李太敏

一、推理形式的錯位：虛化思維的嚴(yán)謹(jǐn)性

1.合情推理的越位——直覺猜想的隨意化

隨著數(shù)學(xué)課堂教學(xué)改革的深入，合情推理在數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要性，越來越成為人們的共識，廣大教師也越來越認(rèn)同波利亞《數(shù)學(xué)與猜想》中的觀點：“數(shù)學(xué)的創(chuàng)造過程與其他知識的創(chuàng)造是一樣的，在證明一個定理之前，你先得猜測這個定理的內(nèi)容，在你完全作出詳細(xì)的證明之前你先得猜測證明的思路，你要先把觀測的結(jié)果加以綜合，然后加以模擬，你得一次又一次地嘗試，數(shù)學(xué)家的創(chuàng)造性成果是論證推理（演繹推理），即證明，但這個證明是通過合情推理，通過猜想而發(fā)現(xiàn)的。只要數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程稍反映出數(shù)學(xué)的發(fā)明過程的話，那么就應(yīng)當(dāng)讓猜想、合情推理占有適當(dāng)?shù)奈恢谩！?/p>

猜想的確在數(shù)學(xué)教學(xué)中占有重要的地位，但是任何好的東西一旦變成形式，就可能變成壞的。讓學(xué)生猜想，并不是無根據(jù)的大膽想象，還是要有猜想的依據(jù)，更不是瞎猜。如：在一節(jié)《橢園的標(biāo)準(zhǔn)方程》的市級公開課中：學(xué)生非?；钴S，積極參與，互動頻繁，當(dāng)師生已推導(dǎo)出橢圓在軸上的標(biāo)準(zhǔn)方程后，教師讓學(xué)生進(jìn)行猜想：“如果你是一位數(shù)學(xué)家，請你大膽猜想焦點在y上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程?！?/p>

就可以隨意化，有感覺就行的想法，它虛化了思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，事實上，直覺猜想往往是在邏輯推理思維的多次運用后壓縮簡化的思維過程，略去許多中間環(huán)節(jié)，其結(jié)果是需要邏輯思維或?qū)嵺`驗證的，這與盲目猜測截然不同，數(shù)學(xué)家更不會這么做的，對于學(xué)生而言，鼓勵盲目猜測，會進(jìn)一步阻礙嚴(yán)謹(jǐn)思維的發(fā)展。

2.合情推理的退位——演繹一元化

缺乏合情推理，過份形式化，會使演繹成為無本之木，缺乏合情推理的演繹推理，就會變成演繹一元化，也會虛化思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，只有合情推理與演繹推理相結(jié)合，才是真正嚴(yán)密的推理。正如哲學(xué)家康德所說的“每當(dāng)理智缺乏可靠論證的思路時，模擬的這個方法往往可以指引我們前進(jìn)”，模擬推理（類比猜想等）就是合情推理的一種，推理依據(jù)的條件和結(jié)論之間的關(guān)系不一定具有邏輯性而僅僅依靠直覺猜想，這種非邏輯的推理方式，是建立在人們對事物的直觀認(rèn)識和直覺思維的基礎(chǔ)上的一種似然推理方式，是對命題真?zhèn)蔚淖畛跖卸?。如在一次市公開課《橢圓的幾何性質(zhì)》中，一位老師較好地利用學(xué)生的直覺，將直覺與演繹推理較好地融合在一起：師：“如何畫橢圓的圖形？”生：“在第一象限內(nèi)取五個點?！睅煟骸盀樯?？”生：“其他象限利用對稱點?！睅煟骸把酝庵?，橢圓具有對稱性，你的直覺非常好，你還能進(jìn)行嚴(yán)密推理嘛！”

二、推理過程的錯位：虛化思維的深刻性

1.暴露顯微過程的越位——推理過程的細(xì)枝末節(jié)化

以教材形式呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容，從其形態(tài)來看是外顯的、靜態(tài)的，而其背后隱含了知識生長的動態(tài)過程。有些細(xì)小部分往往具有十分豐富的思想內(nèi)涵，存在著很大的思維價值，在這些地方，教師要善于“小題大做”，以顯性的知識為線索，通過暴露自己和學(xué)生的推理細(xì)節(jié)再現(xiàn)隱藏在教材背后鮮活的探索發(fā)現(xiàn)活動，促使在“顯微”推理暴露過程中提升學(xué)生思維的深刻性，引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)合理的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。但也不是暴露得越細(xì)越好，有些細(xì)小推理部分，和主體思維、核心方法關(guān)聯(lián)不大，是主體推理過程中的細(xì)枝末節(jié)，不宜將推理過程重點放在這里。如在蘇教版高中數(shù)學(xué)必修四《兩角和與差的余弦》的內(nèi)容中，由于余弦的差角公式是推導(dǎo)正弦和（差）角公式、正切的和（差）角公式以及倍角公式的基礎(chǔ)，并且其推理過程具有重要的教育價值，蘇教版教材是利用向量數(shù)量積的方法來推導(dǎo)的，不僅推導(dǎo)過程簡捷，也可以更好地揭示向量與三角函數(shù)的聯(lián)系：在直角坐標(biāo)系xOy中，

積如何分別利用定義及其坐標(biāo)表示。而有些老師把重點放在cos（？琢-？茁）為啥是兩個向量夾角余弦的推理過程中，利用大量的時間，反復(fù)討論？琢，？茁，？琢-？茁的范圍，事實上由于余弦函數(shù)是周期函數(shù)又是偶函數(shù)，因此只需考慮0≤？琢-？茁≤？仔的情況。？琢-？茁范圍推理分析雖是難點，但只是主體推理過程中的細(xì)枝末節(jié)，不宜將推理過程重點放在這里，如若糾纏于細(xì)枝末節(jié)，反而會虛化主體思維的深刻性，影響對主干知識的理解，讓學(xué)生顧此失彼。

2.暴露障礙過程的退位——推理過程的選擇化

解決問題的思維方法?？煞譃槿悾簩W(xué)生容易想到也容易實行（易想易行）的方法、學(xué)生容易想到但難以實行（易想難行）的方法、學(xué)生難以想到但容易實行（難想易行）的方法，老師常習(xí)慣于選擇暴露易想易行、難想易行的解決問題的方法，不習(xí)慣于暴露易想難行的方法，也就是只選擇暴露經(jīng)過老師優(yōu)化后的推理過程與方法。如在橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)中，2a，老師一般展示的都是移項平方，事實上，兩邊直接平方到底會怎樣呢？又如點到直線距離的公式推導(dǎo)中，直接求出垂足坐標(biāo)會怎樣呢？

思維的深刻性體現(xiàn)為在智力活動中要能深入思考問題，要善于概括歸類、善于抓住事物的本質(zhì)和規(guī)律。老師既要展示數(shù)學(xué)問題解決的思維過程，便于學(xué)生深層次的理解與思維方法的借鑒，同時也要將學(xué)生認(rèn)識問題、解決問題的思維曝光，便于教師及時的反饋評價。這樣就要求師生既要暴露成功的推理過程：當(dāng)時是怎樣想的？有何規(guī)律？也要暴露錯誤但是具有價值的推理過程：錯在哪里？當(dāng)時是怎么想的？問題的根本在哪兒？更要暴露解決問題過程中出現(xiàn)障礙的推理過程：只做了一部分而出現(xiàn)障礙，為什么做不下去了？如何調(diào)整思路？只選擇暴露優(yōu)化后的推理過程，缺乏對易想難行的推理過程的暴露，缺乏對如何優(yōu)化、為什么要優(yōu)化的推理過程暴露，只會虛化思維的深刻性，學(xué)生不會形成自己的深刻思維，思維處于淺層，而只有嘗試并真正比較后才能對數(shù)學(xué)方法進(jìn)行優(yōu)化。

參考文獻(xiàn)

[1] 史寧中.數(shù)學(xué)思想概論（第1輯）——數(shù)量說數(shù)量關(guān)系的抽象[M].長春：東北師范大學(xué)出版社，2008.【責(zé)任編輯 郭振玲】