肖海霞，胡政發(fā)，喻方元

（湖北汽車工業(yè)學院　理學院，湖北　十堰　442002）

概率論與數(shù)理統(tǒng)計中幾個易混淆概念的教學方法

肖海霞，胡政發(fā)，喻方元

（湖北汽車工業(yè)學院理學院，湖北十堰442002）

對基本概念的理解與掌握是學好概率論與數(shù)理統(tǒng)計的關(guān)鍵，特別是一些容易混淆的概念.本文指出了在概率論與數(shù)理統(tǒng)計的學習中學生容易混淆的幾個概念，闡述了這些易混淆概念之間的區(qū)別與聯(lián)系，探討了這些概念的教學方法.

概率論與數(shù)理統(tǒng)計；概念；區(qū)別；聯(lián)系；教學方法

概率論與數(shù)理統(tǒng)計是研究隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的數(shù)學學科，概率統(tǒng)計的思想與方法在社會各個領(lǐng)域及人們的日常生活中都有著廣泛的應用，它是理工科各專業(yè)的必修課，學好這門課程顯得非常重要.但該課程有概念多、公式多的特點，學習該課程時，學生普遍覺得難度大于其他數(shù)學課程.筆者結(jié)合自己幾年來的教學實踐，談談在該課程的教學中學生易混淆的幾個概念，闡述它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，并探討了這些概念的教學方法.

1　幾個易混淆的概念

基本概念的理解與掌握是學好一門課程的關(guān)鍵，尤其是概率論與數(shù)理統(tǒng)計這種概念多的課程.據(jù)多年的教學經(jīng)驗，學生易混淆的概念主要有：（1）不可能事件與零概率事件；（2）隨機事件的互不相容與相互獨立；（3）條件概率、無條件概率與交事件的概率；（4）區(qū)間估計與假設檢驗.

2　教學方法的設計

對于以上易混淆的概念，在教學中，根據(jù)各概念的特點來設計教學方案，讓學生明白他們之間的區(qū)別與聯(lián)系，正確理解概念.

2.1從易混淆的原因入手

學生是學習的主體，在設計教學時，從學生的角度來分析問題，找到易混淆的原因，然后“對癥下藥”.以不可能事件與零概率事件為例來說明.

不可能事件的概率為零，反之，如果某個事件的概率為零，它卻不一定是不可能事件.根據(jù)是：在“連續(xù)型隨機變量”這部分內(nèi)容中，可以計算隨機變量X取得某點x0的概率為零，而隨機事件（X=x0）卻不一定是不可能事件.可是學生往往不理解，經(jīng)常產(chǎn)生這樣的疑問：既然事件發(fā)生的可能性為零，為什么還可能發(fā)生呢？學生不理解的主要原因是對隨機事件的概率這個概念的定義與功能缺乏準確的認識.事件的概率是對事件發(fā)生的可能性大小的數(shù)量描述，概率值大，就意味著事件發(fā)生的可能性大，反之，概率值小，就意味著事件發(fā)生的可能性小.在教學過程中，教師可利用概率的統(tǒng)計定義來解釋這一問題.概率的統(tǒng)計定義是：在相同的條件下，重復做n次試驗，事件A發(fā)生的頻數(shù)為m，頻率為，當n很大時，在某一常數(shù)p附近擺動，且一般來說，n越大，擺動的幅度越小，則數(shù)p稱為事件A的概率.從這個定義，我們知道，隨著n的增大，頻率會穩(wěn)定于概率.對于概率為零的事件來說，隨著試驗次數(shù)n的增大，其頻率會在0附近擺動，這種事件可分成兩類：一類是頻率恒為零的事件，頻率恒為零，說明不管試驗多少次，事件總是不會發(fā)生，這類事件自然是不可能事件，另一類是頻率有時為零，但不恒為零的事件，正是因為頻率不恒為零，說明在試驗中，事件發(fā)生過，只不過發(fā)生的次數(shù)極少，這種事件是幾乎不發(fā)生，但又不是絕對不發(fā)生的事件.例如：測量某零件的尺寸，“測量誤差為0.05mm”就是概率為零的事件，測量誤差正好為0.05mm的情況雖然有，但是很少見.一旦學生理解了這兩個概念，就不容易犯類似于“因為P（AB）=0，所以AB為不可能事件，從而A與B互不相容”的錯誤.

2.2應用身邊的實例來區(qū)分概念

概率論與數(shù)理統(tǒng)計是與現(xiàn)實生活聯(lián)系最緊密的數(shù)學學科，在教學中，從概念的直觀背景入手，精心選擇一些跟我們生活密切相關(guān)而又有趣的實例來講解基本概念，不僅能讓學生很快地掌握概念而且能激發(fā)學生的學習興趣，調(diào)動他們的學習積極性和主動性.

條件概率是概率論中一個非常重要的概念，是教學中的一個重點和難點.學生在學習過程中容易將它與無條件概率、交事件的概率相混淆.設A，B為兩個隨機事件，P（AB）指的是A，B都發(fā)生的概率，是交事件的概率.P（A|B）是在事件B已經(jīng)發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率，是條件概率.而無條件概率P（A）指的是在沒有任何已知信息的前提下考慮事件A的概率.在教學中，可通過抽獎這個生活中常見的實例引入概念.10張獎券里有兩張是中獎券，現(xiàn)有10人依次隨機從中抽取一張獎券，問第二人中獎的概率是多少？然后又提問：已知第一人中獎，此時第二人中獎的概率又是多少？從這個實例中引入條件概率的定義，讓給學生初步了解條件概率與無條件概率的區(qū)別，然后再設計如下例題來鞏固概念：

例某班100名學生中有男生80人，女生20人，該班來自北京的學生有20人，其中男生12人，女生8人，從這100名學生中任意抽取一名，試寫出P（A），P（B），P（AB），P（AB），P（B|A）.

解設事件A表示抽到的學生是男生，事件B表示抽到的學生是來自北京的.易知總的基本事件的個數(shù)是100，事件A所包含的基本事件數(shù)是80，事件AB是指抽到的是來自北京的男生，它所包含的基本事件的個數(shù)是12，所以P（A）=0.8，P（AB）=0.12，而P（A|B）=0.6，這是因為在事件B已經(jīng)發(fā)生的條件下，樣本空間發(fā)生了變化，樣本空間變小了，此時總的基本事件數(shù)縮減為20，即為B所包含的基本事件數(shù)，而在此條件下，事件A所包含的基本事件數(shù)僅為12.類似可得，P（B）=0.2，P（B|A）=0.15.

通過這個例子，不僅可讓學生容易理解它們之間的區(qū)別，而且容易從中驗證乘法公式：若P（B）＞0，則P（AB）=P（A|B）P（B）；若P（A）＞0，則P（AB）=P（B|A）P（A）.為接下來的乘法公式教學做鋪墊.

2.3通過做實驗來區(qū)分概念

抽象的概念理解起來比較難，但俗話說：眼見為實.通過實驗的方式來區(qū)分概念，不僅可以讓學生加深對所學知識的理解，還可以鍛煉學生的動手能力.

兩個事件A，B互不相容指的是A，B不同時發(fā)生，即AB=?，兩個事件A，B相互獨立指的是A，B中任一個事件的發(fā)生與否對另外一個事件發(fā)生的概率沒有影響，即P（AB）=P（A）P（B）.學生在學習中，往往對他們之間的關(guān)系不清楚，容易將這兩個概念混淆，事實上，相互獨立是從概率的角度來說的，強調(diào)B發(fā)生與否對事件A發(fā)生的概率沒影響，而互不相容是事件本身的關(guān)系，不存在同時屬于這兩個事件的樣本點，強調(diào)兩事件不能同時發(fā)生.這是兩個不同屬性的概念，他們之間沒有必然的聯(lián)系.但學生往往會用已建立起來的互不相容概念來理解相互獨立，錯誤地認為相互獨立的兩事件是不可能同時發(fā)生的，因而是互不相容的.為了使學生不混淆，在教學中可以舉例如下：

有一個質(zhì)量均勻的正四面體，其第一面涂紅色，第二面涂白色，第三面涂藍色，第四面同時涂有紅，白，藍三色，以H，B分別記拋一次此四面體，朝下那一面出現(xiàn)紅色，白色的事件，則易知

P（H）=P（B）=0.5，P（H|B）=P（B|H）=0.5，P（HB）=0.25，

所以，P（B）=P（B|H），P（H）=P（H|B），這說明：事件H，B相互獨立，但是事件H，B可以同時發(fā)生，即HB≠?.

為了讓學生進一步理解這兩個概念.可布置課后作業(yè)，讓學生自己去做一個這樣四面體來做實驗，記錄事件H與B發(fā)生的頻率，當試驗次數(shù)充分大時，利用頻率穩(wěn)定于概率來驗證結(jié)論.

2.4注重講解概念之間的區(qū)別

統(tǒng)計推斷的基本問題是參數(shù)估計和假設檢驗.學生在學完參數(shù)的區(qū)間估計和參數(shù)的假設檢驗后，發(fā)現(xiàn)這兩個問題中有很多相似之處.比如：都要選用統(tǒng)計量，都要用到分位數(shù)等等，但又弄不明白他們之間的區(qū)別和聯(lián)系，以及他們各自的適用范圍和使用條件.事實上，它們都是基于樣本信息來推斷總體的性質(zhì)，但他們之間又有區(qū)別.在教學中，教師要強調(diào)以下兩點：第一，它們的目的不同，參數(shù)的區(qū)間估計解決的是根據(jù)樣本估計未知參數(shù)的范圍問題，參數(shù)的假設檢驗則是根據(jù)樣本判斷假設是否該接受還是拒絕的問題.第二，兩者對總體的了解程度不同，進行區(qū)間估計之前不了解未知參數(shù)的有關(guān)信息，而假設檢驗對未知參數(shù)的信息有所了解，但做出某種判斷無確切把握.在實際應用中，假如我們對未知參數(shù)有很多的了解，或掌握了一些非樣本信息，這時，采用假設檢驗的方法合適，如果我們對未知參數(shù)除了樣本信息之外無其它信息，則宜采用區(qū)間估計.

3　總結(jié)

學生對基本概念，特別是一些易混淆概念的理解和掌握的程度直接決定了學生對該門課程的掌握程度.在教學過程中，教師巧妙設計各種教學手段及時講解課程中容易混淆的概念，不僅使學生容易理解和掌握各個概念，而且可以讓枯燥的概念學習變得有趣、豐富課堂教學.

〔1〕沈恒范.概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程（第五版）［M］.北京：高等教育出版社，2011.

〔2〕朱秀娟.概率統(tǒng)計問題150題［M］.長沙：湖南科學技術(shù)出版社，1982.

〔3〕申蘭珍.對為什么概率為0的事件不一定是不可能事件的解釋［J］.唐山高等專科學校學報，1999，12（4）.

〔4〕袁力，盛愛輝.區(qū)間估計與假設檢驗的相關(guān)性及其應用［J］.鄖陽師范高等專科學校學報，2007，27（6）.

〔5〕叢玉華，殷爍.概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題課教學的探索與實踐［J］.通化師范學院學報，2013（2）：53.

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