朱桂靜， 吳 康

(華南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，廣東 廣州 510632)

楊輝三角形模5的絕對(duì)最小余數(shù)分布的分形結(jié)構(gòu)特征

朱桂靜， 吳 康

(華南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，廣東 廣州 510632)

定義楊輝三角形中一些特殊的三角形：n度基三角、n度零三角、n度倍三角、n度反三角、n度叁倍三角、n度三角，并在此基礎(chǔ)上猜想和證明了楊輝三角形中n+1度基三角可由n度三角通過(guò)某種特定的排列得到，從而論證了楊輝三角形中組合數(shù)模5的絕對(duì)最小余數(shù)分布具有自相似結(jié)構(gòu)特征.

楊輝三角形；自相似結(jié)構(gòu)；模5

0 引言

目前對(duì)于楊輝三角形中組合數(shù)整除性的研究十分豐富,如楊輝三角形被素?cái)?shù)整除的組合數(shù)及個(gè)數(shù)等.然而針對(duì)楊輝三角形模5分布的結(jié)構(gòu)特征的研究較少,而在將楊輝三角形中的每個(gè)組合數(shù)換做模5的絕對(duì)最小余數(shù)后，其分布圖似乎與謝爾賓斯基三角具有某種相似性[1].是否楊輝三角形模5的分布結(jié)構(gòu)具有某種特殊結(jié)構(gòu)呢？

1 引理[2]

引理1設(shè)p是質(zhì)數(shù)，m為正整數(shù)，n為非負(fù)整數(shù).m,n的p進(jìn)制表示為

m=(asas-1…a1a0)p，n=(bsbs-1…b1b0)p，

2 楊輝三角形中的相關(guān)新定義

圖1 2度基三角Fig.1Two dimension based triangles

圖2 2度零三角Fig.2 Tow dimension zero triangle

定義6n度三角:將所有的n度基三角、n度零三角、n度反三角、n度倍三角、n度叁三角統(tǒng)稱為n度三角.

3 楊輝三角形模5分布的分形結(jié)構(gòu)猜想

由定義可知，n+1度基三角有5n行，即有5個(gè)5n-1行.不妨將n+1度基三角平分為5層，稱其第i·5n-1行到第(i+1)·5n-1-1行為n+1度基三角的第i層，其中0≤i≤4.如i=1時(shí)，第5n-1行到第2·5n-1-1行為n+1度基三角的第1層.

下面猜想，n+1度基三角可由n度三角通過(guò)以下方式組合得到：

1)n+1度基三角第0層是一個(gè)n度基三角；

2)n+1度基三角第1層是n度基三角+n度零三角+n度基三角頂行對(duì)齊的排列.

3)n+1度基三角第2層是n度基三角+n度零三角+n度倍三角+n度零三角+n度基三角頂行對(duì)齊的排列；

4)n+1度基三角第3層是n度基三角+n度零三角+n度叁三角+n度零三角+n度叁三角+n度零三角+n度基三角頂行對(duì)齊的排列；

5)n+1度基三角第4層是n度基三角+n度零三角+n度反三角+n度零三角+n度基三角+n度零三角+n度反三角+n度零三角+n度基三角頂行對(duì)齊的排列.

例如當(dāng)n=1時(shí)，3度基三角第0層和第1層如圖3所示.若用一個(gè)△或▽表示一個(gè)n度三角,則n+1度基三角可表示成圖4所示的形式. 由此猜想：楊輝三角形模5分布具有自相似結(jié)構(gòu)(分形中的一種常見(jiàn)結(jié)構(gòu)).

圖3 3度基三角(部分)Fig.3 Three dimension based triangles(part)

圖4 由n度三角構(gòu)成的n+1度基三角Fig.4 The triangle formed by 3 dimension based triangles

4 楊輝三角形模5分布的自相似結(jié)構(gòu)證明

定理1在n+1度基三角中，第i層第j行第k+1項(xiàng)恒有

(1)

故命題得證[3-5].

推論1在n+1度基三角中，第i層第j行第j+i·5n-1-k+1項(xiàng)恒有

定理2在n+1度基三角中，第4層第j行第k+2·5n-1+1項(xiàng)恒有

由引理1可得

所以命題得證.

定理3在n+1度基三角中，第i層第j行第k+1項(xiàng)恒有

由引理1可得

所以命題得證.

推論2在n+1度基三角中，第i層第j行第j+i·5n-1-k+1項(xiàng)恒有

同理可得

定理4在n+1度基三角中，第i層第j行第k+1項(xiàng)恒有

定理5在n+1度基三角中，第2層第j行第k+5n-1+1項(xiàng)恒有

定理6在n+1度基三角中，第4層第j行第k+5n-1+1項(xiàng)恒有

推論3在n+1度基三角中，第4層第j行第j+3·5n-1-k+1項(xiàng)恒有

定理7在n+1度基三角中，第3層第j行第k+5n-1+1項(xiàng)恒有

5 結(jié)束語(yǔ)

從分形數(shù)學(xué)的角度研究楊輝三角形中模5分布的結(jié)構(gòu)特征，從看似雜亂無(wú)章的分布中揭示出其隱藏的規(guī)律性、層次性，可以通過(guò)楊輝三角形模5分布的局部認(rèn)識(shí)整體.再者，楊輝三角形模5的自相似結(jié)構(gòu)，可以類比推廣到楊輝三角形模p的余數(shù)分布結(jié)構(gòu)中，其中p為任意素?cái)?shù).

[1] 陳颙，陳凌．分形幾何學(xué)[M]．北京：地震出版社，2005:163-180．

[3] 胡圣團(tuán).關(guān)于組合數(shù)的幾個(gè)整除問(wèn)題[J].中等數(shù)學(xué),2010(5):7-10.

[4] 胡恩良,朱維宗.楊輝三角形中的幾條組合性質(zhì)[J].云南民族學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2002,11(3):132-135.

[5] 曹汝成.組合數(shù)學(xué)[M].廣州：華南理工大學(xué)出版社,2001.

The Self-similar Structure of the Distribution of Absolute Minimum Remainder of Combinatorial Number Mod Five of Pascal Triangle

ZHU Gui-jing, WU Kang

(SchoolofMathematicsSciences,SouthChinaNormalUniversity,Guangzhou510632,China)

Some specific triangles in Pascal Triangles are defined, namelyndimension based triangle,ndimension zero triangle,ndimension double triangle,ndimension contrary triangle,ndimension contrary-double triangle andndimension triangle. Based on these definitions, a hypothesis is put forward. It proves thatn+1 dimension based triangle in Pascal Triangle can be achieved through some particular arrangement ofndimension triangle. Thus, the distribution of absolute minimum remainder of combinatorial number mod five shows a self-similar structure.

Pascal Triangle; self-similar structure; mod five

2014-11-04

朱桂靜(1990—)，女，廣東梅州人，華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院在讀碩士研究生.

10.3969/j.issn.1007-0834.2015.01.007

O1

1007-0834(2015)01-0021-04