羅萍萍

《義務教育數(shù)學課程標準》（2011年版）明確指出：在數(shù)學教學中應當引導學生感悟建模過程，發(fā)展“模型思想”?！澳Ｐ退枷搿弊鳛橐环N數(shù)學思想，是溝通數(shù)學知識與數(shù)學應用之間的橋梁，是鏈接數(shù)學核心知識與外部世界的途徑。教師要善于挖掘模型素材并引導學生領悟數(shù)學模型思想。

一、在生活原型中建構概念型數(shù)學模型

課件依次呈現(xiàn)：平衡（空天平）——不平衡（天平的左邊放入兩瓶200克的牛奶）——平衡（天平的右邊放入400克砝碼）。學生邊觀察天平，邊說出變化過程。當天平保持平衡，教師提問：如果從左邊拿走一瓶牛奶，天平還平衡嗎？當不知道具體是多少時，可以用字母來表示。隨后，課件呈現(xiàn)：天平左邊放入3個蘋果，右邊放1500克砝碼。學生交流，列出算式：3X=1500。結合這些算式，教師提問：這些式子可以分為幾類？學生容易想到兩類：一類是等式;一類是不等式。教師追問：它們之間又有什么不同之處呢？學生總結出不含未知數(shù)的等式表示的是已知量之間的相等關系，含有未知數(shù)的等式表示的是已知量和未知量之間的相等關系，進而得出“含有未知數(shù)的等式叫做方程”這一概念。

在小學數(shù)學教材中，方程是一種典型的數(shù)學模型。在這個案例中，從生活中的天平這一生活原型出發(fā)，引導學生逐步體會和理解等式和方程的含義。通過天平一邊放入物品導致兩邊不平衡到天平兩邊都放物品達到兩邊平衡，學生理解了等式的含義。從放入已知物品的重量后平衡到放入未知物品的重量后平衡，學生體會了方程的含義。直觀的天平原型為抽象的方程概念提供了鮮活的學習載體。對學生來說，方程概念變得形象、具體、直觀。這種基于生活原型建構概念模型的方法，有助于學生對概念的本質建立正確而清晰的認識。

二、在符號表達中建構方法型數(shù)學模型

課始，課件呈現(xiàn)購物情境：一件短袖衫32元，一條褲子45元，一件夾克衫65克。買5件夾克衫和5條褲子，一共要付多少元？教師板書：（45+65）×5=45×5+65×5。教師提問：這兩個算式之間為什么可以用等號連接起來？你還能說一組這樣的算式？根據(jù)學生回答，教師設疑：這個規(guī)律一定對嗎？在其他算式中還能成立嗎？學生又通過舉例來驗證這個結論。在此基礎上，教師又讓學生思考：從算理上來說明理由。有學生結合例題來解釋：把45個5加上65個5，合起來就是110個5，所以左右兩邊相等。教師肯定學生的想法后，提問：怎樣才能把這些等式都概括起來？教師依次呈現(xiàn)學生的三幅作品：①（a+b）×c=a×c+b×c;②（□+○）×☆=□×☆+○×☆;③（爸+媽）×我=爸×我+媽×我。學生分別說出每道算式中表示的意思。教師引導學生給這些規(guī)律取個名字，學生說出乘法分配律。最后，教師小結：字母、圖形、文字都是一種符號，用符號來表示這些等式的規(guī)律，既簡潔，又易記。

乘法分配律是一種比較重要的運算定律。這種運算定律其實就是一種方法模型?！坝^其形，悟其神”。學生可以通過觀察這類算式的特征，就能運用乘法分配律進行計算。但如何幫助學生建構這種方法模型，顯得尤為重要。在這個案例中，從購物情境出發(fā)，引出兩道不同的等式，進而大膽猜測規(guī)律，學生通過舉例進行驗證，在此基礎上，引導學生從乘法意義的角度闡述等式左右兩邊相等的關系，進而讓學生用自己的方式來抽象表示出乘法分配律這個數(shù)學模型。學生的智慧是無窮的。字母、圖形、文字，雖然形式上不同，但實質上相同，都是乘法分配律的模型。

三、在多維變式中建構思想型數(shù)學模型

教師在引導學生掌握“雞兔同籠”的題目特征、解題方法后，“龜鶴問題”、“人狗問題”、“雞兔問題”都是同一個模型。接著，教師進一步拓展出人馬問題、三輪車和小轎車的輪子問題等。隨后，師生共同研究“一個信封里有10張紙幣，有5元的和2元的，共38元。這個信封里5元和2元的紙幣各有多少張？”教師引導學生與“雞兔同籠”問題進行比較：2元的紙幣相當于2只腳的雞，5元的紙幣相當于5只腳的怪兔。這幾道題，其實都可以上升到一種模型。解決問題的時候，需要有“模型”意識，這樣才能越來越接近問題的本質。

“雞兔同籠”問題隱藏著豐富的“模型”因素。從內容層面來看，“雞兔同籠”問題的題型結構的本質是已經(jīng)兩個未知量的和與兩個未知量之間的關系，求兩個未知量分別是多少;從方法層面來看，“雞兔同籠”問題的解題思路是多樣的，可以采用畫圖、列舉、替換等;從應用層面來看，“雞兔同籠”問題存在的價值，或者說對于解決其他問題會起到什么樣的作用。以上案例中，從“龜鶴問題”“人狗問題”到“人馬問題”“三輪車和小轎車的輪子問題”，再到“5元和2元紙幣的張數(shù)問題”，充分體現(xiàn)了“雞兔同籠”問題的應用價值。僅僅就每道題而言，它們是各自獨立的，經(jīng)過觀察、比較、變式，就能發(fā)現(xiàn)它們有著相同的題型結構、固有的數(shù)學模型。從“一道題”到“一類題”，實現(xiàn)了完整的“模型”建構。

（作者單位：江蘇海安縣李堡鎮(zhèn)中心小學）endprint