張 軍

(天津大學(xué) 數(shù)學(xué)系，天津 300072)

線性多智能體系統(tǒng)的追蹤一致性

張 軍

(天津大學(xué) 數(shù)學(xué)系，天津 300072)

考慮了多智能體系統(tǒng)在自適應(yīng)協(xié)議控制下的追蹤一致性問題，假定智能體之間的信息流拓?fù)鋱D含有一棵有向生成樹，并且跟隨者(followers)之間的信息流是無向的.提出自適應(yīng)控制協(xié)議，并運(yùn)用李雅普諾夫函數(shù)方法討論誤差系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性，即所有的跟隨者能夠漸近追蹤到(領(lǐng)航者)leader的軌跡.

自適應(yīng)協(xié)議；有向生成樹；李雅普諾夫方法；漸近穩(wěn)定性

追蹤一致性控制問題是一個很熱門的話題，無論是在現(xiàn)實(shí)生活中(比如軍事，無人機(jī)編隊(duì)，計(jì)算機(jī)領(lǐng)域等等)還是在研究領(lǐng)域，都引起廣泛關(guān)注.早期對追蹤控制的研究主要是集中在對一階或二階積分器的討論，相關(guān)結(jié)果可以參考文獻(xiàn)[1-4]. 相比較而言，對高階的多智能體系統(tǒng)研究還較少.特別是自適應(yīng)控制協(xié)議下，高階多智能體系統(tǒng)的一致性研究更是較少.已有的文獻(xiàn)主要參考文獻(xiàn)[5-6]，在文獻(xiàn)[6]中， 作者考慮了無領(lǐng)航者和有領(lǐng)航者的情況.并且在有領(lǐng)航者的情況下，討論了領(lǐng)航者的控制輸入不為零的情況.

鑒于相關(guān)結(jié)論目前較少的情況下，同時，為了更好的豐富這個領(lǐng)域. 本文將對自適應(yīng)協(xié)議下的追蹤控制問題展開研究， 將文獻(xiàn)[6]中提出的一致性協(xié)議進(jìn)行改造，然后推廣到有領(lǐng)航者的追蹤控制問題上，分別對通信拓?fù)鋱D在固定和切換的情況下進(jìn)行討論. 本文主要運(yùn)用了矩陣分析法和李雅普諾夫方法.

1 模型建立與控制器設(shè)計(jì)

考慮n+1個智能體的一個集合v，其中包含n個跟隨者和1個領(lǐng)航者，第i個的動態(tài)方程為：

(1)

標(biāo)號為0的leader的動態(tài)方程描述為:

(2)

其中:xi(t)∈RP,ui(t)∈Rm是i個智能體的狀態(tài)變量和控制協(xié)議，yi(t)∈Rq是輸出測量， 這里i=0,…,n.A,B,C是對應(yīng)合適維數(shù)的實(shí)數(shù)矩陣.本文為了降低問題的復(fù)雜性，只針對u0(t)=0的情況展開研究討論.

假設(shè)1 智能體的信息拓?fù)鋱DG時刻從領(lǐng)航者到跟隨者的一棵有向生成樹， 并且跟隨者之間的信息交流是無向的.這里 首先給出下列控制協(xié)議：

(3)

引理1[1]對于n個跟隨者和1個領(lǐng)航者的通信拓?fù)鋱DG，有以下結(jié)論成立: (I)對于有向圖情形，H=B1+L1的所有特征值含有正實(shí)部， 當(dāng)且僅當(dāng)在通信拓?fù)鋱DG中， 頂點(diǎn)0是全局可達(dá)點(diǎn)， 其中B1和L1分別表示領(lǐng)航者的鄰接矩陣和跟隨者的Laplacian矩陣. (II)對于無向圖情形， 矩陣H是正定的， 當(dāng)且僅當(dāng)通信拓?fù)鋱DG是連通的.

(4)

(5)

2 系統(tǒng)(5)的穩(wěn)定性分析

定理1 在滿足假設(shè)條件1和自適應(yīng)控制協(xié)議(3)下， 誤差系統(tǒng)(5)在下列條件成立時是漸進(jìn)穩(wěn)定的.

1)F滿足A+BF是Hurwitz穩(wěn)定的；

這里Iq代表q階單位矩陣.

證明:構(gòu)造如下的Lyapunov函數(shù):

(6)

(7)

其中，

很顯然， 我們可以觀察到

(8)

將式(8)帶入式(7)可得

(9)

(10)

(11)

注釋1 上述討論時在通信拓?fù)涔潭ǖ臅r候， 要是拓?fù)鋱D是切換的， 又該如何處理呢? 上述構(gòu)造的Lyapunov函數(shù)在切換拓?fù)涞那闆r下，還能有效果么? 下面我們對拓?fù)鋱D切換的條件展開討論.

系統(tǒng)(5)在切換條件表述為如下形式:

(12)

這里σ(t)∶[0,∞]→ζ是切換信號，ζ是對應(yīng)拓?fù)鋱DGN的下標(biāo)號集合. 要證明切換拓?fù)鋱D下的追蹤控制問題， 只需對式(12)的穩(wěn)定性展開分析即可.

推論1 當(dāng)所有拓?fù)鋱DGσ(t)滿足假設(shè)條件1和自適應(yīng)控制協(xié)議(3)， 誤差系統(tǒng)(12)在下列條件成立時時漸進(jìn)穩(wěn)定的.

1)F滿足A+BF是Hurwitz穩(wěn)定的；

證明 構(gòu)造如下的Lyapunov函數(shù):

(13)

其余過程類似，此處省略.

3 結(jié) 語

本文考慮了自適應(yīng)協(xié)議控制下的追蹤控制問題，在討論過程中，我們通過構(gòu)造Lyapnuov函數(shù)的方法來解決所提出的問題.值得一提的是，用自適應(yīng)協(xié)議解決追蹤控制問題有一定復(fù)雜性，所以本文只討論了當(dāng)領(lǐng)航者控制輸入u0=0的情況.在今后的研究中，將重點(diǎn)討論u0≠0的情況.

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Tracking consensus of linear multi-agent systems

ZHANG Jun

(Department of Mathematics, Tianjin University, Tianjin 300072, China)

In this paper, the tracking consensus problem of multi-agent systems with adaptive protocols was considered. Assumed that the information flow between agents of the topology contains a directed spanning tree, and the information flow between the followers was undirected. In Addition, proposed an adaptive control protocol, and then discuss the asymptotic stability of the error system by using the Lyapunov function method. All followers could asymptotically track to the leader’s trajectory.

adaptive protocols; directed spanning tree; Lyapunov function method; asymptotic stability.

2015-02-26.

張 軍(1988-),男，碩士，研究方向：多智能體控制系統(tǒng).

TP273

A

1672-0946(2015)05-0634-03