鄭曉珍

（襄陽(yáng)職業(yè)技術(shù)學(xué)院， 湖北 襄陽(yáng) 441050）

在自變量的取值范圍內(nèi)，分別用幾個(gè)不同的數(shù)學(xué)式子表示的函數(shù)稱(chēng)為分段函數(shù)。分段函數(shù)是高等數(shù)學(xué)中經(jīng)常出現(xiàn)的一種函數(shù)，[1]在求函數(shù)的左極限、函數(shù)的右極限、函數(shù)的極限、函數(shù)的連續(xù)、函數(shù)的定積分運(yùn)算中，能很好地體現(xiàn)函數(shù)的左極限、函數(shù)的右極限、函數(shù)的極限、函數(shù)的連續(xù)性等定義以及函數(shù)定積分的積分區(qū)間的可加性性質(zhì)。因此,在學(xué)習(xí)函數(shù)的左極限、函數(shù)的右極限、函數(shù)的極限、函數(shù)的連續(xù)性等定義以及函數(shù)的定積分的計(jì)算時(shí),分段函數(shù)是必須要應(yīng)用到的一種函數(shù)。

一、分段函數(shù)在求函數(shù)極限運(yùn)算中的應(yīng)用

解 函數(shù)的圖形如下：

觀察函數(shù)的圖形可得：

由自變量趨向于有限值時(shí)函數(shù)極限存在的充要條件是當(dāng)x→x0時(shí)，函數(shù)f（x）的左、右極限都存在且相等，即，可知以及不存在。

而當(dāng)自變量趨向于有限值時(shí)函數(shù)的左極限、右極限、極限的定義分別為：

定義1：設(shè)函數(shù)f（x）在x0左側(cè)有定義，如果當(dāng)x從小于x0的方向趨向于x0時(shí)，函數(shù)f（x）無(wú)限趨近于一個(gè)確定的常數(shù)A，則稱(chēng)A為函數(shù)f（x）當(dāng)x→x0時(shí)的左極限，記為

定義2：設(shè)函數(shù)f（x）在x0右側(cè)有定義，如果當(dāng)x從大于x0的方向趨向于x0時(shí)，函數(shù)f（x）無(wú)限趨近于一個(gè)確定的常數(shù)A，則稱(chēng)A為函數(shù)f（x）當(dāng)x→x0時(shí)的右極限，記為

定義3：設(shè)函數(shù)f（x）在x0附近（x0可除外）有定義，如果x當(dāng)無(wú)限趨向于x0時(shí)，函數(shù)f（x）無(wú)限趨近于一個(gè)確定的常數(shù)A，則稱(chēng)A為函數(shù)f（x）當(dāng)x→x0時(shí)的極限，記為

二、分段函數(shù)在判斷函數(shù)連續(xù)性中的應(yīng)用

定義4：函數(shù)的連續(xù)性定義為：設(shè)函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0附近有定義，若，則稱(chēng)函數(shù)（x）在點(diǎn)x0連續(xù)，x0稱(chēng)為函數(shù)y=f（x）的連續(xù)點(diǎn)。

三、分段函數(shù)在函數(shù)的定積分運(yùn)算中的應(yīng)用

解 已知函數(shù)為分段函數(shù)，

函數(shù)定積分的積分區(qū)間的可加性性質(zhì)為：若把積分區(qū)間［a，b］分成［a，c］、［c，b］兩部分，則有

所以在以上求分段函數(shù)的定積分的運(yùn)算中，體現(xiàn)了函數(shù)定積分的積分區(qū)間的可加性性質(zhì)的應(yīng)用。

可見(jiàn)，分段函數(shù)能很好地體現(xiàn)函數(shù)的左極限、函數(shù)的右極限、函數(shù)的極限、函數(shù)的連續(xù)性等定義以及函數(shù)的定積分的積分區(qū)間的可加性性質(zhì)。

［1］同濟(jì)大學(xué)函授數(shù)學(xué)教研室.高等數(shù)學(xué)（第3版）[M].上海：同濟(jì)大學(xué)出版社，2002.