郭若毅，陳馳一

（杭州師范大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州310036）

1933年，弗里茨·茲威基首次發(fā)現(xiàn)大星系團(tuán)中的星系具有極高的運(yùn)行速度，而要束縛住這些星系，星系團(tuán)的實(shí)際質(zhì)量應(yīng)該是通過電磁信號(hào)觀測(cè)到的恒星總質(zhì)量的100多倍［1］.因此，這種無法通過測(cè)量其亮度或者電磁效應(yīng)探測(cè)到、和其他普通物質(zhì)的相互作用也非常微弱的未知物質(zhì)稱為暗物質(zhì).星系NGC3198的轉(zhuǎn)動(dòng)曲線則為暗物質(zhì)的存在提供了直接的證據(jù)［2］.之后，Riess等分別利用Ia型超新星作標(biāo)準(zhǔn)燭光，精確測(cè)量了距離-紅移關(guān)系，發(fā)現(xiàn)宇宙在加速膨脹［3-5］.這一結(jié)論的得出是基于標(biāo)準(zhǔn)宇宙學(xué)度規(guī)，而對(duì)其的分析是根據(jù)愛因斯坦標(biāo)準(zhǔn)宇宙動(dòng)力學(xué)模型，暗示必須存在一種排斥能（即要求ρ＋3p＜0），但目前實(shí)驗(yàn)室探測(cè)到的已知相互作用都不滿足這個(gè)判據(jù)，因此這種能量被命名為暗能量.

暗能量和暗物質(zhì)是新世紀(jì)最重要的兩個(gè)發(fā)現(xiàn).大多數(shù)物理學(xué)家都將暗物質(zhì)和暗能量問題看作是彼此獨(dú)立的兩個(gè)問題.對(duì)于暗能量問題，物理學(xué)家曾試圖構(gòu)建很多物理模型予以解釋，如宇宙學(xué)常數(shù)、Quintessence、phantom、k-essence等［6］，然而暗能量的本質(zhì)是什么卻一直沒有統(tǒng)一的答案.暗物質(zhì)問題同樣如此.由于這兩者發(fā)現(xiàn)的時(shí)間相距較遠(yuǎn)，很少有模型提出兩者可能存在一定關(guān)聯(lián)性.但是將兩者聯(lián)系在一起考慮也未嘗不可，因?yàn)榘的芰亢桶滴镔|(zhì)問題都是出現(xiàn)在宇觀的大尺度上，而在此尺度上起主導(dǎo)作用的相互作用只有引力.況且，暗能量和暗物質(zhì)還存在所謂巧合性問題（coincidence problem）.因此，從自然性的角度分析，暗能量和暗物質(zhì)問題很可能在物理的深層次本質(zhì)上是相聯(lián)系的.

半全息宇宙學(xué)模型主要通過熵將暗物質(zhì)和暗能量聯(lián)系在一起來研究?jī)烧叩男再|(zhì).本文將進(jìn)一步改進(jìn)和完善當(dāng)前關(guān)于半全息宇宙學(xué)的討論.Zhang等［7］給出的霍金溫度T采用了標(biāo)度因子變化的平坦性近似，在當(dāng)前已經(jīng)發(fā)現(xiàn)宇宙存在明顯加速膨脹的前提下，這種近似是應(yīng)該得到修正的.Cai等［8］則給出了明確的修正，得到了霍金溫度更準(zhǔn)確的表達(dá)式.本文正是考慮霍金溫度的物理修正以后，重新考察了暗能量和暗物質(zhì)通過熵結(jié)合的半全息宇宙學(xué)模型，著重處理了巧合性問題，并根據(jù)得到的吸引子解來分析討論宇宙減速因子以及暗物質(zhì)、暗能量的等效壓強(qiáng)密度比.

1 霍金溫度T 的修正

為了使半全息宇宙學(xué)模型應(yīng)用更為嚴(yán)謹(jǐn)準(zhǔn)確，本文考慮采用霍金溫度T的一般表達(dá)式來求解半全息宇宙學(xué)模型的參數(shù).在這里標(biāo)準(zhǔn)模型的基本假設(shè)（宇宙學(xué)原理）依然成立，即每一時(shí)刻的宇宙物質(zhì)分布在大尺度下是均勻且各向同性的.根據(jù)宇宙學(xué)原理，已知n＋1維的FRW 宇宙學(xué)度規(guī)為：

其中a（t）為標(biāo)度因子，k為空間曲率.上式同樣可以等價(jià)地表示為：

對(duì)于三維的宇宙來說，在其膨脹時(shí)期不存在事件視界，但其表觀視界卻一直存在，所以本文選取表觀視界作為暗能量的全息面，根據(jù)視界的概念要求：

其中

而式（3）可以按具體指標(biāo)展開為：

結(jié)合式（4）即可得表觀視界半徑為：

其中表示a對(duì)時(shí)間求一階導(dǎo)數(shù)，下面類似符號(hào)也作同樣規(guī)定.定義表觀視界面的表面引力［8］為：

而H對(duì)標(biāo)度因子a求一階導(dǎo)數(shù)為：

其中H′表示H對(duì)于lna求偏導(dǎo)數(shù)，下面類似符號(hào)也作同樣規(guī)定.所以根據(jù)式（2）至（10）以及的條件，表觀視界面的引力可以表述為：

在一般情況下，視界因霍金輻射而產(chǎn)生的霍金溫度的一般形式［8］為，根據(jù)式（11），則在表觀視界下的溫度T具體表示為根據(jù)觀測(cè)的最佳擬合結(jié)果，本文同樣研究平坦的宇宙，即k＝0，此時(shí)，所以有

相比于未修正的霍金溫度項(xiàng)，在考慮了標(biāo)度因子a的二階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的動(dòng)力學(xué)效應(yīng)后，得到的新的霍金溫度項(xiàng)T多出了一個(gè)H的一階導(dǎo)數(shù)項(xiàng).其影響主要表現(xiàn)在暗能量和暗物質(zhì)的能量密度的演化方程以及吸引子解的結(jié)果，可以通過宇宙減速因子及暗能量和暗物質(zhì)的等效壓強(qiáng)密度比加以驗(yàn)證.

2 吸引子解

根據(jù)宇宙的演化規(guī)律，暗物質(zhì)和暗能量的密度在當(dāng)前階段處在同一量級(jí)，但通常情況下，兩者隨宇宙標(biāo)度因子的演化規(guī)律會(huì)呈指數(shù)的不同，而宇宙的標(biāo)度因子在宇宙的整個(gè)演化歷史中膨脹了很多倍，因此，宇宙早期暗能量與暗物質(zhì)的能量密度相差極大.為了在宇宙演化的當(dāng)前時(shí)期得到兩者處于相當(dāng)?shù)慕Y(jié)果，需要在接近宇宙誕生的時(shí)候就對(duì)各種物質(zhì)的比例做非常細(xì)致的調(diào)整，這種調(diào)整的機(jī)制以及暗能量本身的性質(zhì)都讓人非常困惑，這也是巧合性問題的由來.對(duì)于巧合性問題，如果要得到機(jī)制性的解決，則可以采用讓暗能量和暗物質(zhì)的能量密度滿足吸引子解的方案來緩解，因?yàn)榇藭r(shí)暗能量和暗物質(zhì)的比例只與其狀態(tài)參數(shù)有關(guān).半全息宇宙學(xué)模型正是這樣一個(gè)可以解決巧合性問題的模型，其穩(wěn)定點(diǎn)處的暗能量和暗物質(zhì)的比例也正好只與狀態(tài)參數(shù)成比例.它主要通過熵將暗能量和暗物質(zhì)聯(lián)系起來，對(duì)其進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析得到哈勃參數(shù)的演變方程.在熱力學(xué)分析的過程中，可以將暗能量和暗物質(zhì)組成的系統(tǒng)看作是一個(gè)封閉的系統(tǒng)，假定其不與外界發(fā)生物質(zhì)交換，應(yīng)用熱力學(xué)第一定律討論暗能量和暗物質(zhì)的內(nèi)能變化，得到暗能量或暗物質(zhì)的能量密度的演化方程.對(duì)其求吸引子解，并給出吸引子解的限制條件.

上式兩邊都對(duì)標(biāo)度因子a求導(dǎo)數(shù)，并化簡(jiǎn)得綜合上述兩式得H′2＝

對(duì)暗能量和暗物質(zhì)分別應(yīng)用熱力學(xué)第一定律，得到

應(yīng)用能-動(dòng)量張量的守恒律，計(jì)算得到暗能量和暗物質(zhì)的能量密度的演化方程分別為：

同時(shí)，式（15）和（16）又稱為宇宙動(dòng)力學(xué)方程.為了使暗物質(zhì)和暗能量的能量密度演化方程形式更簡(jiǎn)潔，可以定義新變量則式（15）、（16）改寫為：

所謂吸引子解，必須是不動(dòng)點(diǎn)，且要求其具有穩(wěn)定性.而對(duì)于巧合性問題，最簡(jiǎn)單的情況就是宇宙學(xué)參數(shù)u、v都滿足吸引子解.令u′c＝0，v′c＝0，代入式（17）和（18），解得臨界點(diǎn)為：

如果宇宙學(xué)常數(shù)λ≠0，則最終暗物質(zhì)和暗能量的比例為該式說明臨界點(diǎn)處暗物質(zhì)和暗能量的能量密度的比例只與狀態(tài)參數(shù)有關(guān)，這很自然地解釋了兩者比例的巧合性問題.而對(duì)于臨界點(diǎn)穩(wěn)定性問題的研究，可以通過考察宇宙動(dòng)力學(xué)方程相對(duì)臨界點(diǎn)的偏離度的演化情況來實(shí)現(xiàn).改寫u和v為：

那么含有偏離度的暗物質(zhì)和暗能量的演化方程為：

根據(jù)臨界點(diǎn)的條件，化簡(jiǎn)得到偏離度所滿足的方程為：

假定暗能量和暗物質(zhì)的能量密度參數(shù)在吸引子解附近都為常數(shù)，可以把偏離度作傅里葉展開，即δρ∝ela，則暗能量和暗物質(zhì)密度參數(shù)的偏離度展開式中，最主要的項(xiàng)為一階偏導(dǎo)數(shù)，滿足（δρ）′＝lδρ.而偏離度作為一階小量，其平方項(xiàng)可以忽略，那么偏離度的演化方程可以寫作矩陣方程組：

如果臨界點(diǎn)為穩(wěn)定的不動(dòng)點(diǎn)，則要求根必須小于零.只有這時(shí)得到的臨界點(diǎn)才是吸引子解，即要求1＋wdewdm＋2wde＞0，且實(shí)際觀測(cè)中暗物質(zhì)和暗能量的狀態(tài)參數(shù)滿足，所以得到吸引子解的限制條件為根據(jù)這一限制條件，本文選取wde＝-0.62，wdm＝-0.42.下文通過宇宙減速因子以及暗能量和暗物質(zhì)的等效壓強(qiáng)密度比來檢驗(yàn)這一模型修正前后的變化.

3 應(yīng)用

3.1 宇宙減速因子

宇宙減速因子是宇宙觀測(cè)最重要的參數(shù)，用來描述宇宙膨脹的加速度情況.其定義式為當(dāng)q＞0時(shí)，宇宙在減速膨脹；反之，宇宙在加速膨脹.根據(jù)H的變換形式，減速因子可以化簡(jiǎn)為

圖1 半全息宇宙學(xué)模型和宇宙學(xué)常數(shù)模型中宇宙減速因子q的演化曲線Fig.1 The evolutions of qin semi-holographic universe andΛCDM

根據(jù)半全息宇宙學(xué)模型［7］，本文選取橫軸為-lna來研究宇宙減速因子q隨宇宙紅移的變化規(guī)律，并取現(xiàn)今宇宙的參數(shù)初值為u0＝0.25，v0＝0.01，λ＝0.74.q隨-lna的變化如圖1所示.可見兩曲線的變化趨勢(shì)基本一致，q在圖中所示的區(qū)段內(nèi)取負(fù)值，意味著宇宙此時(shí)處于加速膨脹；而在當(dāng)前時(shí)刻q的取值是不同的，對(duì)于半全息宇宙學(xué)模型，對(duì)應(yīng)值約為-0.74.

3.2 等效壓強(qiáng)密度比

當(dāng)考慮暗能量或暗物質(zhì)對(duì)宇宙演化的影響時(shí)，壓強(qiáng)必須為等效壓強(qiáng)，其定義式為0.它是由能量密度隨宇宙膨脹的演化行為所決定的，可化簡(jiǎn)為等效密度壓強(qiáng)比為所以，求得暗物質(zhì)和暗能量的等效壓強(qiáng)密度比的解析表達(dá)式分別為：

根據(jù)式（19）和（20），圖2描繪出了暗能量和暗物質(zhì)的等效壓強(qiáng)密度比隨-lna的變化情況（選取的參數(shù)初值和討論減速因子時(shí)相同）.相比半全息宇宙學(xué)模型給出的演化圖，在圖2中可以發(fā)現(xiàn)類似的規(guī)律：當(dāng)宇宙處于較大紅移時(shí)，暗物質(zhì)的等效壓強(qiáng)密度比逐漸趨近于零，這意味著此時(shí)暗物質(zhì)轉(zhuǎn)變?yōu)橹刈游镔|(zhì)；對(duì)于暗能量，隨著紅移逐漸增大，其等效壓強(qiáng)密度比經(jīng)歷著從phantom 模型到宇宙學(xué)常數(shù)模型的變化，最后接近-1，剛好就是宇宙學(xué)常數(shù)模型的結(jié)果.但標(biāo)度因子a的二階導(dǎo)數(shù)產(chǎn)生的動(dòng)力學(xué)效應(yīng)使得圖2具體的變化趨勢(shì)與前者有所不同：暗物質(zhì)在紅移小于原先位置時(shí)就轉(zhuǎn)變?yōu)榱酥刈游镔|(zhì)；暗能量的等效壓強(qiáng)密度比取最大值時(shí)的位置和大小較霍金溫度修正前發(fā)生了變化.

4 結(jié)束語

霍金溫度T是在求解吸引子問題中比較重要的一個(gè)參數(shù)項(xiàng)，考慮到標(biāo)度因子a的二階導(dǎo)數(shù)存在緩慢變化的動(dòng)力學(xué)效應(yīng)，本文對(duì)霍金溫度T進(jìn)行了修正，并將修正后的霍金溫度T重新應(yīng)用于半全息宇宙學(xué)模型的討論.文章在熵守恒的前提下重點(diǎn)討論了暗能量和暗物質(zhì)的巧合性問題，發(fā)現(xiàn)滿足吸引子解時(shí)暗能量和暗物質(zhì)的比例只與它們的狀態(tài)參數(shù)有關(guān)，由此解釋了巧合性問題，同時(shí)也給出了吸引子解的限制條件.依據(jù)得到的吸引子解，討論了宇宙學(xué)觀測(cè)的兩項(xiàng)重要指標(biāo)宇宙減速因子和等效壓強(qiáng)密度比.結(jié)果發(fā)現(xiàn)修正后的半全息宇宙學(xué)模型中宇宙減速因子隨-lna的變化規(guī)律與ΛCDM 模型接近，且減速因子取負(fù)值也很好符合了宇宙在加速膨脹這一事實(shí)，但是其在當(dāng)前時(shí)刻對(duì)于減速因子給出了不同的預(yù)測(cè)值；相比之前的半全息宇宙學(xué)模型，當(dāng)宇宙處于較大紅移處時(shí)，暗物質(zhì)的等效壓強(qiáng)密度比逐漸趨向于零，反之重子物質(zhì)則隨著宇宙演化向暗物質(zhì)轉(zhuǎn)變；隨著宇宙紅移逐漸增大，暗能量經(jīng)歷著由Phantom 模型向宇宙學(xué)常數(shù)模型的轉(zhuǎn)變，直至最后其等效壓強(qiáng)密度比趨向于-1，此時(shí)正是宇宙學(xué)常數(shù)對(duì)應(yīng)的狀態(tài)參數(shù)值.標(biāo)度因子的二階導(dǎo)數(shù)產(chǎn)生的動(dòng)力學(xué)效應(yīng)使得暗物質(zhì)在紅移小于原先位置時(shí)就轉(zhuǎn)變?yōu)榱酥刈游镔|(zhì)，而暗能量的等效壓強(qiáng)密度比與修正之前的差別主要在于最高點(diǎn)處的數(shù)值和位置不同.

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