方鐘波， 徐麗君

(中國海洋大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東 青島 266100)

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一類強(qiáng)p-強(qiáng)制拋物型不等式中解的Liouville定理*

方鐘波， 徐麗君

(中國海洋大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東 青島 266100)

研究一類具有奇異變系數(shù)的強(qiáng)p-強(qiáng)制擬線性拋物型不等式中解的非線性Liouville定理。通過適當(dāng)構(gòu)造試驗(yàn)函數(shù)法來建立universal估計(jì)值(不依賴于初始值)，從而得出在適當(dāng)?shù)呐R界指數(shù)范圍內(nèi)非負(fù)非平凡整體弱解的非存在性結(jié)論。

強(qiáng)p-強(qiáng)制； 拋物型不等式； 試驗(yàn)函數(shù)； Liouville定理

0 引言

本文考慮一類具有奇異系數(shù)的強(qiáng)p-強(qiáng)制擬線性拋物型不等式

ut-Lu≥a(x)uq,x∈Ω,t>0

(1)

具有初始條件

u(x,0)=u0(x),x∈Ω

(2)

a(x)在邊界或原點(diǎn)具有奇性。所謂算子L為強(qiáng)p強(qiáng)制的(簡記為S-p-C)是指：如果存在常數(shù)c1,c2>0及p>1,使得對(duì)任意的(x,u,η)∈Ω×R×RN,

(3)

成立，如p-Laplace算子。

擬線性拋物型不等式(1)出現(xiàn)于流體力學(xué)、人口動(dòng)力學(xué)及生物群體力學(xué)等諸多領(lǐng)域中，見文獻(xiàn)[1-3]等。從流體力學(xué)角度來說，描述多孔體介質(zhì)中非牛頓滲流現(xiàn)象，可描述氣體或液體在多孔體介質(zhì)中的流動(dòng)，其中a(x)uq為正時(shí)叫“熱源”項(xiàng)，相反叫“冷源”項(xiàng)。

非線性拋物型方程(組)或不等式(組)中非負(fù)非平凡整體解的非存在問題的研究已有許多結(jié)論，見文獻(xiàn)[4-15]及相關(guān)文獻(xiàn)。1966年，F(xiàn)ujita在文獻(xiàn)[4]中研究半線性熱傳導(dǎo)方程的Cauchy問題

ut=Δum+V(x)uq,

解的非線性Louville型定理。

由前述文獻(xiàn)所知，問題(1)～(2)中解的非線性Liouville定理的研究甚少。本文的目的在于利用試驗(yàn)函數(shù)法問題(1)～(2)中得到強(qiáng)p-強(qiáng)制算子及加權(quán)函數(shù)的指數(shù)對(duì)非負(fù)非平凡整體弱解的非存在的影響，它的難點(diǎn)在于針對(duì)a(x)的不同奇性選取適當(dāng)?shù)脑囼?yàn)函數(shù)。此種方法是由Mitidieri和Pohozaev[16]中研究橢圓方程的時(shí)提出來的。它的優(yōu)點(diǎn)在于推理簡單明了，不需要適應(yīng)比較原理的一些假設(shè)，所以可以考慮類型廣泛的非線性方程。

1 預(yù)備知識(shí)及主要結(jié)論

先給出一些定義、記號(hào)及主要結(jié)論。因?yàn)閜>1,強(qiáng)p強(qiáng)制拋物型不等式(1)可能為退化或奇異，所以一般不存在古典解，下面先給出弱解的定義。

定義1 如果非負(fù)函數(shù)u(x,t)滿足下面的條件：

(4)

則稱u(x,t)為問題(1)～(2)在S上的弱解。

關(guān)于a(x)的兩類奇性，討論以下兩種情形：

情形1 當(dāng)Ω為有界區(qū)域時(shí)，a(x)在邊界?Ω附近具有奇性，此時(shí)

設(shè)存在c0>0,β∈R使得

a(x)≥c0ρ(x)-β,x∈Ω

(5)

情形2 當(dāng)Ω=RN時(shí)，a(x)在原點(diǎn)附近有奇性，此時(shí)

假設(shè)

(6)

其中：c>0；β∈R。

下面按情形定義適當(dāng)?shù)脑囼?yàn)函數(shù)，將在證明主要結(jié)論中起到“鑰匙”作用。

和

(7)

和

(8)

令

χ(x)=ξλ

(9)

其中λ>0是一待定常數(shù)。

利用前面所構(gòu)造的試驗(yàn)函數(shù)，可得到如下形式的非線性Liouville定理。

(Ⅰ)當(dāng)a(x)在邊界具有奇性時(shí)，

若上述條件成立，則問題(1)～(2)的解u(x,t)=0幾乎處處于S。

(Ⅱ)當(dāng)a(x)在原點(diǎn)具有奇性時(shí)，

若上述條件(a)(b)之一成立,則問題(1)～(2)的解u(x,t)=0幾乎處處于S。其中θ為參數(shù)，r=q+1-p。

2 定理1的證明

定理1的證明主要分為3步。

步驟1 令T>0，定義QΩ,T且截?cái)嗪瘮?shù)定義為ψ(x,t)=ηT(t)χ(x),其中χ(x)如(2.6)所定義，ηT(t)=η(t/T)。

顯然有

取試驗(yàn)函數(shù)Ψ=ψku-d，其中d=q-θ>0，k>1，并在QΩ,T上積分，可得

由(3)(即S-p-C)，可得

再由ψ(x,t)的定義得

(10)

對(duì)(10)的右端第一、二項(xiàng)應(yīng)用Young不等式得

(11)

(12)

其中r=q+1-p。

對(duì)(12)式右端第二項(xiàng)應(yīng)用Young不等式得

(13)

結(jié)合(10)～(13)可得

則有

(14)

步驟2 當(dāng)a(x)在邊界具有奇性時(shí),

在(14)式中，取ξ=ξε，則有

(15)

(16)

再由(7)，(16)得

(17)

其中

若上述條件成立，則有σ1>0，σ2>0，(17)式中取ε→0和T的任意性易知

即u(x,t)=0幾乎處處于S。

步驟3 當(dāng)a(x)在原點(diǎn)具有奇性時(shí)，此時(shí)Ω=RN。

在(14)中取ξ=ξR，則有

(18)

由(6)，(18)可得

(19)

再由(8)，(19)得

(20)

其中

上述條件(a)(b)之一滿足，則有σ3<0，σ4<0。式(20)中取R→∞和T的任意性易知

即u(x,t)=0幾乎處處于S。

定理證畢。

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AMS Subject Classifications： 35R45; 35K65

責(zé)任編輯 陳呈超

Liouville Theorem of Solution for a Strongly-p-Coercive Parabolic Type Inequality

FANG Zhong-Bo，XU Li-Jun

(School of Mathematical Sciences, Ocean University of China, Qingdao 266100, China)

In this paper, we investigate the nonlinear Liouville type theorem of the strongly-p-coercive quasi-linear parabolic inequality with singular variable coefficients. By constructing appropriate test function to establish the universal estimate which does not depend on the initial value of solution, we obtain that the nonexistence of nonnegative nontrivial global weak solution in a range of appropriate critical exponent.

strongly-p-coercive; parabolic inequality; test function; Liouville theorem

山東省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(ZR2012AM018)資助

2013-07-20；

2014-08-15

方鐘波(1968-)，男，教授。E-mail:fangzb7777@hotmail.com

O175

A

1672-5174(2015)05-126-05

10.16441/j.cnki.hdxb.20130257