陳海鴻，楊芳萍

（1.隴東學院數(shù)學與統(tǒng)計學院，甘肅慶陽745000；2.蘭州大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，甘肅蘭州730000；3.隴東學院信息工程學院，甘肅慶陽745000）

[數(shù)理科學與信息科學研究]

擬線性橢圓問題正解的存在性和不存在性

陳海鴻1,2，楊芳萍3

（1.隴東學院數(shù)學與統(tǒng)計學院，甘肅慶陽745000；2.蘭州大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，甘肅蘭州730000；3.隴東學院信息工程學院，甘肅慶陽745000）

擬線性奇異橢圓方程；對流項；雙參數(shù)；正解

討論了Dirichlet邊界條件下擬線性奇異橢圓方程

非線性奇異邊值問題起源于研究化工多相催化的前后關系及化學催化劑動力學、導電材料的熱傳導理論、奇異極小曲面以及非牛頓流體、黏性流體的邊界層現(xiàn)象等[1-5]。

當p=2,a=0時，M Ghergud等[6]假設奇異項g(t)在原點周圍類似于t-α,α∈(0,1),在K(x)＜0,x∈且λ,μ＞0,問題(pλ,μ)在中有唯一解。另一方面，若K(x)＞0,x∈，存在λ*,μ*，使λ＞λ*或μ＞μ*時，問題(pλ,μ)在Σ中有解，當λ＜λ*且μ＜μ*時，問題(pλ,μ)在Σ中無解。M Ghergud等[7]證明了若K(x)＞0,x∈，g(t)在原點附近滿足，僅當λ＞0足夠大時，方程至少存在一個解。M Ghergud等[8]證明了若0＜a＜1則方程對所有的λ≥0至少有一古典解，若1＜a≤2則方程在λ較大時無解。p≠2,a=0的情形，通常采用變分法證明解的存在性及多重性[9-13]，含有對流項的奇異P-Laplace問題的研究論文不多。本文利用比較原理和上下解方法，得到了當λ,μ在某范圍內(nèi)時一類奇異擬線性橢圓問題解的存在性和非存在性的幾個結(jié)果。

1 預備知識

本文考慮下面含有雙參數(shù)和對流項的擬線性橢圓問題

其中Ω?RN(N≥2)是有光滑邊界?Ω的有界區(qū)域，是p拉普拉斯算子，連續(xù)，關于第二個變量不減，關于第二個變量是次線性的，g∈C0,γ(0,∞),g＞0且不增，λ,μ是兩參數(shù)。假定f,g滿足下列假設。

由(H4)可得如下的Keller-Osserman型條件

記λ1,φ1分別表示特征值問題

的第一特征值和對應于第一特征值的特征函數(shù)。

定義1非負函數(shù)u:Ω→(0,∞)稱為問題(pλ,μ)的弱上解，是指u∈W1,p(Ω)，在?Ω上u≥0，且

定義2非負函數(shù)u:Ω→(0,∞)稱為問題(pλ,μ)的弱下解，是指u∈W1,p(Ω)，在?Ω上u≤0，且有

定義3非負函數(shù)u:Ω→(0,∞)稱為問題(pλ,μ)的弱解，是指u∈W1,p(Ω)，且有

2 主要結(jié)果及證明

先證如下存在性定理。

設F滿足如下條件：

(F1)F：×（0，∞）→R是×（0，∞）的任意緊子集上具有指數(shù)β()β∈(0,1)的Ho¨lder連續(xù)函數(shù)。

(F3)?t＞0，存在常數(shù)D(t)＞0，使得?x∈及r≥s≥t有

并且存在δ＞0和非空開子集Ω0?Ω，使得s∈(0,δ)有

對x∈Ω0一致的成立。

定理1若F滿足(F1)～(F3)，則對任意的非負函數(shù)φ0∈C1,β(?Ω)，任意旳緊子集G?Ω?{x∈?Ω:φ0＞0}問題

至少有一正解u∈C1,β(G)?C(Ωˉ)。

證明：考慮邊值問題

其中k為正整數(shù)。

記φm,k(x)(φm,∞(x))是如下問題的解

于是對所有的m,k≥1，有

若x∈,m*≥m及k*≥k有

則存在d1,d2＞0，使得

由Schauder估計，只要m,k充分大，可以使φm,k(x)很小對x∈一致的成立。從而，存在整數(shù)m0，由式（2）有

由式（1）得

因此，若x∈Suppξ且m,k≥m0，對φ≥0，則由式（4）（5）有

當m,k≥m0時，φm,k(x)是問題(pk)的一個弱下解。

記δk=，則有

由（F2），取λ0＞0使得

考慮如下問題

令k0是一充分大的正整數(shù)，可以驗證對每個k≥m0,k0ζ(x)問題(pk)的一個弱上解，同時有

第二步：定義迭代如下

由（F3）得，?x∈Ω,s?F(x,s)+D(δm0)sp-1是上的增函數(shù)，取w0(x)=φm0,m0(x)或 (k0ζ(x))，可得一單調(diào)序列收斂到問題(pm0)的解um0(x)∈W1,p(Ω)，并有。用m0+1替換m0，取w0(x)=φm0,m0+1(x)或 (um0(x))，類似于上面的討論可得問題(pm0+1)的正解um0+1(x)∈W1,p(Ω)，又由-Δp+D(δm0+1)的比較原理得

并且對任意k≥m0,uk(x)是問題(pk)的解。

另一方面，由F的假設條件，存在數(shù)

由比較原理有

從而有

其中Q(x)是問題

的解。若G是Ω?{x∈?Ω|?(x)＞0}的緊子集，存在兩正數(shù)E1(G),E2(G)，使得

由Schauder理論和正則理論可得u(x)∈C1,β(G)是問題（3）的解。又若x0∈?Ω，則對?ε＞0,?ρ＞0及整數(shù)m1≥m0，使得

則u(x)在上連續(xù)并滿足邊界條件，定理得證。

定理2設K*＞0，f滿足(H1)、(H2)；且，則對所有λ,μ＞0，問題(pλ,μ)無解。

證明：假設對λ,μ＞0問題(pλ,μ)有一解uλ,μ，由f滿足(H1)、(H2)，由定理1得問題

存在解Uλ,μ，并由性質(zhì)2.1[12]知，根據(jù)文獻[14]得?c1,c2＞0，使得

考慮擾動問題

由于K*＞0，則uλ,μ和Uλ,μ分別是式（11）的下解和上解，又由得Uλ,μ∈L∞(Ω)，從而由比較原理[13]有uλ,μ≤Uλ,μ，由上下解迭代得式（11）的解

積分式（11）得

M＞0，考慮到，則可得

由于uλ,μ≤Uλ,μ，故有

即對任一緊子集w??Ω，有

令ε→0+，可得

從而可得

與式（13）矛盾，故問題(pλ,μ)無解。

定理3設K*＞0，f滿足(H1)、(H2)；g滿足(H3)、(H4)；則存在λ*,μ*＞0，使得

（Ⅰ）當λ＞λ*或μ＞μ*時，問題(pλ,μ)至少有一個解。

（Ⅱ）當λ＜λ*且μ＜μ*時，問題(pλ,μ)無解。

為證定理3，先證下面的引理：

引理1若f滿足(H1)、(H2);g滿足(H4)，則存在λ*＞0，使得對?μ＞0，當λ＞λ*時，問題

至少有一解vλ,μ。

證明：對μ＞0固定λ＞0，則由式（9）定義的Uλ,μ是問題（14）的上解，下面主要是找下解，有

令G(t)=，并記，則ψ(t)是增函數(shù)，記H(t)是ψ(t)的反函數(shù)，H:[0,∞)→[0,∞)滿足

在式（15）兩邊乘以H′，然后在區(qū)間[s,t]積分得

由(H4)及上式可將H′延拓到原點，即H′(0)=0，考慮到在(0,∞)上H′遞增，H″遞減，故有

因此對t＞0有H′(t)≥tH″(t)，積分此不等式有

由強極大值原理，存在δ＞0,Ω0??Ω，使得

使Ω0充分逼近?Ω，則有

下證λ＞0充分大時，是式（14）的下解。取

由M的定義及式（17）得

由式（20）（23）知λ＞λ*時，是問題（14）的下解。由比較原理[13]，在Ω上有，定理4.14[5]有λ＞λ*,?μ＞0，問題（14）至少存在一個解vλ,μ∈W1,p(Ω)，使得。引理獲證。

下面將證明分成以下幾步。

第一步：當λ較大時(Pλ,μ)解的存在性。由引理1知，存在λ*＞0，對λ＞λ*，?μ＞0，問題

至少有一解vλ,μ，則是k≥1時，問題的弱下解，由定理1，令ω∈W1,p(Ω)是下列問題的弱解

則ω是k≥1時問題的弱上解，由比較原理得在Ω上1≤v1≤ω，故可知問題有解，并有，取和v2是問題的一對上解和下解，可得的解并有繼續(xù)此過程，可得解序列滿足x∈，定義

下證uλ,μ是問題(Pλ,μ)的解，并滿足

對任意D??Ω及，由f,g的單調(diào)性，Hlder連續(xù)性及≤C[12]知

根據(jù)控制收斂定理有

即對λ＞λ*,?μ＞0問題(Pλ,μ)至少有一解uλ,μ∈W1,p(Ω)。并由文獻[8]知uλ,μ∈C1,γ(Ω)。

第二步：當μ較大時(Pλ,μ)解的存在性。由文獻[15]的定理2，可得?μ*＞0若μ＞μ*時，下面問題

至少有一解vμ，記，可驗證vk是問題的一個下解。類似于第一步可證當λ＞0,μ＞μ*時，問題(Pλ,μ)至少有一解。

第三步：當λ,μ均很小時(Pλ,μ)無解。令λ,μ＞0，由于k*＞0，記

令s＞c，由(H1)可得

對x∈，固定，并令

結(jié)合上面的不等式有

由式（24）（25）得

并且當λ→0時a(λ)→0。若問題(Pλ,μ)有一解uλ,μ。則

由式（25）有

由于當λ→0時a(λ)→0，λ,μ＞0充分小時，上述關系式將導出矛盾。故當λ,μ均很小時(Pλ,μ)無解。

定理4設K*＞0，f滿足(H1)、(H2)，則存在λ*,μ*＞0，對λ＞λ*或μ＞μ*時問題(pλ,μ)至少有一個解。

證明：固定λ＞0，由于k*＜0，則

滿足定理1的條件。因此問題

存在解uˉλ,μ(x)∈C1,γ(Ω)，且是問題(Pλ,μ)的一個上解。下面找問題(Pλ,μ)的一個下解。為此考慮問題

首先=0是問題（26）的下解。由定理1，下列方程

存在解w∈W1,p(Ω)，且w(x)＞0是問題（26）的上解，則問題（26）至少有一解v∈W1,p(Ω)，由文獻[15]知，其中M是一常數(shù)，因此存在λ*,μ*＞0，當λ＞λ*或μ＞μ*時，可保證

則可得v(x)＞0(x∈Ω)。即得是問題(Pλ,μ)的一下解，并對φ＞0有

定理5設K*＞0＞K*，f滿足(H1)、(H2)，g滿足(H3)，則存在λ*,μ*＞0，對λ＞λ*或μ＞μ*時問題(Pλ,μ)至少有一個解。

證明：已知k*＞0，由定理3的證明知存在λ*,μ*＞0使問題

另一方面，由定理1知邊值問題

有一解wk(x)∈W1,p(Ω)，可以驗證wk(x)是問題(Pλ,μ)的一個上解。由于k*＞0＞k*，可得

并且有vk(x)≤wk(x),x∈，由上下解討論知存在一極小解滿足v1(x)≤，取和v2為問題的一對上，下解，則問題存在一極小解W1,p(Ω)滿足，重復此過程，可得問題的解序列，使得，定義uλ,μ(x)=，類似于定理3的證明可得uλ,μ(x)∈是問題(Pλ,μ)的解。定理得證。

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Existence and Nonexistence of Positive Solutions of Quasilinear Elliptic Problems

CHEN Haihong1,2，YANG Fangping3
(1.School of Mathematics and Statistics,Longdong University,Qingyang 745000,Gansu,China; 2.School of Mathematics and Statistics,Lanzhou University,Lanzhou 730000,Gansu,China; 3.College of Information Engineering,Longdong University,Qingyang 745000,Gansu,China)

The existence and nonexistence of positive solutions of quasilinear singular elliptic prob-under Dirichlet boundary condition was discussed.By using the unbounded ofg(u)at zero and the signs of the extremal values of potentialk(x)on.We apply the comparision principle and sub-supersolution method to obtain the existence and nonexistence results of positive solutions for certain range of parametersλandμ.

quasilinear singular elliptic equation；convection term；two parameters；positive solution

O177.91

A

1672-2914（2015）02-0024-08

2014-12-13

甘肅省教育科學“十二五”規(guī)劃基金項目（GS[2013]GHB0933,GS[2013]GHB1079）；隴東學院青年科技創(chuàng)新項目（XYLK1301）。

陳海鴻（1977-），男，甘肅天水市人，隴東學院數(shù)學與統(tǒng)計學院講師，碩士，主要研究方向為非線性泛函分析。