☉江蘇省如東縣馬塘鎮(zhèn)邱陞中學(xué) 湯日熱

習(xí)題課選題策略：從形式相似走向本質(zhì)關(guān)聯(lián)
——以“等腰三角形”習(xí)題課為例

☉江蘇省如東縣馬塘鎮(zhèn)邱陞中學(xué) 湯日熱

習(xí)題教學(xué)課在中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中占有重要比重．然而，習(xí)題教學(xué)往往是以幾個(gè)例題的講述，然后再跟蹤練習(xí)為主的教學(xué)模式，不同例習(xí)題之間的關(guān)聯(lián)貌合神離，甚至很多習(xí)題講評(píng)課淪落為大量無(wú)關(guān)習(xí)題拼湊式的演練課堂，難有生機(jī)與活力，讓師生都感到無(wú)趣無(wú)味．最近在一次教研活動(dòng)中，筆者有機(jī)會(huì)執(zhí)教“等腰三角形”習(xí)題課，對(duì)該課的例習(xí)題做了較為深度的構(gòu)思，取得較好的教學(xué)效果．下面整理該課教學(xué)流程，并解讀教學(xué)立意，提供研討．

圖1

一、“等腰三角形”習(xí)題課教學(xué)流程

1.開(kāi)課習(xí)題，系列設(shè)問(wèn)

例1如圖1，在△ABC中，AD⊥BC，垂足為D．（以下證明，盡量不使用“全等”，但重要步驟要注明“推理依據(jù)”）

（1）當(dāng)BD＝CD時(shí)，求證：AB＝AC.

（2）當(dāng)∠B＝∠C時(shí)，求證：AB＝AC.

（3）當(dāng)∠B＝∠C時(shí)，求證：BD＝CD.

（4）當(dāng)AB＝AC時(shí)，求證：AD平分∠BAC.

（5）當(dāng)AB＝AC時(shí)，求證：點(diǎn)D到AB、AC的距離相等.

（6）當(dāng)點(diǎn)D到AB、AC的距離相等時(shí)，求證：AB＝AC.

（7）當(dāng)AD平分∠BAC時(shí)，△ABC的另外兩條高BE、CF的交點(diǎn)是否落在AD上？說(shuō)明理由．

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)該題的系列設(shè)問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)等腰三角形的定義、性質(zhì)與判定，比如“等邊對(duì)等角”、“三線合一”、“等角對(duì)等邊”．其中第（7）問(wèn)可以從垂直平分線、對(duì)稱(chēng)軸的角度推證，也體現(xiàn)了等腰三角形軸對(duì)稱(chēng)的一種性質(zhì)：對(duì)稱(chēng)點(diǎn)連線段（或延長(zhǎng)線）的交點(diǎn)一定在對(duì)稱(chēng)軸上！

2.等腰三角形中相等線段的探究

例2如圖2，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足為D．E、F分別為邊AB、AC上的點(diǎn)，連接DE，DF．

（1）當(dāng)DE⊥AB，DF⊥AC時(shí)，求證：DE＝DF.

圖2

（2）當(dāng)E、F分別為AB、AC的中點(diǎn)時(shí)，求證：DE＝DF.

（3）當(dāng)DE、DF分別為∠ADB、∠ADC的平分線時(shí)，它們還相等嗎？

（4）在線段AD上任取一點(diǎn)P，求證：點(diǎn)P到AB、AC的距離相等.

（5）在直線AD上任取一點(diǎn)Q，求證：點(diǎn)Q到B、C兩點(diǎn)的距離相等.

（6）解完上述練習(xí)后，你還可以得到等腰三角形中哪些線段相等呢？

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)系列變式，讓學(xué)生感受到等腰三角形作為一種軸稱(chēng)圖形，對(duì)應(yīng)線段都是相等的．并為下一道例題提供一種生長(zhǎng)的可能．

圖3

例3（1）如圖3，在△ABC中，點(diǎn)D在BC上，DB＝DC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足為E，F(xiàn)，且DE＝DF．求證：AB＝AC.

（2）如圖3，在△ABC中，點(diǎn)D不在BC上時(shí)，仍然有DB＝DC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足為E，F(xiàn)，且DE＝DF．請(qǐng)思考△ABC是否仍然為等腰三角形？如果是，說(shuō)明理由；如果不是，構(gòu)造反例解釋?zhuān)?/p>

設(shè)計(jì)意圖：第（1）問(wèn)是一個(gè)常規(guī)問(wèn)題，第（2）問(wèn)不一定成立，需要考慮反例圖形，如圖4，就是一種反例圖形．

3.變式練習(xí)

練習(xí)已知，如圖5，在△ABC中，D是BC邊上的中點(diǎn)，DE⊥BC交∠BAC的平分線于點(diǎn)E，EF⊥AB于點(diǎn)F，EG⊥AC于點(diǎn)G．

（1）求證：EF＝EG.

（2）求證：點(diǎn)E到線段BC兩端點(diǎn)距離相等.

（3）求證：BF＝CG.

（4）設(shè)BF＝1，AC＝4．

①求AB的長(zhǎng)；

圖4

圖5

②若直線DE交AB于點(diǎn)M，連接CM，求△ACM的周長(zhǎng)．

設(shè)計(jì)意圖：由例3的第（2）問(wèn)出發(fā)，設(shè)計(jì)一個(gè)鞏固練習(xí)，訓(xùn)練反例圖形的應(yīng)用．

4.課堂小結(jié)，布置作業(yè)

安排學(xué)生交流本課學(xué)習(xí)解題過(guò)程中對(duì)等腰三角形的性質(zhì)、判定有怎樣的新認(rèn)識(shí)；再布置本課外作業(yè).

圖6

作業(yè)1：如圖6，AC＝BC，AC⊥BC，AE⊥BE，D是BE與AC的交點(diǎn)．

（1）求證：∠DAE＝∠DBC.

（2）當(dāng)點(diǎn)D到AB的距離恰等于DC時(shí)，求證：∠DAE＝∠ABD.

（3）當(dāng)BD＝2AE時(shí)，求證：BE平分∠ABC.

（4）當(dāng)∠DAE＝∠ABD時(shí)，猜想BD與AE的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由．

圖7

作業(yè)2：如圖7，平面直角坐標(biāo)系xOy中，有點(diǎn)A（2，2），M（0，m），N（n，n），點(diǎn)A′與點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)．

（1）直接寫(xiě)出點(diǎn)A′的坐標(biāo).

（2）當(dāng)m＝2時(shí)，△AOM是等腰三角形嗎？如果是，畫(huà)出它的對(duì)稱(chēng)軸；如果不是，說(shuō)明理由.

（3）若△AOM是等腰三角形，解答下列各題：

①在圖中找出所有符合要求的點(diǎn)M的位置（保留作圖痕跡，標(biāo)出點(diǎn)M）；

②當(dāng)m取最小值時(shí)，在x軸上找一點(diǎn)P，使△A′PM的周長(zhǎng)最?。?/p>

③當(dāng)m取最大值，且△AMN恰為等腰三角形時(shí)，求n的值（或畫(huà)圖指出點(diǎn)N的位置）．

二、教學(xué)立意的整體解讀

1.精心預(yù)設(shè)，貼近習(xí)題課的訓(xùn)練重點(diǎn)構(gòu)思原創(chuàng)例習(xí)題

作為本節(jié)習(xí)課的一大亮點(diǎn)，本課所有入選的例習(xí)題均為筆者原創(chuàng)，沒(méi)有直接簡(jiǎn)單復(fù)制的“拿來(lái)主義”．特別是，所有入選的例習(xí)題都貼近了八年級(jí)等腰三角形新授課之后的學(xué)段特點(diǎn)，并沒(méi)有鏈接所謂的中考知識(shí)點(diǎn)，像開(kāi)課引例只是將側(cè)重點(diǎn)放在訓(xùn)練學(xué)生對(duì)“等邊對(duì)等角”、“三線合一”、“等角對(duì)等邊”，而且明確提出盡量不使用“全等證法”，“逼”學(xué)生使用新學(xué)知識(shí)來(lái)解題，而在例2、3中對(duì)等腰三角形展開(kāi)深入追問(wèn)，并且在逆向思考時(shí)，啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并構(gòu)造反例，追求對(duì)所學(xué)等腰三角形知識(shí)的深刻理解．

2.加強(qiáng)關(guān)聯(lián)，苦心經(jīng)營(yíng)教學(xué)環(huán)節(jié)之間的“轉(zhuǎn)場(chǎng)效果”

《中學(xué)數(shù)學(xué)》曾載文述及“經(jīng)營(yíng)轉(zhuǎn)場(chǎng)，讓教學(xué)環(huán)節(jié)過(guò)渡自然”（詳見(jiàn)文1），筆者十分欣賞經(jīng)營(yíng)教學(xué)環(huán)節(jié)之間的平滑過(guò)渡的轉(zhuǎn)場(chǎng)效果．反而很多數(shù)學(xué)課堂（包括筆者本人），不同教學(xué)環(huán)節(jié)之間的確存在“生拉硬拖”，強(qiáng)行過(guò)渡，比如“下面我們?cè)倏戳硪粋€(gè)問(wèn)題”、“接著來(lái)一組練習(xí)”，而這些環(huán)節(jié)之間并不存在較強(qiáng)的關(guān)聯(lián)，有些盡管形式相似，然而解題的思想方法上相去甚遠(yuǎn)，盡管仔細(xì)思考也不能發(fā)現(xiàn)它們之間的聯(lián)系．這也是我們?cè)谏厦嬲n例中設(shè)計(jì)例習(xí)題的一種重要取向，即加強(qiáng)關(guān)聯(lián)，追求一道例習(xí)題的可能設(shè)問(wèn)視角，并注意不同例習(xí)題之間在“深層結(jié)構(gòu)”上的類(lèi)同（如例3的第（2）問(wèn)與后續(xù)“變式練習(xí)”）．

三、寫(xiě)在最后

近幾年來(lái)，不少同行積極響應(yīng)張奠宙教授發(fā)出的倡議“如何研究復(fù)習(xí)課”的號(hào)召，在不少專(zhuān)業(yè)刊物上見(jiàn)到一些研究復(fù)習(xí)課的優(yōu)秀課例，然而更為普遍的習(xí)題課課例研究卻一直沒(méi)有成為關(guān)注的重點(diǎn)，不能不說(shuō)是一種遺憾．本文關(guān)注了一節(jié)隨堂的等腰三角形習(xí)題課，見(jiàn)解還很初步，敬請(qǐng)批評(píng)指正，期待更多的習(xí)題課的案例研究成果．

1.張誠(chéng)，張成品.經(jīng)營(yíng)“轉(zhuǎn)場(chǎng)”：讓教學(xué)環(huán)節(jié)過(guò)渡自然——《中學(xué)數(shù)學(xué)》（下）2015年1～3月讀刊隨筆［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2015（5）.

2.劉東升．關(guān)聯(lián)性：一個(gè)值得重視的研究領(lǐng)域［J］．中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2013（12）.

3.劉東升.辨別學(xué)段特征：初中幾何教學(xué)的用力點(diǎn)——以“圓（第1課時(shí)）”教學(xué)為例［J］．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中），2015（3）.

4.曹海燕．串珠成線選情境，漸次展開(kāi)求簡(jiǎn)約［M］．中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2015（3）．H