數(shù)估計(jì)與極值風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度研究[J].數(shù)理統(tǒng)計(jì)與管理,2008(1):70-75

[3] 俞慧琴.基于極值理論VaR模型的上市公司行業(yè)風(fēng)險(xiǎn)比較研究[D].杭州:浙江大學(xué),2013

The Calculation of VaR Based on EGARCH-εt-GPD Model

Tang Ning, Feng Changhuan,He Qinyang

(School of Mathematics and Information,China West Normal University, Nanchong 637002,China)

In the process of calculating the VaR by the traditional extremum theory, generally in the first the GARCH model is set up on the time sequence, and then, the extremum theory is adopted to model the residual sequence so as to estimate the VaR. But when modeling in the conditional variance equation of the GARCH model, people only consider the influence of the random error term of the past on the variance while ignoring the contribution made by the random error term of the current to the variance. Therefore, when the EGARCH model is set up on the time series by the author, the random error term of the current is brought in the variance equation. And, the GPD model is built on the residual error to study its value at risk and to analyze it empirically. The result shows that the accuracy of the VaR is higher by the way that the VaR is incorporated with the random error term of the current.

EGARCH model; GPD distribution; extreme value theory; VaR

2014-12-26 基金項(xiàng)目:西華師范大學(xué)基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助(14C004);南充市社科規(guī)劃一般規(guī)劃課題(NC2013B027).

唐 寧(1991-), 女,西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院碩士研究生,主要從事統(tǒng)計(jì)學(xué)理論及應(yīng)用研究.

1672-2027(2015)01-0054-04

TP311

A