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優(yōu)選“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”，注重變式教學(xué)
——以“垂徑定理”教學(xué)為例

☉江蘇省海安縣李堡鎮(zhèn)初級中學(xué) 陶然

“垂徑定理”一直是教學(xué)研究的熱點，過往的教學(xué)常常是從折紙操作出發(fā)，感受軸對稱圖形，并在此基礎(chǔ)上證明垂徑定理和推論，再以例、習(xí)題應(yīng)用定理的流程進(jìn)行.筆者最近有機會執(zhí)教該課，基于軸對稱視角引導(dǎo)學(xué)生研究圓，并從證明圓是軸對稱圖形出發(fā)，順便獲得垂徑定理和相關(guān)推論，也取得了較好的教學(xué)效果，本文記錄該課的教學(xué)設(shè)計，并闡釋教學(xué)立意，供研討.

一、“垂徑定理”教學(xué)設(shè)計

（一）教學(xué)目標(biāo)

（1）從軸對稱角度研究圓，探索并證明垂徑定理及其推論；

（2）利用垂徑定理解決相關(guān)問題過程中，積累一類重要的模式圖形和解題經(jīng)驗.

（二）重點和難點

重點是垂徑定理及其推論的證明；難點是從生活問題中抽象、構(gòu)造出符合垂徑定理的基本模式圖形.

（三）教學(xué)流程

1.開課階段

師：上一節(jié)數(shù)學(xué)課學(xué)習(xí)了圓的有關(guān)概念，接下來我們從對稱的角度來研究圓.同學(xué)們思考一下，圓具有什么對稱性質(zhì)？

預(yù)設(shè)：圓是軸對稱圖形、中心對稱圖形、旋轉(zhuǎn)對稱圖形等.

師：這節(jié)課重點研究圓的軸對稱性質(zhì).同學(xué)們都說出了圓是軸對稱圖形，然而如何證明圓是軸對稱圖形呢？

預(yù)設(shè)：如果有學(xué)生提及將圓形紙片對折能重合，這算實驗操作驗證，并不能算嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明.如果學(xué)生有困難，可安排學(xué)生從簡單出發(fā)，如圖4，從線段是軸對稱圖形出發(fā)，到等腰三角形（圖3）、矩形（圖2）是軸對稱圖形，特別是利用圖2、圖3，請學(xué)生講解如何證明等腰三角形、矩形是軸對稱圖形，再到圖1，研究“如何證明圓是軸對稱圖形？”.

圖1

圖2

圖3

圖4

2.新知探究

問題1：如何利用圖1證明圓是軸對稱圖形？

預(yù)設(shè)：在圓上任取一點A，過點A作直徑的垂線交圓于另一點A′，連接AO、A′O，設(shè)法證明A、A′關(guān)于直徑CD所在直線對稱即可.

證明之后，板書：圓是軸對稱圖形，任意一條直徑所在直線都是圓的對稱軸.

成果擴大：在上面的證明過程中，換個角度再看圖1，就是：直徑CD⊥AA′，此時根據(jù)軸對稱性可得出AM＝

板書垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的弧.

預(yù)設(shè)：引導(dǎo)學(xué)生寫出符號語言后，在回顧垂徑定理時，注意辨析條件和結(jié)論的區(qū)別，即一條直線若滿足：（1）過圓心；（2）垂直于弦，則可以推出：（1）平分弦；（2）平分弦所對的優(yōu)??；（3）平分弦所對的劣弧.這樣既可以加深學(xué)生對定理的理解，又為學(xué)習(xí)推論作好了準(zhǔn)備.

問題2：平分弦的直徑能否垂直于弦，并且平分弦所對的弧呢？

預(yù)設(shè)：變式思考，得出推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧.在這個推論中，要注意讓學(xué)生區(qū)分它們的條件和結(jié)論.特別是要強調(diào)“弦不是直徑”的條件，因為一個圓的任意兩條直徑互相平分，但是它們未必垂直，所以一定不能忽視這個條件.

3.例題講評

例1如圖5，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E.若CD＝16，BE＝4，求⊙O的直徑.

圖6

圖5

教學(xué)預(yù)設(shè)：該題由2014年江蘇省南通市中考卷第24題改編而來.主要訓(xùn)練垂徑定理帶來的CE=DE，并構(gòu)造直角三角形、利用勾股定理解決問題.

考題鏈接：（2015年浙江衢州）一條排水管的截面如圖6所示，已知排水管的半徑OA=1m，水面寬AB=1.2m，某天下雨后，水管水面上升了0.2m，則此時排水管水面寬CD等于______m.

教學(xué)預(yù)設(shè)：利用垂徑定理，構(gòu)造直角三角形解決問題.

例2（教材例題改編）1300多年前，我國隋代建筑的趙州石拱橋的橋拱是圓弧形（如圖7）.經(jīng)測量，橋拱下的水面距拱頂6m時，水面寬34.64m，已知橋拱跨度是37.4m，運用你所學(xué)的知識計算出趙州橋的大致拱高.（運算時可取37.4=

圖7

圖8

教學(xué)預(yù)設(shè)：繼續(xù)訓(xùn)練圓中常見的輔助線，即作弦的弦心距構(gòu)造直角三角形，根據(jù)垂徑定理和勾股定理進(jìn)行計算.如圖8，設(shè)圓弧所在圓的圓心為O，AB=37.4=GE=6.在Rt△OCE中，OE=根據(jù)勾股定理，OC2=CE2+OE2，即OC2=解得OC=28，OA=28.進(jìn)一步在解得OF=21.所以拱高GF=28-21=7（m）.

4.課堂小結(jié)

（1）本課從軸對稱的角度研究了圓，你對垂徑定理有怎樣的認(rèn)識？

（2）在利用垂徑定理解決問題時，你會積累哪種模式圖形呢？（預(yù)設(shè)：如圖9，弦長a、弦心距d、半徑r及弓形高h(yuǎn)之間的關(guān)系.）

圖9

（四）板書設(shè)計

二、教學(xué)立意的進(jìn)一步闡釋

1.基于前后一致、邏輯連貫的數(shù)學(xué)理解，優(yōu)選“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”引入新課

人教社章建躍博士近年來倡導(dǎo)“三個理解”，其中第一位就是理解數(shù)學(xué)，特別是理解數(shù)學(xué)的“前后一致、邏輯連貫”的內(nèi)在力量.正是基于上述認(rèn)識，我們選擇從線段、等腰三角形、矩形出發(fā)，讓學(xué)生先復(fù)習(xí)這些軸對稱圖形是如何證明的，從而過渡到證明圓是軸對稱圖形，并且順便成果擴大，概括出垂徑定理及其推論.利用這樣的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”引入新課也貼近了學(xué)生認(rèn)知的最近發(fā)展區(qū)，是一種很有數(shù)學(xué)味道的開課情境.

2.注重例題變式教學(xué)，讓學(xué)生感受到例、習(xí)題的漸次展開、層層深入

例題教學(xué)環(huán)節(jié)，我們注意變式，不僅對例1鏈接了一道變式考題，還另選視角，用一道有生活情境的例2來訓(xùn)練學(xué)生學(xué)會抽象、分離出垂徑定理基本圖形.在整個例題及變式解題過程中，感受到例、習(xí)題的漸次展開、層層深入，一步一步向上走.特別是在例、習(xí)題教學(xué)之后，還需要注重解后回顧反思環(huán)節(jié)，不僅要引導(dǎo)學(xué)生思考“一題多解”，還可啟發(fā)優(yōu)秀學(xué)生思考“多解歸一”，從而引導(dǎo)學(xué)生積累出解題經(jīng)驗（如圖9）.

三、寫在最后

作為文末，還可提及張奠宙教授近年倡導(dǎo)的“超生活經(jīng)驗”數(shù)學(xué)話題，像本課所提及的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”引入新課應(yīng)該也屬于張教授所倡導(dǎo)的“超生活經(jīng)驗”情境引入，這類數(shù)學(xué)情境與生活現(xiàn)實相比，更有數(shù)學(xué)味兒，更忠實于數(shù)學(xué)前后一致、邏輯連貫的教學(xué)追求.當(dāng)然，我們的努力還是初步的，期待更多的同行在教學(xué)設(shè)計中實踐跟進(jìn)，不斷豐富這方面的案例研究.

1.章建躍.構(gòu)建邏輯連貫的學(xué)習(xí)過程使學(xué)生學(xué)會思考［J］.數(shù)學(xué)通報，2013（6）.

2.章建躍.課堂教學(xué)要注重數(shù)學(xué)的整體性［J］.中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2013（5）.

3.張奠宙.無理數(shù)教學(xué)三人談［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)，2015（8）..Z