董　瑩，楊垂平

(杭州師范大學理學院，浙江 杭州 310036)

量子光場連續(xù)測量的隨機主方程理論

董瑩，楊垂平

(杭州師范大學理學院，浙江 杭州 310036)

摘要：利用一束二能級原子束，使之穿過光場并與其發(fā)生相互作用，通過探測穿過光場后原子的狀態(tài)，獲得關于光場內光子數(shù)的信息，從而實現(xiàn)一個關于光子數(shù)的連續(xù)弱測量過程.根據量子連續(xù)測量理論及Wiener隨機過程的相關理論，推導出描述這一連續(xù)測量過程的隨機dinger方程與隨機主方程.由所得方程的形式可見，如果原子與光場的相互作用為色散性的，則可以實現(xiàn)光場的非破壞測量，這種測量可以保證光場內的光子數(shù)在測量后不發(fā)生改變.反之如果相互作用是吸收性的，則可以實現(xiàn)吸收性的測量，這種測量等效于給光場附加了一個額外的真空熱庫，將導致光場內光子數(shù)的減少.

關鍵詞：連續(xù)量子測量；非破壞測量；隨機主方程

自從量子力學建立以來，圍繞著量子測量過程的一系列問題就一直困擾著物理學家.按照Neumann的量子測量理論[1]，一個量子測量過程可以分為兩步：第一步，量子測量儀器與被測系統(tǒng)通過一個幺正相互作用建立量子關聯(lián)(糾纏)；第二步，讀出測量儀器的狀態(tài)，同時引起被測系統(tǒng)的非幺正塌縮.雖然這個簡單的圖像作為對量子測量的初步理解，在很多問題上是成功的，然而，在一類非常重要的問題上，這個圖像卻并不適用.例如在光子探測等量子連續(xù)弱測量過程中，測量結果(例如光電脈沖)不是一次而是連續(xù)不斷地被讀出，也就是說，上面提到的兩步是同時并且連續(xù)不斷地進行的.為了克服這個困難，研究人員提出了一個與Neumann投影測量不同的連續(xù)測量理論[2]，這一理論已經成功運用于很多不同的量子系統(tǒng)[3-5].近年來，隨著對量子(反饋)控制理論研究的逐步深入，連續(xù)測量理論變得越來越重要.本文對兩種實驗上常見的量子光場的光子數(shù)連續(xù)監(jiān)測方案給出了一個直觀的物理描述，并根據量子連續(xù)測量理論，推導出了描述這一測量過程的隨機方程.這些方程在開放系統(tǒng)量子光學、量子控制以及量子隨機理論的研究中，都將起到非常重要的作用.

1連續(xù)測量的隨機主方程推導

為了實時地監(jiān)測一個量子光場(如一個量子諧振腔內的光場)的光子數(shù)，也即實現(xiàn)對光場連續(xù)量子測量，可以使用一束二能級原子(記基態(tài)為|g〉，激發(fā)態(tài)為|e〉)作為探測系統(tǒng).總的測量時間被等分成許多非常小的時段，每一小段時長為τ.假設在每一個小段中，只有一個原子通過光場并與之發(fā)生相互作用.通過測量穿過光場后的原子的量子態(tài)，即可獲得關于光子數(shù)的信息.下文將討論兩種不同的測量方案，如圖1所示，一種為色散性的非破壞測量，一種為吸收性的破壞測量.

(a)非破壞測量：腔模頻率與原子兩能級間的躍遷頻率存在較大失諧，導致光子與原子間發(fā)生色散性的相互作用，這種相互作用將改變原子波函數(shù)的相位，通過讀取射出原子的相位，即可獲得腔內光子數(shù)的信息；(b)吸收性測量：腔場頻率與原子躍遷頻率共振，引起原子對光子的強烈吸收，導致腔內光子數(shù)的衰減.圖1　通過一束二能級原子實時連續(xù)探測量子光場光子數(shù)的裝置原理示意圖Fig. 1　Schematic setup for a continuous quantum measurement of the output work with a beam of two-level atoms

1.1　非破壞測量及其隨機主方程

在非破壞測量方案中，假設量子光場的頻率與原子的能級間距有較大的失諧，因此兩者間的相互作用為色散性的非共振相互作用.這種相互作用可以由如下的哈密頓量[6]來描述：

(1)

(2)

這里下腳標f代表光子場.經過一段時間為τ的相互作用后，系統(tǒng)的密度矩陣變?yōu)?/p>

(3)

將之按照小量τ展開，并保留至二階，得到

(4)

對于有計數(shù)過程，光場的約化密度矩陣為

(5)

(6)

同樣的，也可以將無計數(shù)過程發(fā)生的概率以及光子場的狀態(tài)分別表示為

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

由上式不難看出，這種連續(xù)弱測量可以被看作是一種可由如下算符描述的正算符測量(POVM)

(14)

(15)

以及相應的隨機主方程

(16)

這里dW表示一個均值為零，方差為dt的高斯型隨機變量，也就是隨機過程中通常所講的Wiener過程.

為了更清楚地看出該種測量過程對被測系統(tǒng)的影響，可以對所有的測量結果取平均，從而得到描述這一過程的標準主方程

(17)

1.2　吸收性測量及其隨機主方程

與非破壞測量不同，吸收測量要求原子兩能級間的躍遷頻率應該剛好與被測光場頻率共振，在旋轉波近似下，這種吸收性的相互作用可以由如下哈密頓量[9]來描述:

(18)

這里ga表示原子與光子的共振吸收(Absortive)耦合強度.在這種測量方案中，原子的初態(tài)與非破壞測量也不同，應該選擇為原子的基態(tài)|g〉，于是整個系統(tǒng)的初始密度矩陣為

(19)

(20)

以及相應的隨機主方程

(21)

同樣，如果對所有測量結果取平均，將得到描述這一測量過程的標準主方程

(22)

這個方程與描述一個與真空熱庫相接觸的量子光場的主方程形式完全一致.因此，這種吸收性測量的物理效果，等同于給光場附加了一個額外的真空熱庫，無疑將導致光場內光子數(shù)的衰減，因而對光場而言，這是一個破壞性的測量.

2結論

參考文獻:

[1] Neumann J. Mathematical foundations of quantum mechanics[M]. Princeton: Princeton University Press,1955.

[2] Davies E B, Lewis J T.An operational approach to quantum probability[J].Commun Math Phys,1970,17(3):239-260.

[3] Milburn G J，Walls D F.State reduction in quantum-counting quantum nondemolition measurements[J].Phys Rev A,1984，30(1):56-60.

[4] Zoller P, Marte M, Walls D F.Quantum jumps in atomic systems[J].Phys Rev A,1987，35(1):198-207.

[5] Holmes C A, Milburn G J, Walls D F.Photon-number-state preparation in nondegenerate parametric amplification[J].Phys Rev A,1989，39(5):2493-2501.

[6] Ueda M, Imoto N, Nagaoka H，etal. Continuous quantum-nondemolition measurement of photon number[J].Phys Rev A,1992，46(5):2859-2869.

[7] Johnson N L, Kotz S, Kemp A W. Univariate discrete distributions[M].2nd ed. New York：John Wiley & Sons,1993.

[8] Jacobs K, Steck D A. A straightforward introduction to continuous quantum measurement[J].Comtemporary Physics,2006，47(5):279-303.

[9] Imoto N, Ueda M, Ogawa T.Microscopic theory of the continuous measurement of photon numbe[J].Phys Rev A,1990，41(7):4127-4130.

Received date：2015-03-14

Foundation item：Supported by the National Natural Science Foundation of China (21173064,51303043); Hangzhou Science and Technology Program (20130432B06).

Stochastic Master Equation Theory for the Continuous Measurements of Quantum Optical Field

DONG Ying，YANG Chuiping

(School of Science，Hangzhou Normal University，Hangzhou 310036，China)

Abstract:To realize the continuous weak measurement for photon number, a beam of two-level atoms passes through a quantum optical field and then reads out the information about the photon number by detecting the state of the atoms leaving the optical field. According to the quantum continuous measurement theory and the Wiener stochastic process theory, a stochastic master equation and a stochastic dinger equation to describe the measurement process can be derived. The forms of the resulting equations show that if the interaction between the atom and the photon is dispersive in nature, then the photon number in the optical field can be conserved and a quantum non-demolition (QND) measurement can be realized. If the interaction is absorptive, then the absorption measurement can be realized, which corresponds to add to the optical field an additional vacuum reservoir and leads to the dissipation of the optical field.

Key words:continuous quantum measurement; non-demolition measurement; stochastic master equation

Corresponding author：ZHENG Zhanjiang (1978—),male, research associate, ph.D.,majored in organic synthesis and catalysis. E-mail: zzjiang78@hotmail.com

通信作者：楊垂平(1964—)，男，教授，博士，主要從事量子光學與量子信息研究.E-mail:yangcp@hznu.edu.cn

收稿日期：2015-04-15

文章編號:1674-232X(2015)03-0225-04

中圖分類號:O431.2

文獻標志碼:A

doi:10.3969/j.issn.1674-232X.2015.03.001