王雪茹，趙繼偉

（西北大學數(shù)學與科學技術(shù)史研究中心，陜西西安710127）

基于倍角三角形的一類一元高次方程求解

王雪茹，趙繼偉

（西北大學數(shù)學與科學技術(shù)史研究中心，陜西西安710127）

研究韋達構(gòu)造倍角三角形的一般方法，總結(jié)出n倍角三角形正余弦與單倍角三角形正余弦之間的關(guān)系，并根據(jù)這種關(guān)系，給出一類特殊的一元高次方程的解法。

倍角三角形；余弦公式；高次方程求解

高次方程的求解在數(shù)學史上具有重要的地位。長期以來，數(shù)學家們發(fā)明了很多種數(shù)值算法來逼近方程的實根。法國數(shù)學家韋達(Francois Vieta, 1540—1603)從研究倍角三角形入手，發(fā)現(xiàn)了n倍角展開式和高次方程之間的關(guān)聯(lián)，一度解決了一個特殊的45次方程。

本文通過研究韋達關(guān)于倍角三角形的構(gòu)造方法，推導出一般n倍角正余弦公式，并且通過n倍角正余弦①正余弦：本文中所有出現(xiàn)的正余弦在韋達所在的時期都沒有，韋達對正弦的表示是直角三角形中高與斜邊的比，余弦也表示為底邊與斜邊的比，本文為方便理解引入我們今天所用的正余弦的概念及表示方法。與單倍角正余弦之間的恒等關(guān)系，研究滿足一類特殊系數(shù)的一元高次方程的求解。韋達就曾用此方法解決了比利時數(shù)學家羅馬努斯（Adriaen van Roomen，1561—1615）提出的45次方程的解[1]208。筆者還將給出可求解的這一類一元高次方程的系數(shù)表,用來驗證所給出的高次方程是否可以用這種方法求解，如果系數(shù)滿足表中數(shù)字，則可以按照這種方法給出其解答。

1 倍角三角形構(gòu)造

法國數(shù)學家韋達，在他從事律師職業(yè)期間研讀了卡爾丹、塔塔利亞、邦貝利、斯蒂芬和丟番圖等數(shù)學家的著作[2]129?！斗治鲂g(shù)》(The analytic art)是T.Richard Witmer整理翻譯韋達在1584年左右的幾篇著作，其中包括《分析術(shù)引論》(Introduction to the analytic art)、《符號運算法則》（Preliminary notes to symbolic logistic）、《角分割的一般定理》(Universal theorems on the analysis of angular sections)等8部分[3]9-10。

在《符號運算初步》中韋達利用兩個已知直角三角形構(gòu)造第三個直角三角形，并且滿足第三個直角三角形的底角是已知直角三角形底角之和或之差，推導出第三個三角形三條邊與已知直角三角形三條邊之間的關(guān)系[4]。具體構(gòu)造方法如下：已知兩個直角三角形，斜邊分別為Z,X，高分別為B,F，底邊分別為D,G，底角分別為∠a和∠b，如圖1所示。

圖1 已知直角三角形

根據(jù)兩角之和的正余弦公式可得，構(gòu)成的第三個直角三角形的底角是兩個已知直角三角形的兩底角之和，它的斜邊相似于第一個直角三角形的斜邊與第二個三角形斜邊的乘積，稱之為ZX，高相似于第一個三角形的高與第二個三角形底邊的乘積，加上第一個三角形的底邊加上第二個三角形的高，即BG+DF，底邊相似于兩個三角形的高的乘積與兩個三角形底邊乘積之差DG～BF。相應(yīng)的根據(jù)兩角之差的正余弦定理可得，構(gòu)成的第四個三角形的底角是兩個已知直角三角形的底角之差，它的斜邊相似于ZX，高相似于DG～BF，底邊相似于DG～BF。具體如圖2所示，前者稱為合角三角形，即它的底角是已知直角三角形的底角之和；后者成為分角三角形，即它的底角是兩個已知直角三角形的底角之差。

圖2 合角三角形及分角三角形

按照合角三角形的構(gòu)造方法，設(shè)兩個全等的直角三角形斜邊為A，底邊為D，高為B，構(gòu)造第三個直角三角形。那么按照上面給出的合角三角形三邊滿足的關(guān)系可知：構(gòu)造的新的直角三角形的底角是已知兩個三角形底角的之和，也就是已知全等三角形底角的2倍，它的三條邊滿足：斜邊相似于已知直角三角形兩條斜邊的乘積，即A2；底邊相似于已知的直角三角形底邊的乘積與高的乘積之差，即D2～B2；高相似于第一個直角三角形高與第二個直角三角形底邊的乘積加上第一個直角三角形底邊與第二個直角三角形高的乘積，即2BD。如圖3所示。其中二倍角三角形的斜邊、底邊及高分別相似于：

圖3 二倍角三角形

同理，單倍角與二倍角之間使用合角三角形的方法，可得三倍角三角形三邊分別相似于：

四倍角三角形三條邊分別相似于：

五倍角三角形的三條邊分別相似于：

從上面的推導過程我們可以得到如下的一般規(guī)律：n倍角三角形的斜邊相似于A的n次冪，對應(yīng)的底邊與高的組成項都是二項式（D+B）n的n+1個展開項，項按照D的冪次從大到小排列，其中第1、3、5等項組成底邊，并且正負相間；第2、4、6等項組成高，并且正負相間[5]。這樣便給出了一般n倍角三角形三條邊之間的比例關(guān)系，或者說在一定意義上給出了n倍角正余弦公式。

2 一般n倍角余弦公式

根據(jù)上面給出的n倍角三角形三邊之間的關(guān)系式可得：

總結(jié)一般n倍角三角形的恒等式為：

按照上面的公式推導可得2cosnα關(guān)于2cosα的表達式，用表1表示系數(shù)絕對值。表1中的數(shù)字滿足：an,m=an-1,m+an-2,m-1這樣的關(guān)系，所以按照這樣的關(guān)系可以一直做下去，得到n倍角三角函數(shù)的恒等式系數(shù)。

3 高次方程求解

1593年，時任荷蘭大使的比利時數(shù)學家羅馬努斯（Adriaen van Roomen，1561—1615）向法國國王亨利四世提出的了一個45次方程

x45-45x43+945x41-12300x39+…-3795x3+45x=C并宣稱法國無人能解。韋達發(fā)現(xiàn)這是一個關(guān)于類似于正弦函數(shù)的恒等式，并給出C=2sinα則這樣的一個解，隨后他給出這個式子的所有的23個正解，即，韋達還指出

這個方程還可以有22個負解，不過他本人并不接受負數(shù)，但是在一定意義，韋達解決了這個45次方程。

上面是韋達給出的對于這樣的45次方程的解，按照韋達的思想換個方式來做。令C=2cos45α，按照上一節(jié)給出的公式，滿足

很容易發(fā)現(xiàn)45倍角的余弦定理中的系數(shù)與方程中的系數(shù)一致，并且相鄰的冪也相差兩次，我們可以直接給出方程的根為

表1 n倍角余弦公式系數(shù)表

從這個方程的解得出：所有滿足n倍角正余弦公式系數(shù)及冪的方程，都可以按照代入正余弦恒等式的方法求解，這類特殊高次方程的系數(shù)可以參照表1的數(shù)字，如果滿足其中的某一關(guān)系就可以用這樣的方法求解。

筆者給出一個例題：求解下面的11次方程，

觀察發(fā)現(xiàn)這個方程的系數(shù)滿足表中11倍角的余弦恒等式的系數(shù)，相鄰未知數(shù)的次數(shù)也是相差兩次，且未知數(shù)對應(yīng)系數(shù)的符號正負相間，所以按照這樣的方法，可以令C=2cos11α相應(yīng)的可以給出滿足x=2cos(k=0，1，2，…，10)的一組解，由于k有11個不同的值，所以這樣的方程就有11個不同的解。

多倍角余弦定理的恒等式，為我們處理這一類高次方程提供了直接簡單的方法。在我們遇到一個高次方程求解的問題時，我們可以把這樣的方法當作一種判定的條件，如果滿足上面的條件，或者適當變換后滿足上面的條件，我們可以直接使用上面的方法給出答案，反之則需要我們再去尋找其他的方法。

4 結(jié)論

本文通過對《分析術(shù)》中的研究，總結(jié)了韋達構(gòu)造合角三角形的一般方法，并由此推出倍角三角形三條邊之間的關(guān)系，總結(jié)一般余弦公式，并且給出的一類特殊高次方程的求解方法，即所有滿足xn-axn-2+a1xn-4-…=C類型的一元高次方程，相鄰未知數(shù)次數(shù)相差2個，方程系數(shù)正負號間隔出現(xiàn)，且系數(shù)滿足表中某一行的系數(shù)關(guān)系，則這類方程可用上面的方法求解。

[1]UTA C M,CARL B B.A history of mathematics[M].Thired edition.Hoboken:John Wiley&Sons.Inc.2010.

[2]李文林.數(shù)學史概論[M].2版.北京：高等教育出版社，2002.

[3]FRANCOIS V.The analytic art[M].Translated by T.Richard Witmer.New York:Dover Publications Inc，2006.

[4]FRANCOIS V.Ad logisticem speciosam notae priores[J].G. Baundry,1631(82)：13-41.

[5]IAN B.A translated account of viète's ad angulares sectiones [EB/OL].[2015-03-08].http://www.17centurymaths.com/ contents/Angular%20Sections.pdf,.

Find the Solution for One Kind of Higher Degree Univariate Polynomial Equation Based on the Multiple-angle Triangle

WANG Xueru,ZHAO Jiwei
(Center for the History of Mathematics and Science,Northwest University,Xi’an 710127,Shaanxi,China)

Based on the research of Francois Viete’s general method for construction of multiple triangle,summarized the relationship of sine and cosine formula between multiple angle and single angle.At last set out the solution for one kind of higher degree univariate polynomial equation.

multiple-angle triangle;cosine formula;the solution for equation of higher degree

N09

A

1672-2914（2015）02-0021-03

2015-02-14

國家自然科學基金項目（11171271；11001217）。

王雪茹（1989-），女，陜西藍田縣人，西北大學數(shù)學與科學技術(shù)史研究中心碩士研究生，研究方向為古代數(shù)學史。

：趙繼偉，副教授，E-mail：553881072@qq.com。