王 翔，楊瑞娟

(天津大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系，天津300072)

M-張量的更多性質(zhì)

王 翔，楊瑞娟

(天津大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系，天津300072)

在實(shí)際問題中，張量有著非常廣泛的應(yīng)用，因此張量性質(zhì)的研究尤為重要.M-張量是張量的一種，對(duì)超圖研究很有幫助，研究M-張量并得出一些性質(zhì)，定義了超圖的Laplacian張量，舉例說明M-張量的性質(zhì)有利于對(duì)超圖的研究.

M-張量；譜半徑；超圖

許多科學(xué)領(lǐng)域，我們常常把數(shù)據(jù)表示成高維數(shù)組的形式，這就很自然的提出了張量這個(gè)工具，而高階張量是矩陣的推廣，在實(shí)際問題中有著非常廣泛的應(yīng)用，像經(jīng)濟(jì)學(xué)、計(jì)算數(shù)學(xué)、數(shù)據(jù)挖掘及分析、信息科學(xué)、信號(hào)處理、圖像處理、網(wǎng)頁排序、超圖等. 高階張量的特征值問題首先是由Qi和Lim 在文獻(xiàn)[1-2]中分別獨(dú)立的提出來的. 在最近幾年，非負(fù)張量的最大特征值問題備受關(guān)注. Chang等在文獻(xiàn)[3]中將P-F定理從非負(fù)矩陣推廣到了非負(fù)不可約張量上，并且將非負(fù)不可約矩陣的Collatz最小最大值定理也推廣到了非負(fù)不可約張量上. 在P-F定理的進(jìn)一步結(jié)果中[4]，Yang等進(jìn)一步的證明了非負(fù)張量Perron-Frobenius定理，并且給出了張量的譜半徑的定義. 隨之求張量譜半徑的算法也相繼被提出. 近來具有各種特殊特征的張量被廣泛研究， 如正張量、素張量、非負(fù)不可約張量、本質(zhì)正張量、弱正張量等， 對(duì)這些張量的研究主要集中在譜半徑的幾何單性， 各種張量之間的關(guān)系，計(jì)算譜半徑的算法.

文獻(xiàn)[5]基于M-矩陣推廣定義了M-張量并研究了其性質(zhì)，同時(shí)也說明了測試一個(gè)偶次多元函數(shù)的正定性等價(jià)于驗(yàn)證其對(duì)應(yīng)的偶階張量是否為一個(gè)M-張量. 在此基礎(chǔ)上，本文給出更多M-張量的性質(zhì)，并提出研究M-張量的性質(zhì)對(duì)超圖的研究很有幫助.

1 預(yù)備知識(shí)

定義 張量是一個(gè)多維數(shù)組，一個(gè)實(shí)的m階n維張量A是由nm個(gè)元構(gòu)成:ai1…m∈R,其中j=1,…,m,ij=1,…，n. 一個(gè)m階n維張量稱為非負(fù)的(正的)，如果(ai1…im≥0)(ai1…im>0).

定義 一個(gè)m階n維非負(fù)張量稱為可約的，如果存在一個(gè)非空真子集I?{1,…,n}使得

ai1…im=0,?i1∈I,?i2,…,imI

否則為不可約張量.

定義 如果存在(λ,x)∈C×Cn使得Axm-1=λx[m-1]，那么稱λ為張量A的一個(gè)特征值，x為張量A的一個(gè)特征向量.

定義 張量A的譜半徑ρ(A)=max{|λ|:λ是A的特征值}.

定義 一個(gè)實(shí)的m階n維張量A稱為M-張量， 如果存在一個(gè)非負(fù)張量B使得A=cI-B， 其中c≥ρ(B).

定理 如果A是一個(gè)m階n維的非負(fù)張量， 那么存在一個(gè)特征值λ0≥0及特征向量x0≥0.

定理 如果A是一個(gè)m階n維的不可約張量， 那么存在一個(gè)特征值λ0>0及特征向量x0>0.

2 主要結(jié)論

證明：假定y0是張量A對(duì)應(yīng)于ρ(A+B)的特征向量， 即

則

又因?yàn)锽是非負(fù)對(duì)角張量， 所以上式

結(jié)論成立.

定理5 設(shè)A是一個(gè)m階n維M-張量，任意一個(gè)m階n維的正對(duì)角張量D，那么A+D也是M-張量.

定義7 令非空子集I?{1,2,…,n}，如果A(I)是一個(gè)m階|I|維張量，其中元素al1…lm∈A且ii,…im∈I，那么A(I)稱為張量A的主子張量.

定理6M-張量的主子張量仍未M-張量.

證明:由M-張量和主子張量的定義可以得到結(jié)論.

定理7 設(shè)A是一個(gè)m階n維M-張量，A=cI-B，c≥ρ(B)，其中B是不可約張量，那么

1)存在一個(gè)n維向量x>0，使得Axm-1≥0.

2)若c=ρ(B)，那么0是A的一個(gè)特征值.

證明：1)因?yàn)锽是不可約張量，根據(jù)定理3[3]，存在向量x>0，使得

Bxm-1=ρ(B)x[m-1]=(cI-A)x[m-1]，

則有Axm-1=(c-ρ(B))x[m-1]≥0.

2)若c=ρ(B)， 由1)知Axm-1=0=0×xm-1，則結(jié)論成立.

3 舉 例

由圖的Laplacian 矩陣，我們推廣定義m一致超圖的Laplacian 張量.

定義8 一致超圖的Laplacian 張量Q=D-A，其中D是對(duì)角張量且D的對(duì)角線上元素di…i是頂點(diǎn)vi的價(jià)(1≤i≤n).

根據(jù)M-張量的定義和定理1知超圖的Laplacian 張量是M-張量.

Laplacian 張量的譜包含了超圖的重要信息， 如超圖的連通性， 半徑， 生成性質(zhì)， 極大分割， 獨(dú)立數(shù)，等等. Laplacian 張量又屬于M-張量， 所以M-張量的研究對(duì)研究超圖有很大作用.

[1] QI L Q. Eigenvalues of a real supersymmetric tensor [J]. Journal of Symbolic Computation, 2005, 40(6): 1302-1324.

[2] LIM L H. Singular values and eigenvalues of tensors: a variational approach [J]. Proceedings of the IEEE international workshop on computational advances of multi-tensor adaptive processing, 2005, 1: 129-132.

[3] CHANG K C, PEARSON K, ZHANG T. Perron Frobenius Theorem for nonnegative tensors [J]. Comm. Math. Sci., 2008, 6 (2): 507-520.

[4] YANG Y N, YANG Q Z. Further results for Perron-Frobenius theorem for nonnegative tensors [J]. SIAM Journal on Matrix Analysis Application, 2010, 31(5): 2517-2530.

[5] ZHANG L, QI L, ZHOU G. M-tensors and the positive definiteness of a multivariate form [R] .arXiv: 1202. 6431 [math. NA], 2012.

Further properties ofM-tensors

WANG Xiang, YANG Rui-juan

(Department of Mathematics, School of Science, Tianjin University, Tianjin 300072, China)

Tensors have a wide range of applications in actual problems,the study for properties of tensors is very important.M-tensor is one of tenors and is helpful for the study of hypergraph. This paper gave further results about property ofM-tensor, define Laplacian tensor of hypergraph and illustrate it that the properties ofM-tensor were good for study of hypergraph.

M-tensor;spectral radius; hypergraph

2014-03-23.

王 翔(1988-)，女，碩士，研究方向：張量.

O151

A

1672-0946(2015)01-0087-03