劉 政，張嘉藝，余昭福

(1. 江西理工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，贛州 341000；2. 江西理工大學(xué) 材料科學(xué)與工程學(xué)院，贛州 341000)

在合金的凝固過程中，熔體流動所起的作用已有不少研究[1-6]，凝固前沿的熔體流動通過影響固液界面處的熱質(zhì)分布和結(jié)晶動力學(xué)，從而對凝固組織的形態(tài)、成分和晶體缺陷產(chǎn)生影響。而且合金熔體的流動是凝固過程中一種不可避免的現(xiàn)象，也是影響其綜合性能的重要因素之一。為了利用熔體流動對凝固顯微組織進(jìn)行有效預(yù)測和調(diào)控，人們在合金凝固的研究和生產(chǎn)中使用了各種外場，其中電磁場技術(shù)是在合金凝固前或凝固過程中對合金熔體施加電磁場，利用合金和電磁場的相互作用，改善其凝固組織[7]。

電磁場作用下的金屬凝固是一個非平衡過程，傳統(tǒng)的金屬凝固理論可能不完全適應(yīng)，還須不斷探索新的理論及研究方法進(jìn)行完善。鋁合金中的添加元素或細(xì)化劑(如AlTiB、RE、Zr、Na)等是否能夠?qū)崿F(xiàn)強(qiáng)化、凈化、細(xì)化等功效，與它們在合金熔體中的分布不無關(guān)系。以往的研究表明[8-9]，在熔體中，特別是固液共存狀態(tài)下，溶質(zhì)元素的擴(kuò)散遷移將受到熔體流動特性的影響，繼而影響到合金的凝固組織[10]。因此，控制溶質(zhì)在熔體中的傳輸、擴(kuò)散與分布對合金制品的最終性能極為重要。

目前，由于凝固理論的不完善與研究手段的欠缺，人們對于合金處于固液共存、高黏性狀態(tài)下的流動規(guī)律及其溶質(zhì)傳輸?shù)恼J(rèn)識與控制，還受到一些限制。20世紀(jì)80年代初期，AREF[11]提出了混沌對流的概念，并用來強(qiáng)化粘稠流體中的混合、傳質(zhì)與傳熱。后來混沌對流的理論與技術(shù)在化學(xué)工程中率先獲得應(yīng)用[12-13]，有實(shí)驗(yàn)研究表明，混沌混合可以有效改變攪拌器內(nèi)流體混合效果[14-15]。因此，引入混沌理論探索合金熔體流場中溶質(zhì)擴(kuò)散、分布規(guī)律，達(dá)到控制合金凝固組織具有十分重要的意義。

在混沌理論中，表征系統(tǒng)動力學(xué)混沌特性的3個特征量：維數(shù)、Lyapunov指數(shù)、Kolmogorov熵。為今后進(jìn)一步探究鋁合金熔體在電磁場作用下流動的特性，更好地調(diào)控熔體流動對合金中溶質(zhì)傳輸、擴(kuò)散與分布的影響，繼而對合金凝固組織的影響，本文作者先用 CFD-Fluent流體力學(xué)軟件模擬電磁場中鋁熔液微粒運(yùn)動軌跡，再在Matlab平臺上分析計(jì)算運(yùn)動軌跡的Lyapunov指數(shù)以及Kolmogorov熵值，并對其變化規(guī)律進(jìn)行混沌判斷描述及分析，揭示半固態(tài)合金熔體在電磁場作用下流體的混沌特征，并對今后從非線性科學(xué)的角度表明合金熔體流動對凝固組織影響的演變打下基礎(chǔ)。

表1 A、B和C的起始坐標(biāo)Table 1 Starting coordinate positions of A, B and C

1 Fluent模擬

將盛鋁熔液的容器(坩堝)簡畫成圓柱體(半徑 3 cm，高12 cm)，所研究的電磁場內(nèi)的流體為A356鋁熔液，其液態(tài)密度為2630 kg/m3，動力黏度為1.2×10-5Pa·s，熱導(dǎo)系數(shù)為161 W/m，比熱為880 J/kg；而該合金的液相線溫度與固相線溫度分別為 615.6 ℃(888.6 K)和576.1 ℃(849.1 K)。電磁場為交變場，其電磁場頻率分別設(shè)置為5、15和30 Hz。攪拌時間均為5 s。熔體澆注初始溫度參數(shù)設(shè)置為923 K(即650 ℃)。選用標(biāo)準(zhǔn)k-ε湍流模型。磁場強(qiáng)度通過加載MHD磁場模塊導(dǎo)入，已知磁場強(qiáng)度公式為H=NL/Le，N為線圈匝數(shù)(實(shí)驗(yàn)所用為3個對極的電磁攪拌器，匝數(shù)為9)；L為電流強(qiáng)度；Le為樣品有效磁路長度(橫截面直徑為6 cm)，可知磁場頻率不同，勵磁電流也不同，在頻率為5 Hz時，電流強(qiáng)度L=0.425 A，磁場強(qiáng)度H=63.75 A/m；在頻率為15 Hz時，磁場強(qiáng)度H=191.25 A/m；頻率為30 Hz時，磁場強(qiáng)度H=382.8 A/m?？芍S著磁場頻率增加，磁場強(qiáng)度也隨著增加。眾所周知，金屬熔體在坩堝內(nèi)會產(chǎn)生很大的溫度梯度，甚至接近坩堝壁會形成樹枝晶，所產(chǎn)生的溫度場分布及不同頻率引起的溫度場變化是不同的，但不影響其合金熔體微粒的運(yùn)動且模擬攪拌時間僅為 5 s，合金熔體降溫較小，還可以保持液態(tài)而進(jìn)行充分的流動，并不會影響設(shè)置的邊界條件。所以壁面采用黏性流動壁面 Wall界面來模擬其滑移壁面，其動量方程、湍動能方程和湍動能耗散率均采用二階迎風(fēng)差分格式，采用SIMPLEC算法。實(shí)驗(yàn)采用3組對比模擬實(shí)驗(yàn)，以其不同的頻率作為比較對象，每組隨機(jī)模擬2個相近微粒坐標(biāo)的運(yùn)動軌跡，分別標(biāo)記為A(A1，A2)、B(B1，B2)、C(C1，C2)，如表1所列。

將其運(yùn)動軌跡導(dǎo)入 Matlab中更加直觀地顯示(如圖 1～3 所示)。

從圖1中可以明顯看出，在頻率為5 Hz時，熔體內(nèi)微粒A、B和C在凝固系統(tǒng)中受施加的電磁場均發(fā)生不規(guī)則三維流動。隨著頻率的增大其他條件不變的情況下，在頻率為15 Hz下，熔體內(nèi)微粒A、B和C做較圖1更復(fù)雜的湍流運(yùn)動，如圖2所示。隨著電磁頻率進(jìn)一步地增大，意味著電磁場對合金熔體的擾動加劇，熔體流速加快，湍動越明顯，其中的微粒運(yùn)動軌跡越復(fù)雜多變，如圖3中A、B和C微粒軌跡所示。

圖1 A、B和C在頻率為5 Hz時的運(yùn)動軌跡Fig. 1 Trajectories of A, B and C at frequency of 5 Hz: (a)A(A1, A2); (b) B(B1, B2); (c) C(C1, C2)

圖2 A、B和C在頻率為15 Hz時的運(yùn)動軌跡Fig. 2 Trajectories of A, B and C at frequency of 15 Hz: (a)A(A1, A2); (b) B(B1, B2); (c) C(C1, C2)

圖3 A、B和C在頻率為30 Hz時運(yùn)動軌跡Fig. 3 Trajectories of A, B and C at frequency of 30 Hz: (a)A(A1, A2); (b) B(B1, B2); (c) C(C1, C2)

2 Lyapunov指數(shù)及計(jì)算分析

2.1 Lyapunov指數(shù)

首先，Lyapunov指數(shù)是針對系統(tǒng)的軌道而言的。混沌運(yùn)動基本特點(diǎn)是運(yùn)動對初始條件極其敏感，兩個極為靠近的初始坐標(biāo)產(chǎn)生的運(yùn)動軌跡，隨著時間的演變而分離，Lyapunov就是表征這個現(xiàn)象的特征量。Lyapunov指數(shù)是檢驗(yàn)系統(tǒng)的有序或混沌狀態(tài)的重要依據(jù)，而正的 Lyapunov指數(shù)是刻畫混沌系統(tǒng)的主要特征。從最大Lyapunov指數(shù)[16-17]大于0可以判斷出：無論初始兩條軌跡線多接近，隨著時間的演變會成指數(shù)增長而無法預(yù)測，這就是混沌現(xiàn)象。在一個n維的動力系統(tǒng)中，以x0為中心的一個很小n維球體，隨著時間演變，球體將變?yōu)橐粋€近似橢圓球體，該球面成為n維橢球面。在球的直徑x0趨向于0的情況，映像與橢球相同的時間趨于無窮大。在迭代橢球的軸長增加倍數(shù)的長期平均值，其對數(shù)成為 Lyapunov指數(shù)。那么相對應(yīng)Lyapunov指數(shù)λ0一般按Lyapunov指數(shù)大小排列，即λ1≥λ2≥…≥λn。一般對單變量的時間序列進(jìn)行空間重構(gòu)，然后用分析法和軌道跟蹤法來提取系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)。

Lyapunov指數(shù)對混沌初始條件敏感，其吸引子的特征有：1) 任何吸引子，都至少有一個負(fù)的Lyapunov指數(shù)；2) 穩(wěn)態(tài)運(yùn)動或者周期運(yùn)動都不可能有正的Lyapunov指數(shù)；3) 對于任何混沌運(yùn)動系統(tǒng)，都至少有一個正的Lyapunov指數(shù)。

WOLF等[18]提出基于相平面和相體積演化來計(jì)算Lyapunov指數(shù)，此方法成為Wolf法，此法計(jì)算結(jié)果不易受拓?fù)鋸?fù)雜性(如 Lorenz吸引子)影響，所以Wolf法在計(jì)算最大Lyapunov指數(shù)來判斷分析混沌特性運(yùn)用廣泛。

設(shè)混沌時間序列{x1，x2，x3，…，xn}，嵌入維數(shù)m，時間τ，重構(gòu)相空間為

式中：ti為發(fā)生混沌時間；n為自然數(shù)。當(dāng)重構(gòu)相空間后，根據(jù)混沌吸引子分離特性，即用Wolf法計(jì)算最大Lyapunov指數(shù)。

取相空間初始點(diǎn)Y(t0)，設(shè)初始點(diǎn)近鄰點(diǎn)Y0(t0)，它們之間間距為L(t0)，從初始時刻追蹤兩點(diǎn)的時間演化，直至t1點(diǎn)時兩點(diǎn)距離超過規(guī)定值ε，有

式中：L′(t1)為 Y(t1)和 Y0(t1)之間的間距；Y(t1)為 t1時的相空間點(diǎn)，Y0(t1)為Y(t1)的近鄰點(diǎn)。再在Y(t1)臨近處找隨意點(diǎn)Y1(t1)，保證Y(t1)和Y1(t1)兩點(diǎn)間距小于規(guī)定值ε，有

為了使L′(t1)與L(t1)夾角θ盡量小，反復(fù)重復(fù)式(2)和(3)過程，直到Y(jié)(t)到達(dá)時間序列終點(diǎn)；W為總迭代次數(shù)；t0為初始迭代所用時間；tW為迭代次數(shù)W所用時間，所以最大Lyapunov指數(shù)λmax為

2.2 最大Lyapunov指數(shù)計(jì)算與分析

對測單變量的時間序列計(jì)算系統(tǒng)的 Lyapunov指數(shù)，有Wolf算法和Jacobian算法。Wolf算法對計(jì)算最大Lyapunov指數(shù)簡單。利用所編程的Wolf算法對其最大Lyapunov指數(shù)進(jìn)行計(jì)算，結(jié)果如圖4所示。對于 A、B和 C坐標(biāo)微粒軌跡不同頻率下的最大Lyapunov指數(shù)，如表2所列。

從表2可以看出：在相同運(yùn)動時間下，A，B和C在不同頻率下得到的最大 Lyapunov指數(shù)不同，并有一個共同特點(diǎn)都大于0，且最大指數(shù)值均在2～3之間。從Wolf算法中最大Lyapunov指數(shù)判斷，得知在頻率5、15和30 Hz下，每組對應(yīng)的系統(tǒng)軌跡都有混沌解，即每組微粒在運(yùn)動中發(fā)生了混沌流動，有混沌特性。從圖 4可以看出，A、B和 C在不同頻率下，最大Lyapunov指數(shù)的變化趨勢。所選B組，不同頻率對應(yīng)的最大Lyapunov指數(shù)都較其他兩組大；C組在不同頻率下對應(yīng)的最大Lyapunov指數(shù)也比A組值大。無論在所選的頻率范圍內(nèi)，最大 Lyapunov指數(shù)分布由大到小依次為：B、C、A。但從目前研究情況來看，僅能從最大 Lyapunov指數(shù)判斷其是否有混沌特性，并不能單從最大 Lyapunov指數(shù)的大小來判斷混沌程度大小，可從K熵來判斷。

表2 A、B和C微粒軌跡在不同頻率、相同運(yùn)動時間的最大Lyapunov指數(shù)Table 2 The max Lyapunov exponents of A,B and C particle trajectories at the same time but different frequencies

圖4 A，B和C在不同頻率、相同運(yùn)動時間下對應(yīng)的最大Lyapunov指數(shù)變化趨勢圖Fig. 4 Maximum Lyapunov exponents trend chart of A, B and C particle trajectories at the same time but different frequencies

3 Kolmogorov熵及計(jì)算分析

3.1 Kolmogorov熵

熵是物質(zhì)系統(tǒng)的狀態(tài)的豐富程度，或稱為復(fù)雜程度。熱力學(xué)定義的熵是在能量空間分布均勻性的特征量，分布越均勻，無序度越大，熵值越大；相反地，分布越不均勻，有序度越高，熵值越小。所以一般認(rèn)為熵是狀態(tài)的度量標(biāo)尺。每一個正 Lyapunov指數(shù)就代表該方向信息的損失，那么有多個正 Lyapunov指數(shù)時，涉及了另外一個 Lyapunov指數(shù)相關(guān)的量，即Kolmogorov熵(K熵)[19-21]，它是刻畫混沌的另一個重要的特征，它可以用來區(qū)分規(guī)則運(yùn)動、混沌運(yùn)動和隨機(jī)運(yùn)動。在不同的運(yùn)動系統(tǒng)中，K熵?cái)?shù)值是不同的。在規(guī)則周期運(yùn)動中，K熵為 0；在混沌運(yùn)動中，K熵大于0，且K熵越大，系統(tǒng)混沌程度越大，信息損失量越大；在隨機(jī)運(yùn)動中，K熵趨于無窮。在混沌運(yùn)動中：K熵大于0，K熵越大意味著信息量的損失越大；對于規(guī)則運(yùn)動：K熵等于 0；在隨機(jī)運(yùn)動中：系統(tǒng)不可預(yù)測，故 K→∞，K熵實(shí)際上代表總的信息流率。GAO等[22]采用CFD模擬計(jì)算了偏心攪拌的流場行為變化，發(fā)現(xiàn)偏心結(jié)構(gòu)的攪拌槽能夠破壞系統(tǒng)的周期性和對稱性，從而誘發(fā)混沌；BRIONGOS等[23]通過分析三維流化床的表面自由波動維數(shù)和K熵，并通過計(jì)算分析K熵對流化床流型的敏感性。楊世錫等[24]將K熵引入故障診斷中來辨別故障類別及嚴(yán)重程度。楊春振等[25]在運(yùn)用K熵研究雙支腿流化床顆粒交換時，得到顆粒團(tuán)簇交換方式促使系統(tǒng)更加混沌。盡管K熵研究比較廣泛，但在電磁攪拌器內(nèi)研究熔體混沌流動應(yīng)用還是比較少。

考慮一個n維動態(tài)系統(tǒng)，假設(shè)狀態(tài)空間分為一個個邊長為l的n維正方體盒子，對空間一個吸引子和一條落在吸引域中的軌道x(t)，若D(i1，i2，i3，…，im)是 x(τ)落在盒 i1中，x(2π)落在盒 i2中，…，x(mτ)落在盒imτ中的聯(lián)合概率，即Kolmogorov熵定義為

從時間序列來計(jì)算K熵一般有兩種方法：最大似然算法[26]和關(guān)聯(lián)積分算法。其中最大似然算法相對簡單，計(jì)算結(jié)果沒有二義性。已知對數(shù)似然函數(shù)L(k)為

式中：(b1，b2，…，bm)為樣本；M是抽取樣本獨(dú)立的點(diǎn)。求解其最大值就是有要得到樣本概率最大k值。得到L(k)值，必須使

從式(7)可得到K熵的最大似然值

3.2 K熵計(jì)算與分析

運(yùn)用最大似然算法進(jìn)行Matlab編程，求其A，B和C的K熵值，如表3所列。為了方便直觀研究其規(guī)律，作出K熵趨勢圖，如圖5所示。

表3 A、B和C微粒軌跡在不同頻率、相同運(yùn)動時間下的K熵值Table 3 Kolmogorov entropies of A, B and C particle trajectories at same time but different frequencies

圖5 A、B和C微粒軌跡在不同頻率、相同運(yùn)動時間下的K熵值變化趨勢圖Fig. 5 Kolmogorov entropy trend chart of A, B and C particle trajectories at same time but different frequencies

從表3可以看出，無論在5、15還是30 Hz下的軌跡K熵都遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于0，可見在運(yùn)動系統(tǒng)中發(fā)生了混沌現(xiàn)象且混沌程度較大。從圖5可看出，3條曲線隨著頻率的變大，K熵迅速增。加在5 Hz時，3條軌跡對應(yīng)的K熵都大于500小于1000，由大到小的順序?yàn)椋篊的K熵、B的K熵、A的K熵，由此可見在此頻率下，C的微粒軌跡K熵最大，混沌程度更大。在15 Hz時，3組微粒軌跡K熵比在5 Hz的時，大了一個數(shù)量級。在30 Hz時，K熵比在15 Hz時大了幾個倍數(shù)，可見頻率增大，直接影響運(yùn)動系統(tǒng)的混沌程度。在電磁場旋轉(zhuǎn)時，熔體每一處產(chǎn)生感應(yīng)電動勢，感應(yīng)電動勢使熔體產(chǎn)生電流，感應(yīng)電流和和旋轉(zhuǎn)電磁場相互作用使熔體受到Lorenz力，所以使熔體內(nèi)每個微粒產(chǎn)生復(fù)雜的三維混沌流動。在低頻率情況下，電磁攪拌功率小，且攪拌速度也低，故使凝固系統(tǒng)中混沌程度不高，隨著頻率的增加，攪拌速度和功率也增大，使得熔體微粒流動加快，使系統(tǒng)混沌特性更加明顯。K熵也是關(guān)聯(lián)Lyapunov指數(shù)的一個量，為正Lyapunov指數(shù)之和[27]。Lyapunov指數(shù)正比于信息量的損失，而每一個正 Lyapunov指數(shù)意味著該方向的信息損失。所以可以看出，K熵越大，說明信息損失越大，系統(tǒng)更加混沌。從表3及圖5可以明顯看出，K熵最大的對應(yīng)的是30 Hz時的B微粒軌跡，而K熵最小的是5 Hz時的A微粒軌跡，由于每個熔體內(nèi)微粒的位置不同，合金凝固時所受Lorenz力的徑向與切向力也不同，故使熔體內(nèi)微粒運(yùn)動軌跡不同，對應(yīng)的K熵也不同?？梢娀煦绮粌H受單一變量的影響，且對初始條件位置也敏感。

綜上所述，在本實(shí)驗(yàn)范圍內(nèi)，不僅從 Lyapunov指數(shù)還是 Kolmogorov熵的計(jì)算中都可以得知在施加電磁攪拌下的鋁熔液內(nèi)部存在混沌對流，而且直接體現(xiàn)混沌對流所產(chǎn)生的影響還需從合金凝固組織的觀察分析中獲?。菏欠窕煦绯潭葹橐欢ㄖ禃r，其凝固組織形貌達(dá)到最佳，其晶粒越細(xì)小圓整；或是否混沌程度越大，其凝固組織形貌而越優(yōu)；或是相反，這都直接影響混沌特征量和凝固形貌之間的關(guān)聯(lián)。受電磁攪拌的合金熔體中的微粒運(yùn)動看似無規(guī)則，實(shí)則其混沌特征量的值暗含著其內(nèi)部的規(guī)律性。然而用CFD-Fluent流體力學(xué)軟件及混沌特征量來研究電磁場作用下的合金凝固組織形貌在國內(nèi)外來說是極少的，所以今后還需大量開展實(shí)驗(yàn)工作來分析和驗(yàn)證此研究。

4 結(jié)論

1) 在相同時間不同頻率下，A、B和C 3組運(yùn)動軌跡的最大Lyapunov指數(shù)都大于0，值均分布在2～3之間，證明有混沌解，發(fā)生混沌運(yùn)動。B組軌跡在不同頻率對應(yīng)的最大Lyapunov指數(shù)都較其他兩組的大，在3個不同頻率下，最大Lyapunov指數(shù)由大到小依次為B、C、A。

2) 在頻率5、15和30 Hz下，其運(yùn)動軌跡的K熵都遠(yuǎn)大于0。且隨著頻率增大，K熵迅速倍增。在5 Hz時，A組微粒軌跡K熵最??；在30 Hz時，C組微粒軌跡K熵達(dá)到最大，說明其混沌程度最大，混沌不僅受頻率影響，而且對初始條件坐標(biāo)也敏感。

3) 本研究表明，在一定頻率電磁場的擾動下，鋁合金熔體中可以產(chǎn)生混沌流動。K熵可用于表征電磁攪拌內(nèi)熔體混沌流動的特征，可為混沌理論調(diào)控流場結(jié)構(gòu)提供新的方法。

[1] 陳興潤, 張志峰, 徐 駿, 石力開. 電磁攪拌法制備半固態(tài)漿料過程電磁場、流場和溫度場的數(shù)值模擬[J]. 中國有色金學(xué)報(bào), 2010, 20(5): 937-945.CHEN Xin-run, ZHANG Zhi-feng, XU Jun, SHI Li-kai.Numerical simulation of electromagnetic field, flow field and temperature field in semi-solid slurry preparation by electromagnetic stirring[J]. The Chinese Journal of Nonferrous Metals, 2010, 20(5): 937-945.

[2] 朱鳴芳, 戴 挺, 李成允, 洪俊杓. 對流作用下枝晶生長行為的數(shù)值模擬[J]. 中國科學(xué) E輯(工程科學(xué)材料科學(xué)), 2005,35(7): 673-688.ZHU Ming-fang, DAI Ting, LI Cheng-yun, HONG Jun-shao.Convection under the action of the numerical simulation of dendritic growth behavior[J]. Science in China Series E(Engineering & Materials Science), 2005, 35(7): 673-688.

[3] LYUBIMOVA T P, SKURIDIN R V, FAIZRAKHMANOVA I S. Thermo- and soluto-capillary convection in the floating zone process in zero gravity conditions[J]. Journal of Crystal Growth,2007, 303(1): 274-278.

[4] LIN X, TONG L, ZHAO L N, WANG L N, WANG M,HUANG W D. Morphological evolution of non-dendritic microstructure during solidification under stirring[J].Transactions of Nonferrous Metals Society of China, 2010,20(S3): s826-s831.

[5] 袁訊鋒, 丁雨田, 郭廷彪, 胡 勇, 唐向前. 對流作用下枝晶生長行為的相場法[J]. 中國有色金屬學(xué)報(bào), 2010, 20(4):681-687.YUAN Xun-feng, DING Yu-tian, GUO Tin-biao, HU Yong,TANG Xiang-qian. Phase-field method of dendritic growth under convection[J]. The Chinese Journal of Nonferrous Metals,2010, 20(4): 681-687.

[6] 趙力寧, 林 鑫, 黃衛(wèi)東. 較低剪切速率下過冷熔體非枝晶組織的形成與演化[J]. 金屬學(xué)報(bào), 2011, 47(4): 403-407.ZHAO Li-ning, LIN Xin, HUANG Wei-dong. Formation and evolution of the non-dendritic morphology in undercooling melt with lower shearing rate[J]. Acta Metallurgica Sinica, 2011,47(4): 403-407.

[7] 白云峰, 周月明, 嚴(yán) 彪, 張永杰, 徐達(dá)鳴, 郭景杰, 傅恒志.電磁場在材料凝固加工領(lǐng)域的應(yīng)用[J]. 鑄造, 2008, 57(2):105-109.BAI Yun-feng, ZHOU Yue-ming, YAN Biao, ZHANG Yong-jie,XU Da-ming, GUO Jing-jie, FU Heng-zhi. Application of electromagnetic field in materials solidification[J]. Foundry,2008, 57(2): 105-109.

[8] TIMMEL K, ECKERT S, GERBETH G. Experimental investigation of the flow in a continuous-casting mold under the influence of a transverse, direct current magnetic field[J]. Metall Mater Trans, 2011, 42B: 68-80.

[9] HAGHAYEGHI R, EZZATNESHAN E, BAHAI H, NASTAC L. Numerical and experimental investigation of the grain refinement of liquid metals through cavitation processing[J]. Met Mater Int, 2013, 19(5): 959-967.

[10] 楊滿紅, 郭志鵬, 熊守美. 對流作用下鎂合金凝固組織演變的數(shù)值模擬[J]. 中國有色金屬學(xué)報(bào), 2015, 25(4): 835-843.YANG Man-hong, GUO Zhi-peng, XIONG Shou-mei.Numerical simulation of dendritic growth of magnesium alloy with convection[J]. The Chinese Journal of Nonferrous Metals,2015, 25(4): 835-843.

[11] AREF H. Stirring by chaotic advection[J]. Journal of Fluid Mechanics, 1984, 143: 1-21.

[12] TEKIN H C, SIVAGNANAM V, CIFTLIK A T. Chaotic mixing using source-sink microfluidic flows in a PDMS chip[J].Microfluidics and Nanofluidics, 2011, 10(4): 749-759.

[13] PAUL E L, ATIEMOOBENG V A, KRESTE S M. Handbook of industrial mixing: Science and practice[M]. Hoboken: John Wiley & Sons Inc, 2004: 89-143.

[14] ARRATIC P E, MUZZIO F J. Planar laser-induced fluorescence method for analysis of mixing in laminar flows[J]. Ind End Chem Res, 2004, 43(20): 6557-6568.

[15] BRESLER L, SHINBROT T, METCALFE G. Isolated mixing regions: Origin, robustness and control[J]. Chem Eng Sci, 1997,52(10): 1623-1636.

[16] 羅利軍, 李銀山, 李 彤, 董青田. 李雅普諾夫指數(shù)譜的研究與仿真[J]. 計(jì)算機(jī)仿真, 2005, 22(12): 285-288.LUO Li-jun, LI Yin-shan, LI Tong, DONG Qing-tian. Research and simulation of Lyapunov’s exponents[J]. Computer Simulation, 2005, 22(12): 285-288.

[17] 劉海峰, 趙艷艷, 代正華, 龔 欣, 于遵守. 利用小波分析計(jì)算離散動力系統(tǒng)的最大 Lyapunov指數(shù)[J]. 物理學(xué)報(bào), 2001,50(12): 2311-2317.LIU Hai-feng, ZHAO Yan-yan, DAI Zheng-hua, GONG Xin,YU Zun-shou. Calculation of the largest Lyapunov exponent in the discrete dynamical system with wavelet analysis[J]. Acta Physica Sinca, 2001, 50(12): 2311-2317.

[18] WOLF A, SWIFT J B, SWINNEY H L. Determining Lyapunov exponents from a time series[J]. Physica D, 1985, 16: 285-317.

[19] 張連毅, 鄭崇勛, 李小平. EEG柯爾莫格洛夫熵測度用于精神疲勞狀態(tài)的研究[J]. 中國生物醫(yī)學(xué)工程學(xué)報(bào), 2007, 26(2):170-176.ZHANG Lian-yi, ZHENG Chong-xun, LI Xiao-ping. Measuring Kolmogorov entropy of EEG for studying the state of mental fatigue[J]. Chinese Journal of Biomedical Engineering, 2007,26(2): 170-176.

[20] 黃明英, 王德明, 朱志宇. Kolmogorov熵在船舶電力系統(tǒng)可靠性研究中的應(yīng)用[J]. 船舶科學(xué)技術(shù), 2009, 31(3): 60-63.HUANG Ming-ying, WANG De-ming, ZHU Zhi-yu.Application of Kolmogorov entropy in reliability research of ship power system[J]. Ship Science and Technology, 2009, 31(3):60-63.

[21] 王平立, 宋 斌, 王 玲. 混沌時間序列的 Kolmogorov熵的應(yīng)用研究[J]. 計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用, 2006, 21(15): 162-164.WANG Ping-li, SONG Bin, WANG Ling. Study on Kolmogrov entropy based on chaotic time series[J]. Computer Engineering and Applications, 2006, 21(15): 162-164.

[22] GAO D R, GUO M J, LI Y. PIV experimental investigation of chaotic mixing using non-constant speed stirring[J]. Chinese Journal of Mechanical Engineering, 2006, 42(8): 445-448.

[23] BRIONGOS J V, SOLER J G. Using free bed surface fluctuations in a 3-D fluidized bed for dynamic characterization[J]. Aiche Journal, 2004, 50(12): 3061-3067.

[24] 楊世錫, 汪慰軍. 柯爾莫格洛夫熵及其在故障診斷中的應(yīng)用[J]. 機(jī)械科學(xué)與技術(shù), 2000, 19(1): 6-8.YANG Shi-xi, WANG Wei-jun. Kolmogorov entropy and its application to the diagnosis of mechanical faults[J]. Mechanical Science and Technology, 2000, 19(1): 6-8.

[25] 楊春振, 段玉峰, 胡海韜. 基于關(guān)聯(lián)維數(shù)和柯爾莫格洛夫熵的雙支腿流化床顆粒交換特性[J]. 中國電機(jī)工程學(xué)報(bào), 2012,32(11): 54-59.YANG Chun-zhen, DUAN Yu-feng, HU Hai-tao. Analysis of solids exchange in a double-leg fluidized bed based on correlation dimension and Kolmogorov entropy[J]. Proceedings of the CSEE, 2012, 32(11): 54-59.

[26] SCHOUTEN J C. Maximum-likelihood estimation of the entropy of an attractor[J]. Phys Rev E, 1994, 49(1): 126-129.

[27] 劉 飛. 基于關(guān)聯(lián)維數(shù)和Kolomogrov熵的轉(zhuǎn)子振動故障模式辨別[D]. 沈陽: 沈陽航空工業(yè)學(xué)院, 2009.LIU Fei. Vibration fault mode determination for rotor based on correlation dimension and Kolmogorov entropy[D]. Shenyang:Shenyang Institute of Aeronautical Engineering, 2009.