朱鴻

【關鍵詞】函數(shù) 值域

【中圖分類號】O119 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2015）01-0117-02

比較多，但這些方法的出現(xiàn)往往都是為了應用函數(shù)的某個性質或知識點的需要，如函數(shù)的單調性、基本不等式等，比較凌亂，缺乏系統(tǒng)性。在什么情況下用什么方法比較好，在什么情況下那些方法不能用，沒有進一步探討和甄別，結果出現(xiàn)情況發(fā)生了改變，而仍然沿用某個方法，導致結果錯誤. 下面本人就求解這類函數(shù)值域問題，略作探討。

一、判別式法

當函數(shù)的定義域是由函數(shù)本身確定，沒有任何人為的限制，這時用判別式法比較好。

的形式，此時可把方程（2）看作關于的一元二次方程。因為函數(shù)的定義域不為空集，所以方程（2）有實數(shù)根，因此判別式

△[b（y）]2-4a（y）c（y）≥0 （3）

解不等式（3），記所得到的y的取值范圍為M.那么M是否為函數(shù)（1）的值域？關鍵要看從函數(shù)（1）變形到方程（2）是否為同解變形，自變量x的取值范圍是否擴大或縮小，方程（2）解的討論是否影響y的取值范圍？下面就這個問題分情況進行討論。

1.當函數(shù)的定義域是R，即對任意實數(shù)x，a2x2+b2x+c2≠0時，從函數(shù)（1）變形到方程（2）是同解變形。

顯然x=x0不是方程（2）的解。所以，從函數(shù)（1）變形到方程（2）也是同解變形。

即在定義域的這兩種情況下，從函數(shù)（1）變形到方程（2），自變量的取值范圍沒發(fā)生變化，不會影響y的取值范圍，那么再看方程（2）解的討論是否會對y的取值范圍產(chǎn)生影響。

（I）若對于任意的y∈M，有a（y）≠0，由一元二次方程根判別式可知，方程（2）有實根與不等式（3）是互為充要條件，對y的取值范圍沒影響，所以函數(shù)（1）的值域是M。

（II）若存在y0∈M，使a（y0）=0，此時方程（2）是關于的一次方程：

b（y0）x+c（y0）=0 （4）

若[b（y0）]2-4a（y0）c（y0）>0，則b（y0）≠0，方程（4）有解，對y取值范圍沒影響，所以函數(shù)（1）的值域是M。

若[b（y0）]2-4a（y0）c（y0）=0，則b（y0）=0，此時，當c（y0）=0時，方程（4）恒成立，顯然有解，對y的取值范圍沒影響，所以函數(shù)（1）的值域是M。當c（y0）≠0時，方程（4）無解，這時y0不是函數(shù)（1）的函數(shù)值，所以函數(shù)（1）的值域是M中剔除y0所得的集合。

綜上討論，有下面結論：

解∵ x2+x+1>0

∴函數(shù)的定義域為R

將原函數(shù)變形，得

（y-1）x2+（y+1）x+y+1=0

當y≠1時，因為函數(shù)的定義域不為空集，所以，上面方程有解，因此

△=（y+1）2-4（y-1）2≥0

解∵x2-x-2≠0

∴x≠-1且x≠2

∴函數(shù)的定義域為{x∈R|x≠-1且x≠2}，并且x=-1或x=2時，分子x+4≠0

將原函數(shù)變形，得

yx2-（y+1）x-（2y+4）=0

當y≠0時，因為函數(shù)的定義域不為空集，所以，上面方程有解，因此

△=（y+1）2+8y（y+2）≥0

當y=0時，解得x=-4，且-4∈{x∈R|x≠-1且x≠2}

所以函數(shù)的值域為