楊輝三角
- 楊輝三角的“前世今生”
南市教研室)楊輝三角是我國數(shù)學(xué)史上一顆璀璨的明珠,是我國為數(shù)不多的居于世界前列的數(shù)學(xué)成就,它的發(fā)現(xiàn)比歐洲的帕斯卡三角形早了近600年,是非常值得中華民族自豪的.而今天的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者中大多數(shù)人已經(jīng)不知道楊輝三角的發(fā)現(xiàn)者是誰,對楊輝三角的知識背景知之甚少.人教A版教材選擇性必修三第39頁有個(gè)專題是《楊輝三角的性質(zhì)及應(yīng)用》,但由于教師和學(xué)生的不重視,忽視對中國傳統(tǒng)文化的繼承和發(fā)揚(yáng),導(dǎo)致最近的一次數(shù)學(xué)測試中,命題者問楊輝三角是誰發(fā)現(xiàn)的,92.8%的人憑慣性思維選擇是
教學(xué)考試(高考數(shù)學(xué)) 2023年6期2024-01-22
- 核心素養(yǎng)背景下的高中數(shù)學(xué)課堂評價(jià)
究性學(xué)習(xí)——楊輝三角的教學(xué)為例。明確教學(xué)目標(biāo)：（1）從不同角度探究楊輝三角中的數(shù)字規(guī)律，從中體會(huì)研究一般數(shù)陣的方法；（2）在“觀察實(shí)驗(yàn)—?dú)w納猜想—推理證明”的探究過程中體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，培養(yǎng)創(chuàng)新精神和數(shù)學(xué)應(yīng)用意識；（3）通過對楊輝三角的探究，感悟數(shù)學(xué)之美，體會(huì)數(shù)學(xué)價(jià)值，提升邏輯推理素養(yǎng)。課堂教學(xué)實(shí)施如下。1.初探楊輝三角——提供探究范本問題1：首先請大家觀察楊輝三角中的數(shù)字（只給前5行）（見圖2），能否繼續(xù)往下再寫出兩行呢？圖2問題2：你能用一個(gè)數(shù)
新課程教學(xué)(電子版) 2023年15期2024-01-05
- 核心素養(yǎng)背景下的高中數(shù)學(xué)課堂評價(jià)
究性學(xué)習(xí)——楊輝三角的教學(xué)為例。明確教學(xué)目標(biāo)：（1）從不同角度探究楊輝三角中的數(shù)字規(guī)律，從中體會(huì)研究一般數(shù)陣的方法；（2）在“觀察實(shí)驗(yàn)—?dú)w納猜想—推理證明”的探究過程中體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，培養(yǎng)創(chuàng)新精神和數(shù)學(xué)應(yīng)用意識；（3）通過對楊輝三角的探究，感悟數(shù)學(xué)之美，體會(huì)數(shù)學(xué)價(jià)值，提升邏輯推理素養(yǎng)。課堂教學(xué)實(shí)施如下。1．初探楊輝三角——提供探究范本問題1：首先請大家觀察楊輝三角中的數(shù)字（只給前5行）（見圖2），能否繼續(xù)往下再寫出兩行呢？圖2 問題2：你能用一個(gè)
新課程教學(xué)(電子版) 2023年13期2023-12-04
- 問題導(dǎo)學(xué)式數(shù)學(xué)課堂的實(shí)施*
——以“二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)”為例
問題. 以“楊輝三角與二項(xiàng)式性質(zhì)”為例,談?wù)剢栴}導(dǎo)學(xué)下的情境式數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計(jì).“楊輝三角”是我國古代數(shù)學(xué)重要的研究成果之一,它與二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)緊密結(jié)合,研究楊輝三角,可以進(jìn)一步加深學(xué)生對二項(xiàng)式系數(shù)的認(rèn)識,在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中,“楊輝三角”很好地提供了創(chuàng)造情境的題材.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017 年版2020 年修訂版)》提出,情境創(chuàng)設(shè)和問題設(shè)計(jì)要有利于發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)基于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的教學(xué)活動(dòng)應(yīng)該把握數(shù)學(xué)的本質(zhì),創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境、提出合適的數(shù)學(xué)
中學(xué)數(shù)學(xué)研究(廣東) 2023年16期2023-09-16
- HPM 視角下解密楊輝三角與二項(xiàng)式系數(shù)的關(guān)系
并不多見. 楊輝三角是我國數(shù)學(xué)家的杰出成果之一,也是流傳較廣的數(shù)學(xué)史料,其教育價(jià)值不可忽視. 通過解密楊輝三角與二項(xiàng)式系數(shù)的關(guān)系,能揭示二項(xiàng)式系數(shù)的變化規(guī)律與眾多性質(zhì). 因此,楊輝三角是不可多得的集文化魅力、數(shù)學(xué)趣味、德育功效于一體的理想教學(xué)材料.該內(nèi)容是在選修2-3“二項(xiàng)式定理”一節(jié)的基礎(chǔ)上,參考教科書中“探究與發(fā)現(xiàn)”環(huán)節(jié)關(guān)于楊輝三角的一些“秘密”而設(shè)計(jì)的一個(gè)研究性課題, 旨在探討和研究楊輝三角的性質(zhì),展現(xiàn)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì). 通過觀察、分析、猜想、證明從
中學(xué)數(shù)學(xué)研究(廣東) 2023年12期2023-08-07
- 數(shù)學(xué)之美：楊輝三角的奇特性質(zhì)
萬廣磊 摘編楊輝三角，是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，在我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261 年所著的《詳解九章算法》一書中出現(xiàn)。在歐洲，帕斯卡在1654年發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律，所以這個(gè)排列又叫作帕斯卡三角形。就是這個(gè)看上去平平無奇的數(shù)字三角形，卻有一些非常奇妙甚至是神秘的特性，本文將一一為同學(xué)們揭曉。最外層的數(shù)字始終是1第二層是自然數(shù)列第三層是三角數(shù)列什么是三角數(shù)列？看此圖，這個(gè)數(shù)列中的數(shù)字始終可以組成一個(gè)完美的等邊三角形。比如：3=1+2，此等邊三角形可以分為2行
初中生世界 2023年11期2023-04-12
- 2022年新高考I卷第17題的探究與教學(xué)啟示
和Sn隱含著楊輝三角的一個(gè)美妙且重要的性質(zhì):在楊輝三角中(如圖),從第二行起,每個(gè)數(shù)字等于上一行的左右兩個(gè)數(shù)字之和,也就是第n+1 行的第i個(gè)數(shù)等于第n行的第i-1 個(gè)數(shù)與第i個(gè)數(shù)之和,即Cin+1=Cin+Ci-1n.這個(gè)性質(zhì)是楊輝三角的最基本性質(zhì)(也是二項(xiàng)式系數(shù)和組合數(shù)的性質(zhì)),用此性質(zhì)可以寫出整個(gè)楊輝三角,它也是研究楊輝三角其他性質(zhì)的基礎(chǔ).可見,楊輝三角的有關(guān)性質(zhì)與組合數(shù)的性質(zhì)正是試題的命題背景.4.2 試題的拓展由上述性質(zhì),可以命制相關(guān)的題目.例如
中學(xué)數(shù)學(xué)研究(廣東) 2022年19期2022-11-03
- 基于Java語言的楊輝三角程序設(shè)計(jì)與探討
章首先介紹了楊輝三角和二項(xiàng)式的基本原理，提出了三種求楊輝三角的程序算法，這三種算法分別是：組合數(shù)法、遞歸法和隊(duì)列法，使用Java語言在Eclipse平臺(tái)上實(shí)現(xiàn)了這三種算法，并對這三種算法的運(yùn)行效率和時(shí)間復(fù)雜度進(jìn)行了測試分析，得出了隊(duì)列法最優(yōu)的結(jié)論。關(guān)鍵詞：楊輝三角；二項(xiàng)式；遞歸；隊(duì)列中圖分類號：TP391? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1009-3044（2022）33-0034-041 引言楊輝三角本質(zhì)上是一組數(shù)的集合，是二項(xiàng)式系數(shù)呈三角形一種幾何排
電腦知識與技術(shù) 2022年33期2022-04-02
- 楊輝三角在解決遺傳學(xué)問題中的妙用
波本文通過對楊輝三角和數(shù)量遺傳的分析，找到了兩者之間的數(shù)學(xué)邏輯關(guān)系，進(jìn)而提出解決數(shù)量遺傳題的新方法，為利用數(shù)學(xué)知識解決遺傳學(xué)問題提供了新思路。一、楊輝三角的特點(diǎn)楊輝三角，是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，由我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝于1261年在其所著的《詳解九章算法》中首先提出。在人教版八年級數(shù)學(xué)上冊中，我們已經(jīng)接觸過楊輝三角。下圖即為楊輝三角：圖1 楊輝三角楊輝三角的內(nèi)容有很多，本文主要用到下面幾點(diǎn)：（1）每個(gè)數(shù)等于它上方兩數(shù)之和。（2）每行數(shù)字左右對稱，
考試與招生 2021年11期2021-11-20
- 數(shù)學(xué)歸納法視角下“楊輝三角”斜列的性質(zhì)探究
數(shù)學(xué)歸納法對楊輝三角斜列的性質(zhì)進(jìn)行探究，得出一般化的通項(xiàng)公式，同時(shí)讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)與探究的過程，培養(yǎng)他們對數(shù)學(xué)的興趣.【關(guān)鍵詞】楊輝三角;數(shù)學(xué)歸納法;數(shù)學(xué)探究一、背 景“楊輝三角”是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列.在歐洲，這個(gè)表叫作帕斯卡三角形.帕斯卡是在1654年發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律的，比楊輝要遲393年，比賈憲遲600年，“楊輝三角”是中國古代數(shù)學(xué)的杰出研究成果之一.在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，“楊輝三角”被用于探究二項(xiàng)式系數(shù)的一些性質(zhì)，主要是對每行數(shù)的探究，但“
數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究 2021年25期2021-10-08
- 挖掘習(xí)題內(nèi)涵 滲透數(shù)學(xué)文化
導(dǎo)學(xué)生探究“楊輝三角”，發(fā)現(xiàn)數(shù)字之間的規(guī)律，感受“楊輝三角”的美，了解“楊輝三角”在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。教師應(yīng)該采取有效的教學(xué)策略，設(shè)計(jì)與習(xí)題相關(guān)的問題，幫助學(xué)生在問題解決中感受數(shù)學(xué)文化，在規(guī)律探究中欣賞數(shù)學(xué)文化。[關(guān)鍵詞] 習(xí)題教學(xué);數(shù)學(xué)文化;楊輝三角一、教學(xué)背景數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分，數(shù)學(xué)文化是數(shù)學(xué)教學(xué)不可分割的一部分。人教版數(shù)學(xué)教材里編排了豐富的數(shù)學(xué)文化知識，除了在“你知道嗎”欄目集中呈現(xiàn)外，練習(xí)題里也有不少和數(shù)學(xué)文化有關(guān)的題目。如六年級上冊第八單元
數(shù)學(xué)教學(xué)通訊·小學(xué)版 2021年8期2021-09-30
- C語言中楊輝三角圖形輸出的課堂教學(xué)研究
和作用，尤其楊輝三角的圖形輸出更是重中之重。掌握程序設(shè)計(jì)的方法、圖形特點(diǎn)、思路分析，目的是培養(yǎng)學(xué)生程序設(shè)計(jì)的理念，也為后續(xù)函數(shù)調(diào)用、指針、文件等章節(jié)的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。關(guān)鍵詞：C語言程序設(shè)計(jì) 二維數(shù)組 楊輝三角1 引言C語言程序設(shè)計(jì)作為一種高級的計(jì)算機(jī)語言，是所有編程語言的基礎(chǔ)教學(xué)。它的功能強(qiáng)大，可移植性好，使用靈活方便，也是廣泛使用的計(jì)算機(jī)語言，同時(shí)還具有高級編程語言的優(yōu)點(diǎn)，適合于各種系統(tǒng)軟件的編寫和數(shù)值計(jì)算，學(xué)習(xí)它有助于和計(jì)算機(jī)之間的交流，同時(shí)也更深
成長 2021年9期2021-08-23
- 趣味數(shù)學(xué)
陳新龍楊輝三角是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，在南宋數(shù)學(xué)家楊輝在1261年所著的《詳解九章算法》一書中出現(xiàn)，楊輝三角的出現(xiàn)是數(shù)學(xué)史上一個(gè)偉大的成就，它把二項(xiàng)式系數(shù)圖形化，把組合數(shù)內(nèi)在的一些代數(shù)性質(zhì)直觀地從圖形中體現(xiàn)出來，形成一個(gè)無限對稱的數(shù)字金字塔，這是一種離散型的數(shù)與形的結(jié)合（如圖1）。1.算法分析那么今天就和大家一起探討一下如何用Scratch和Python繪制出楊輝三角，別看楊輝三角這么復(fù)雜，但是只要我們分析出其中的規(guī)律自然就可以克服困難（如圖
電腦報(bào) 2021年23期2021-07-23
- 三元多項(xiàng)式展開式系數(shù)、冪、最短路經(jīng)之間的聯(lián)系
慧摘要：雖然楊輝三角針對兩個(gè)未知數(shù)和的多次方運(yùn)算說明了它與系數(shù)的相應(yīng)關(guān)系及最短路徑之間的關(guān)聯(lián)，但其對于三個(gè)未知數(shù)的多次方并沒有簡便算法可以快速計(jì)算。此文在于拓展楊輝三角內(nèi)容，可以做到快速拆分三個(gè)未知數(shù)多次冪的式子。關(guān)鍵詞：楊輝三角;多次系數(shù);三維;最短路徑1 三元多項(xiàng)式及其系數(shù)的關(guān)系楊輝三角具有對稱性，而前人已經(jīng)證明。驗(yàn)算出的式子如表1所示。觀察每項(xiàng)未知數(shù)的指數(shù)，可以得到項(xiàng)的分組規(guī)律：若有m個(gè)未知數(shù)的n次方的算式，以一個(gè)未知數(shù)為一組，從最高指數(shù)n開始依次遞
錦繡·下旬刊 2021年1期2021-06-11
- 數(shù)列通項(xiàng)與求和
所示的表，即楊輝三角，這是數(shù)學(xué)史上的一個(gè)偉大成就.在“楊輝三角”中，第n行的所有數(shù)字之和為2n-1，若去除所有為1的項(xiàng)，依次構(gòu)成數(shù)列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，則此數(shù)列的前55項(xiàng)和為（ ）（第4題）A.4072 B.2026C.4096 D.20485.設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，Sn+=（-1）nan（n∈N*），則數(shù)列{Sn} 的前7項(xiàng)和為（ ）二、多項(xiàng)選擇題6.（2020·廣東高三一模）《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)名著，書中有
新世紀(jì)智能(數(shù)學(xué)備考) 2021年3期2021-03-31
- 楊輝三角的基本性質(zhì)以及應(yīng)用
華羅庚一、楊輝三角的基本性質(zhì)我們先來探討一下楊輝三角中各個(gè)數(shù)字排列的規(guī)則.一般地，楊輝三角中各個(gè)數(shù)字呈如下的形式排列.要證明這個(gè)定理并不難，我們可以采用一個(gè)在各門數(shù)學(xué)中都被廣泛地應(yīng)用到的方法——數(shù)學(xué)歸納法.數(shù)學(xué)歸納法的用途是它可以推斷出某些在一系列的特殊情形下已經(jīng)成立了的數(shù)學(xué)命題，在一般的情形是不是也正確.它的原理是這樣的：假如有一個(gè)數(shù)學(xué)命題，符合下面兩個(gè)條件：（1）這個(gè)命題對n=1是正確的；（2）如果這個(gè)命題對任一正整數(shù)n=k-1成立，就可以推出它對于n
語數(shù)外學(xué)習(xí)·高中版下旬 2021年10期2021-02-18
- 三元多項(xiàng)式展開式系數(shù)、冪、最短路經(jīng)之間的聯(lián)系
慧摘要：雖然楊輝三角針對兩個(gè)未知數(shù)和的多次方運(yùn)算說明了它與系數(shù)的相應(yīng)關(guān)系及最短路徑之間的關(guān)聯(lián)，但其對于三個(gè)未知數(shù)的多次方并沒有簡便算法可以快速計(jì)算。此文在于拓展楊輝三角內(nèi)容，可以做到快速拆分三個(gè)未知數(shù)多次冪的式子。關(guān)鍵詞：楊輝三角;多次系數(shù);三維;最短路徑1 三元多項(xiàng)式及其系數(shù)的關(guān)系楊輝三角具有對稱性，而前人已經(jīng)證明。驗(yàn)算出的式子如表1所示。觀察每項(xiàng)未知數(shù)的指數(shù)，可以得到項(xiàng)的分組規(guī)律：若有m個(gè)未知數(shù)的n次方的算式，以一個(gè)未知數(shù)為一組，從最高指數(shù)n開始依次遞
錦繡·下旬刊 2021年3期2021-01-28
- 南宋數(shù)學(xué)家楊輝的數(shù)學(xué)成就
505。三、楊輝三角楊輝在《詳解九章算法》一書中還畫了一張表示二項(xiàng)式展開后的系數(shù)構(gòu)成的三角圖形，稱做“開方做法本源”，現(xiàn)在簡稱為“楊輝三角”，如圖5。楊輝三角最本質(zhì)的特征是，它的兩條斜邊都是由數(shù)字1組成的，而其余的數(shù)則等于它肩上的兩個(gè)數(shù)之和。北宋時(shí)期出現(xiàn)了一種名為增成法的算術(shù)，楊輝理解其中的規(guī)律后，進(jìn)一步完善了增成法的運(yùn)算和適用范圍.楊輝認(rèn)為，增成法雖然在一定程度上避免了試商，但當(dāng)被除數(shù)增多時(shí)，運(yùn)算量不僅會(huì)加大，正確率也不高.楊輝在所著《乘除通變算寶》一書
語數(shù)外學(xué)習(xí)·高中版中旬 2020年9期2020-09-10
- 高等代數(shù)競賽中的思想與方法教學(xué)探討
等代數(shù)競賽;楊輝三角;線性變換[基金項(xiàng)目] 2018年度中國礦業(yè)大學(xué)教學(xué)研究一般項(xiàng)目“從基礎(chǔ)實(shí)踐到競賽輔導(dǎo)的高等代數(shù)教學(xué)改革與實(shí)踐”（2018YB29）[作者簡介] 夏春光（1984—），男，江蘇宿遷人，理學(xué)博士，中國礦業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院副教授，主要從事李理論及其表示理論研究。[中圖分類號] G642? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A? ? [文章編號] 1674-9324（2020）30-0232-02? ? [收稿日期] 2020-01-05一、引言高等代數(shù)是相對
教育教學(xué)論壇 2020年30期2020-08-11
- 在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中 落實(shí)立德樹人的實(shí)踐與思考
生介紹說，“楊輝三角”是我國數(shù)學(xué)史上的光輝成就，在我國宋代的數(shù)學(xué)著作《詳解九章算術(shù)》中就有記載，這比法國帕斯卡的發(fā)現(xiàn)早了400多年。這和勾股定理、圓周率等數(shù)學(xué)成就一樣，彰顯了我國燦爛的文化，顯示了古代勞動(dòng)人民的智慧和才能。接著，筆者拋出問題——“楊輝三角”在國際上為什么被稱作“帕斯卡三角”，而不稱作“楊輝三角”？此課設(shè)計(jì)意圖：教育學(xué)生既要立足國內(nèi)，又要放眼全球，深刻認(rèn)識到只有改革開放才能更好地促進(jìn)中國發(fā)展，才能使中國屹立于世界民族之林。三、在數(shù)形結(jié)合中，培
河南教育·基教版 2020年5期2020-04-30
- 奇妙的“楊輝三角”
人們稱之為“楊輝三角”.楊輝還在書中說，這個(gè)圖出自賈憲的《釋鎖》算書.但可惜的是，賈憲的書失傳了，在西方的數(shù)學(xué)史著作中，把這個(gè)圖形稱為“帕斯卡三角”，西方人認(rèn)為這個(gè)圖形是法國數(shù)學(xué)家帕斯卡（1623-1662）于1645年首創(chuàng)的，其實(shí)，在楊輝之后，中國元代數(shù)學(xué)家朱世杰在其《四元玉鑒》（1303年）一書中還曾用過這個(gè)圖形.中亞細(xì)亞的阿爾·卡希于1427年、德國數(shù)學(xué)家阿卜亞魯斯于1527年也使用過這個(gè)圖形.但他們都比楊輝或賈憲要晚很長時(shí)間了.一、“楊輝三角”的性
- MPCK視角下有效教學(xué)的實(shí)踐研究
二項(xiàng)式定理;楊輝三角MPCK理論源于20世紀(jì)80年代美國學(xué)者舒爾曼（Lee S. Shulman，1938-）提出的教學(xué)內(nèi)容知識（Pedagogical Content Knowledge，簡記為PCK），這一概念旨在探討教師應(yīng)如何把學(xué)科知識和教育知識有機(jī)融合，從而以最高效簡潔且易于被學(xué)生理解和接受的方式呈現(xiàn)具體學(xué)科知識[1]，其中針對數(shù)學(xué)學(xué)科的研究即為MPCK. 自2005年起，國內(nèi)的數(shù)學(xué)教育工作者展開了多角度、全方位的MPCK研究. 董濤剖析了基于PC
數(shù)學(xué)教學(xué)通訊·高中版 2019年7期2019-09-17
- 楊輝三角的探究之旅
高瑩一、楊輝三角之由來楊輝三角是一個(gè)特殊的數(shù)陣，最早出現(xiàn)在北宋賈憲的“開方作法本源圖”中。南宋時(shí)期，楊輝在其著作《詳解九章算術(shù)》中予以引用，且注明了“出釋鎖算書，賈憲用此術(shù)”。元朝時(shí)期，朱世杰對楊輝三角作了進(jìn)一步研究和推導(dǎo)，得出了高階差分?jǐn)?shù)列的求和。據(jù)說在1636年，法國帕斯卡在13歲時(shí)發(fā)現(xiàn)了這個(gè)三角形，這個(gè)表在歐洲被認(rèn)為是帕斯卡首先發(fā)現(xiàn)的，因此也被稱作“帕斯卡三角”。但此時(shí)已經(jīng)距我國楊輝三角的發(fā)現(xiàn)過了六百年左右，這足以說明我國古代數(shù)學(xué)的卓越成就，在世界數(shù)
新課程·下旬 2019年8期2019-09-12
- 關(guān)于任意維度空間圖形的規(guī)律
論。主要包括楊輝三角中的維度奧秘和規(guī)律，與一個(gè)我發(fā)現(xiàn)的三角中的維度奧秘和規(guī)律，歐拉定理的實(shí)質(zhì)，四維空間中超立方體的圖形和包含的元素，與一個(gè)空間中點(diǎn)到點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離討論。關(guān)鍵詞：維度理論，楊輝三角，歐拉定理，超立方體一.任何維度空間均有負(fù)一維，相當(dāng)于集合里面的空集。二.任意維度空間的能反應(yīng)其空間特征的最簡單的圖形（如零維是點(diǎn)，一維是線，二維是三角形，三維是四面體）規(guī)律符合楊輝三角（如圖1）。注釋：負(fù)一維含一個(gè)空集;點(diǎn)含一個(gè)空集與一個(gè)點(diǎn);線含兩個(gè)點(diǎn)、一個(gè)空集與一
學(xué)習(xí)與科普 2019年24期2019-09-10
- 楊輝三角融入二項(xiàng)式定理的教學(xué)實(shí)踐及反思
注重怎么套用楊輝三角，例如，直接告訴學(xué)生楊輝三角是我們確定二項(xiàng)式展開式的各項(xiàng)系數(shù)，沒有真正深入楊輝三角的學(xué)習(xí)以及應(yīng)用，難以讓學(xué)生觸及楊輝三角本質(zhì)，使隨后按定義寫出二項(xiàng)式展開式的教學(xué)，有從天而降的感覺。有的老師試圖矯正這一弊端，通過（a+b）n，當(dāng)n=1，2，3......，從而得出二項(xiàng)式乘方展開式的系數(shù)規(guī)律，進(jìn)而分析其中與楊輝三角的聯(lián)系，但知情者明白，這僅是教師利用二項(xiàng)式乘方展開式玩的一個(gè)游戲而已，學(xué)生卻必生“為什么要和楊輝三角扯上關(guān)系”的困惑，卻往往不符
學(xué)校教育研究 2019年12期2019-07-16
- “楊輝三角”的應(yīng)用探究
龍【摘 要】楊輝三角是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，它的兩條斜邊都是由數(shù)字1組成，而其余的數(shù)則是等于它肩上的兩個(gè)數(shù)之和，它的發(fā)現(xiàn)具有巨大的歷史意義，是中國古代數(shù)學(xué)史上精彩的一頁篇章，楊輝三角內(nèi)容豐富是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)與思想方法的重要體現(xiàn)。本文將通過楊輝三角與二項(xiàng)式定理等知識結(jié)合以及楊輝三角在生活中應(yīng)用的一些例題，揭開楊輝三角的奧秘，并感受數(shù)學(xué)的美與樂趣?！娟P(guān)鍵詞】楊輝三角；二項(xiàng)式定理；縱橫路線圖；萊布尼茨三角形；數(shù)學(xué)文化【中圖分類號】G633.6 【
理科愛好者(教育教學(xué)版) 2019年2期2019-06-18
- 楊輝三角中的“幾何圖形”
現(xiàn)在簡稱為“楊輝三角”,它是數(shù)學(xué)史上的一大重要研究成果。一般地,楊輝三角是指如下的圖形：圖1 從上面的圖形中,很容易發(fā)現(xiàn),這個(gè)三角形的兩條斜邊都是由數(shù)字1組成的,而其余的數(shù)都等于它肩上的兩個(gè)數(shù)相加。例如,2=1+1,3=1+2,4=1+3,6=3+3,等等。在一般情形下,若令=0,則有(r=1,2,…,n),這個(gè)等式被稱為楊輝恒等式,它是楊輝三角最基本的性質(zhì)。當(dāng)我們把楊輝三角中的上下左右相連的部分?jǐn)?shù)看成一個(gè)獨(dú)立的整體,那么就會(huì)發(fā)現(xiàn)一些非常有趣的“幾何圖形”
- 文化滲透，水到渠成
清龍【摘要】楊輝三角在中國數(shù)學(xué)文化史中有著特殊的地位，從古至今有無數(shù)數(shù)學(xué)家研究其內(nèi)在性質(zhì).近幾年高考中，也已提高了數(shù)學(xué)文化題的命題地位和頻率，因此，在高中教學(xué)中，如何將數(shù)學(xué)文化知識進(jìn)行有效滲透，已成為一個(gè)重要的議題.本文中，筆者以楊輝三角為背景的數(shù)學(xué)文化教學(xué)為例，闡述如何在不同的時(shí)間節(jié)點(diǎn)、知識模塊中，穿插介紹楊輝三角相關(guān)知識和習(xí)題，順其自然地使得學(xué)生更好掌握相關(guān)知識.【關(guān)鍵詞】應(yīng)用數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)文化；楊輝三角；知識交匯教育部要求在數(shù)學(xué)高考中要增加數(shù)學(xué)文化的內(nèi)容
數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究 2019年3期2019-03-27
- 初中《楊輝三角》專題教學(xué)設(shè)計(jì)
法思路引出“楊輝三角”，通過小組合作等形式探究楊輝三角，結(jié)合最短路徑數(shù)問題來鞏固楊輝三角，將抽象的數(shù)字結(jié)合數(shù)學(xué)歷史，回歸生活情境，把握數(shù)學(xué)問題本質(zhì)，對初一學(xué)生的學(xué)習(xí)與提高有一定的啟發(fā)與幫助?！娟P(guān)鍵詞】楊輝三角；西爾平斯基襯墊；最短路徑數(shù)【中圖分類號】G633 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A【文章編號】2095-3089（2018）21-0030-02在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中挖掘和融入數(shù)學(xué)史中的數(shù)學(xué)思想方法，對學(xué)生們解題大有裨益，可使問題解決更巧妙。在初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，楊輝三角雖
課程教育研究·學(xué)法教法研究 2018年21期2018-08-10
- 基因連鎖和交換中性母細(xì)胞的類型之規(guī)律性
類型數(shù)組成的楊輝三角2 連鎖和交換中性母細(xì)胞類型數(shù)組成的楊輝三角的遺傳學(xué)意義表1中性母細(xì)胞的類型數(shù)組成了一個(gè)“直角式”的楊輝三角，當(dāng)“金字塔形”楊輝三角的水平行不變，左斜行變成豎行時(shí)，“金字塔形”楊輝三角演變成了“直角式”楊輝三角。在表1中，縱“坐標(biāo)”表示等位基因的數(shù)量，也可看作研究連鎖基因的個(gè)數(shù)；橫“坐標(biāo)”表示隨著連鎖基因數(shù)量的增加，性母細(xì)胞可發(fā)生的交換次數(shù)(不發(fā)生交換叫做零交換、發(fā)生1次交換叫做單交換、發(fā)生2次交換叫做雙交換、發(fā)生k次交換叫做k交換……
生物學(xué)教學(xué) 2018年2期2018-08-07
- 為數(shù)學(xué)點(diǎn)贊
——名師例析數(shù)學(xué)文化（4）從楊輝三角到二項(xiàng)式定理
大篇幅介紹“楊輝三角”,并在探究與發(fā)現(xiàn)一欄中詳細(xì)介紹了“楊輝三角”中的一些秘密。究其原因,主要是“楊輝三角”蘊(yùn)含了豐富的內(nèi)容,由它可以直觀看出二項(xiàng)式定理的性質(zhì)。同時(shí)“楊輝三角”又是我國古代數(shù)學(xué)的研究成果之一,它的發(fā)現(xiàn)顯示了我國古代勞動(dòng)人民的卓越智慧和才能。在介紹這部分內(nèi)容之前,我們先來看看另外一部分大家不是很熟悉的內(nèi)容——筆算開平方。整數(shù),它與3×20的和,再乘以它本身,等于256。為便于求得a,可用下面的豎式來進(jìn)行計(jì)算:根號上面的數(shù)3是平方根的十位數(shù)。將
- 數(shù)列從“三角”到“矩陣”的特殊構(gòu)思
1824)“楊輝三角”是我國古代數(shù)學(xué)家的一個(gè)偉大成就，現(xiàn)在很多命題者都利用此結(jié)構(gòu)進(jìn)行命題.而“矩陣”是高等代數(shù)中的一個(gè)重要知識點(diǎn)，其定義為由m×n個(gè)數(shù)排成m行n列,并括以方括弧(或圓括弧)的數(shù)稱為m行n列矩陣,簡稱m×n矩陣，通常用大寫字母表示，如記作A，如表明它的行數(shù)和列數(shù)，可記作Am×n,有時(shí)也可記作A=[aij]m×n其中aij稱為矩陣第i行j列的元素，特別地，當(dāng)m=n時(shí)，矩陣A稱為n階矩陣 (或n階方陣) ，也同樣被大多數(shù)命題者所相中.而數(shù)列的考查
數(shù)理化解題研究 2018年4期2018-05-09
- 淺談數(shù)學(xué)課堂上的歷史教育
所了解。二、楊輝三角在《二項(xiàng)式定理》這一節(jié)的內(nèi)容里，我們提出了楊輝三角這個(gè)概念，而楊輝三角其實(shí)曾經(jīng)出現(xiàn)在同學(xué)們從小學(xué)開始做的找規(guī)律的題目中，但是對于楊輝三角這一說法是現(xiàn)在提出的，在傳統(tǒng)的課堂中，楊輝三角這個(gè)名稱我們往往一筆帶過，使得同學(xué)們對它只是有一個(gè)印象，甚至有部分同學(xué)過后就連名字也忘了。在中職數(shù)學(xué)課堂中，我們可以借助講述楊輝三角的由來，引起同學(xué)們的注意，提高同學(xué)們的興趣，從而也讓同學(xué)們對于中國的歷史有所了解。楊輝三角形，又稱賈憲三角形，帕斯卡三角形，是
中學(xué)課程輔導(dǎo)·教學(xué)研究 2018年8期2018-04-14
- 一組規(guī)律探尋問題的呈現(xiàn)、分析、求解及思考
三角形稱為“楊輝三角”.根據(jù)“楊輝三角”，請計(jì)算（a+b）20的展開式中第三項(xiàng)的系數(shù)為（ ）.A.2017 B.2016 C.191 D.190二、分析與求解解答上述四個(gè)題目的關(guān)鍵是對下面一列數(shù)的把握：1，3，6，10，15，21，28，…，這列數(shù)的規(guī)律比較明顯，第二項(xiàng)比第一項(xiàng)多2，第三項(xiàng)比第二項(xiàng)多3，第四項(xiàng)比第三項(xiàng)多4，……，第n項(xiàng)比第n-1項(xiàng)多n；深層次的規(guī)律是第一項(xiàng)等于1，第二項(xiàng)等于1+2，第三項(xiàng)等于1+2+3，第四項(xiàng)等于1+2+3+4，……，第n項(xiàng)
中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2018年6期2018-03-30
- 《“楊輝三角”與二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)》合作學(xué)習(xí)案例
申，展開對“楊輝三角”和函數(shù)圖象性質(zhì)的認(rèn)識，在探究證明性質(zhì)中理解知識，螺旋上升地學(xué)習(xí)核心數(shù)學(xué)知識和滲透重要數(shù)學(xué)思想。三、教學(xué)目標(biāo)從函數(shù)的角度探究二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，認(rèn)識組合數(shù)并會(huì)計(jì)算應(yīng)用。體會(huì)用函數(shù)知識研究問題的方法，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和歸納推理能力。四、教學(xué)重難點(diǎn)結(jié)合函數(shù)圖象，理解增減性與最大值時(shí)，根據(jù)n的奇偶性確定相應(yīng)的分界點(diǎn)；利用賦值法證明二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)。五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)1.課前探究展示【活動(dòng)】各小組代表發(fā)言，從不同角度展示對“楊輝三角”的認(rèn)識、應(yīng)用
新課程·中旬 2018年12期2018-03-07
- 用數(shù)學(xué)史促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的主動(dòng)建構(gòu)*
律，稱之為“楊輝三角”.這個(gè)三角形給出了（a+b）n（n=1、2、3、…）的展開式的系數(shù)規(guī)律（按a的次數(shù)由大到小的順序）.請依據(jù)上述規(guī)律，寫出的展開式中含x2014項(xiàng)的系數(shù)：______.圖1（2）教學(xué)流程.在學(xué)生觀察、思考例題的基礎(chǔ)上，教師通過“你知道楊輝三角嗎”來激發(fā)學(xué)生的求知欲和學(xué)習(xí)興趣，接下來教師介紹楊輝三角產(chǎn)生的歷史，教師通過問題“你知道楊輝三角與二項(xiàng)和展開式的系數(shù)之間有怎樣的關(guān)系嗎”引導(dǎo)學(xué)生思考的方向和觀察的角度.由此，學(xué)生憑借對楊輝三角這一數(shù)
中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2018年4期2018-03-03
- 關(guān)于Lucas數(shù)立方與二項(xiàng)式數(shù)的卷積公式
]研究了廣義楊輝三角與Lucas數(shù)列的卷積l(k,1,n)，得到了m=1的情形，即：l(k,1,n)=2kLn+2k，文獻(xiàn)[2]討論了楊輝三角與Lucas數(shù)列的卷積l(k,1,n)，給出了m=2的情形，證明了本文討論l(k,m,n)當(dāng)m=3時(shí)的情形，得到了二項(xiàng)式系數(shù)與Lucas數(shù)立方的一個(gè)恒等式，證明了下面的定理1。(2)其中的L3k+2n和Ln-k分別為第3k+2n個(gè)和第n-k個(gè)Lucas數(shù)。2 定理1的證明由此可知(3)由式(3)及式(1)可知(4)由
- 楊輝三角中的一些秘密
重要的發(fā)現(xiàn)，楊輝三角帶我們領(lǐng)略數(shù)字的奧秘，為我們打開二項(xiàng)式系數(shù)的大門?，F(xiàn)在，讓我們從楊輝三角出發(fā)，探索它的精妙絕倫的性質(zhì)。用研究與總結(jié)來揭開它神秘的面紗。關(guān)鍵詞：三角的秘密；楊輝三角；數(shù)學(xué)探索楊輝三角，又稱賈憲三角，帕斯卡三角，是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，最早由賈憲在《釋鎖算術(shù)》提出（約公元11世紀(jì)），并且楊輝在《詳解九章算術(shù)》中詳細(xì)說明。在歐洲，這被認(rèn)為是法國數(shù)學(xué)家帕斯卡（B.Pascal，1623-1662）首先發(fā)現(xiàn)的。也就是說，楊輝三角的發(fā)
考試周刊 2017年91期2018-02-01
- 數(shù)學(xué)創(chuàng)意活動(dòng)：給學(xué)生一把開啟思維的鑰匙
動(dòng)鏈接】——楊輝三角這一活動(dòng)以尚未完成的數(shù)字模型引出楊輝三角，引導(dǎo)學(xué)生探索研究楊輝三角數(shù)，思考其中到底蘊(yùn)藏了哪些規(guī)律。（1）一階等差數(shù)列 （2）二階等差數(shù)列 （3）拐角數(shù)（4）斐波那契數(shù)列 （5）與11的冪的關(guān)系 （6）第2K行的數(shù)字特征（7）行數(shù)為質(zhì)數(shù)行的特征初看楊輝三角，我們只能發(fā)現(xiàn)最簡單的幾條規(guī)律。但是，通過數(shù)學(xué)創(chuàng)意活動(dòng)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了三角形數(shù)，一階等差數(shù)列，二階等差數(shù)列，對稱性，奇數(shù)項(xiàng)和等于偶數(shù)項(xiàng)和等。學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，研究愈發(fā)深入。本活動(dòng)能幫助每一
課程教育研究·學(xué)法教法研究 2018年32期2018-01-25
- 例談?lì)惐确ㄔ跀?shù)學(xué)解題中的應(yīng)用
8 覃淋將“楊輝三角”與類比法相結(jié)合,討論了三個(gè)著名的問題,并給出了比較簡潔的計(jì)算方法.最后從現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)的角度討論了類比法在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要性.楊輝三角;類比;應(yīng)用楊輝三角,又稱賈憲三角,國外通常稱為帕斯卡三角形,是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列.南宋數(shù)學(xué)家楊輝在其著作《詳解九章算法》(1261)中,記載了賈憲的著作—《黃帝九章算術(shù)細(xì)草》里面的大部分內(nèi)容.其中有一張稱為“開方作法本源”的圖,根據(jù)楊輝的記述,賈憲的高次開方法即以此為基礎(chǔ).下圖是我國數(shù)
中學(xué)數(shù)學(xué)研究(廣東) 2017年21期2017-12-06
- “楊輝三角”新的表現(xiàn)形式
【摘 要】“楊輝三角”新的表現(xiàn)形式來源于自然數(shù)的冪的游戲中，它表現(xiàn)出公差為1的等差數(shù)列有起點(diǎn)連續(xù)項(xiàng)的正整數(shù)次冪間的規(guī)律，與“二項(xiàng)式定理”形（楊輝三角）同而神不同。重點(diǎn)處做了嘗試性的證明?！娟P(guān)鍵詞】楊輝三角；二項(xiàng)式定理；等差數(shù)列；連續(xù)；“倒三角”我們知道，“楊輝三角”是通過“二項(xiàng)式定理”表現(xiàn)出來的，而我在連續(xù)自然數(shù)的冪的游戲中，發(fā)現(xiàn)了它的一種新的表現(xiàn)形式，倍感新鮮有趣，愿與愛好者們共賞?。╝+1）-a=1?。╝+2）-2（a+1）+a=2?。╝+3）-3（a
文理導(dǎo)航·教育研究與實(shí)踐 2017年8期2017-08-15
- 課堂教學(xué)中如何滲透研究性學(xué)習(xí)
習(xí)。下面以《楊輝三角》這一節(jié)為例。一、課題的選擇1.由于高中數(shù)學(xué)教學(xué)還是以課堂講解為主，因此研究如何在課堂教學(xué)中滲透研究性學(xué)習(xí)就顯得尤為重要和必要。2.基于我所帶班級學(xué)生特點(diǎn)，大部分同學(xué)多于排列組合的外延學(xué)習(xí)十分吃力和陌生，尤其是二項(xiàng)式定理的證明和應(yīng)用存在很大困難。因此，選擇《楊輝三角》這一節(jié)，通過了解我國古代的數(shù)學(xué)成就，培養(yǎng)學(xué)生的愛國主義精神，又可以有效樹立同學(xué)們對數(shù)學(xué)的自信心，培養(yǎng)他們對數(shù)學(xué)的興趣，激發(fā)學(xué)生探索、研究數(shù)學(xué)的熱情。二、課題的實(shí)施過程（一）
文理導(dǎo)航·教育研究與實(shí)踐 2017年5期2017-06-10
- 淺談數(shù)學(xué)傳統(tǒng)文化在高考命題中的體現(xiàn)
統(tǒng)文化中的“楊輝三角”在高考命題中的體現(xiàn)點(diǎn)更多。2016年下半年，本人在北京師范大學(xué)參加河南省骨干教師高級研修班培訓(xùn)時(shí)，河南省教研室數(shù)學(xué)1室主任張海營主任在給河南省骨干教師做報(bào)告時(shí)也專門提到數(shù)學(xué)文化在高考命題中的動(dòng)向。我們高級研修班第十五組成員在省教研員鮑曉聰老師的指導(dǎo)下成立了專門的課題組，專門對課題“數(shù)學(xué)傳統(tǒng)文化在高考命題中的體現(xiàn)的研究”進(jìn)行深入的研究。數(shù)學(xué)傳統(tǒng)文化在新課標(biāo)課本中出現(xiàn)很多，比如必修二中的祖堩原理；必修三中的更相減損術(shù)和秦九韶算法；選修中的
課程教育研究·學(xué)法教法研究 2017年4期2017-05-09
- 神奇的楊輝三角
圖，即現(xiàn)在的楊輝三角，其本質(zhì)是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列(如圖2).楊輝三角中蘊(yùn)含著許多奇妙的性質(zhì)，也與許多數(shù)學(xué)問題有著密切的聯(lián)系.古今中外，有許多數(shù)學(xué)家如賈憲、朱世杰、帕斯卡、華羅庚等都層深入研究過楊輝三角，下面我們一起走近楊輝三角吧.一、楊輝三角與組合數(shù)(5)每一行奇數(shù)位上的數(shù)的和與偶數(shù)位上的數(shù)的和相等，即二、楊輝三角與概率問題如圖3的高爾頓板，若小球碰到阻擋物后等可能地向兩側(cè)跌落，再次遇到障礙物后繼續(xù)等可能的向兩側(cè)跌落，以此類推，一直下跌，直
數(shù)理化解題研究 2017年34期2017-02-06
- 基于大衍數(shù)列的規(guī)則QC-LDPC碼構(gòu)造方法
065)結(jié)合楊輝三角的結(jié)構(gòu)形式，基于大衍數(shù)列提出了一種列重為3或4的規(guī)則準(zhǔn)循環(huán)低密度奇偶校驗(yàn)(QC-LDPC)碼的新構(gòu)造方法。該方法構(gòu)造的校驗(yàn)矩陣圍長至少為6，碼長可靈活變化，并且可節(jié)省存儲(chǔ)空間。仿真結(jié)果表明: 在相同的仿真參數(shù)下，當(dāng)誤碼率(BER)為10-6時(shí)，所構(gòu)造的列重為3的QC-LDPC(1260,620)碼的凈編碼增益(NCG)比二次函數(shù)碼改善了1 dB左右；列重為4的QC-LDPC(6056, 3028)碼相對于WMC-OCS、QC-OCS碼分
電視技術(shù) 2016年9期2016-10-17
- 楊輝三角性質(zhì)的新發(fā)現(xiàn)
3000）?楊輝三角性質(zhì)的新發(fā)現(xiàn)崔國棟 （甘肅武威二中 甘肅武威 733000）摘 要：二項(xiàng)式定理溝通了多項(xiàng)式乘法和排列組合的關(guān)系。是每年高考的必考內(nèi)容。其中二項(xiàng)式系數(shù)有很多奇妙的性質(zhì)，一千多年來中外數(shù)學(xué)家在這塊土地上勤奮耕耘，篳路藍(lán)縷，取得了豐碩的成果，也引起筆者濃厚的興趣，從指數(shù)n＝1、2、3……變化規(guī)律發(fā)現(xiàn)二項(xiàng)式系數(shù)橫向排列恰好是111、112、113……這是巧合？還是必然？關(guān)鍵詞：二項(xiàng)式定理 楊輝三角 加法法則 新發(fā)現(xiàn)表1 二項(xiàng)式系數(shù)表上面的表叫做
新教育時(shí)代電子雜志(教師版) 2016年7期2016-07-04
- 楊輝三角與志最短路線
玉同學(xué)們知道楊輝三角嗎？看看蔣老師怎么介紹吧。同學(xué)們，請仔細(xì)觀察一下圖1，你覺得它像什么圖形？對了，它像一個(gè)用數(shù)組成的等腰三角形，你能發(fā)現(xiàn)這些數(shù)之間的規(guī)律嗎？其實(shí)，最本質(zhì)的特征是，數(shù)1在兩條腰上，而其余的數(shù)則等于其“肩”上的兩個(gè)數(shù)之和，如第六層的第二個(gè)數(shù)5，就等于其“肩”上的兩個(gè)數(shù)1、4的和.這個(gè)三角我們叫楊輝三角，它出現(xiàn)在我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝編著的《詳解九章算法》一書中，楊輝指出這個(gè)方法出于《釋鎖算術(shù)》.在歐洲，這個(gè)三角被認(rèn)為是法國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家帕斯卡首
- 楊輝三角的若干性質(zhì)研究
4099)?楊輝三角的若干性質(zhì)研究楊 明 順(渭南師范學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，陜西 渭南714099)摘要：楊輝三角是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列,通過初等方法及同余運(yùn)算對楊輝三角中數(shù)的奇偶性進(jìn)行進(jìn)一步研究，得出楊輝三角中第a行的二項(xiàng)式系數(shù)中可被素?cái)?shù)p整除的個(gè)數(shù)，第0行至第a行構(gòu)成的三角中可被素?cái)?shù)p整除的個(gè)數(shù)，以及每一斜列上的二項(xiàng)式系數(shù)中可被素?cái)?shù)p整除的個(gè)數(shù)。關(guān)鍵詞：楊輝三角；素?cái)?shù)；二項(xiàng)式系數(shù)；同余式楊輝三角[1]是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列。王先東
渭南師范學(xué)院學(xué)報(bào) 2016年4期2016-05-04
- “楊輝三角”的拓展探究
?“楊輝三角”的拓展探究◇湖北余智敏1何春玲2高中數(shù)學(xué)教材人教A版《選修2-3》中用了較大篇幅介紹“楊輝三角”,主要是因?yàn)椤?span id="syggg00" class="hl">楊輝三角”蘊(yùn)含了豐富的內(nèi)容,由它可以直觀看出二項(xiàng)式定理的性質(zhì)．楊輝三角是我國古代數(shù)學(xué)的研究成果之一,它的發(fā)現(xiàn)顯示了我國古代勞動(dòng)人民的卓越智慧和才能．“楊輝三角”將展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)幾何化,使之更加形象地展現(xiàn)在我們眼前．而三項(xiàng)式、四項(xiàng)式、五項(xiàng)式的相應(yīng)規(guī)律卻不能用“楊輝三角”來解釋．因此,我們的研究還可以繼續(xù)進(jìn)行,而要想形象地體現(xiàn)出三項(xiàng)
高中數(shù)理化 2016年3期2016-04-28
- 組合數(shù)的多重“身份”
數(shù)學(xué)．賈憲-楊輝三角及相關(guān)恒等式的研究,流行的游戲與博弈,如圍棋、中國象棋、國際象棋、麻將、撲克、橋牌等,都與組合數(shù)學(xué)有關(guān)．組合數(shù)學(xué)關(guān)心的是,事物按某種規(guī)則的安排,這種安排的存在性、構(gòu)造、計(jì)數(shù)和分類等．組合數(shù)學(xué)自誕生以來,已積累了大量優(yōu)異的模型、原理、典型方法和技巧,如加法原理、乘法原理、容斥原理,線排列模型、環(huán)形排列模型,遞推方法以這些優(yōu)異的成果來反哺數(shù)學(xué)．3) 通過對組合數(shù)學(xué)豐碩成果的分析,獲得了若干典型的、規(guī)律性的認(rèn)識,并用以對整個(gè)數(shù)學(xué)的概念、法則、
高中數(shù)理化 2016年1期2016-03-11
- 發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的美
夏金艷“楊輝三角中的一些秘密”是人教A版選修2—3第一章后的“探究與發(fā)現(xiàn)”。楊輝三角蘊(yùn)含了豐富的數(shù)字規(guī)律和數(shù)學(xué)思想方法，具有數(shù)學(xué)中的對稱美、簡潔美、和諧美以及數(shù)字的神奇美和數(shù)形結(jié)合的統(tǒng)一美。筆者以這節(jié)課的教學(xué)為例，談?wù)勅绾卧跀?shù)學(xué)課堂中滲透美育。一、在情境中欣賞美為了激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，教師利用生活實(shí)例——縱橫路線圖導(dǎo)入新課。2012年倫敦奧運(yùn)會(huì)上，為了節(jié)省時(shí)間，導(dǎo)引人員必須引導(dǎo)觀眾按照最短路徑從一個(gè)場館到另一個(gè)場館。假設(shè)奧運(yùn)場館的分布如圖1所示：節(jié)點(diǎn)表示場
湖北教育·教育教學(xué) 2016年2期2016-03-07
- 楊輝三角形模5的絕對最小余數(shù)分布的分形結(jié)構(gòu)特征
10632)楊輝三角形模5的絕對最小余數(shù)分布的分形結(jié)構(gòu)特征朱桂靜， 吳 康(華南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，廣東 廣州 510632)定義楊輝三角形中一些特殊的三角形：n度基三角、n度零三角、n度倍三角、n度反三角、n度叁倍三角、n度三角，并在此基礎(chǔ)上猜想和證明了楊輝三角形中n+1度基三角可由n度三角通過某種特定的排列得到，從而論證了楊輝三角形中組合數(shù)模5的絕對最小余數(shù)分布具有自相似結(jié)構(gòu)特征.楊輝三角形；自相似結(jié)構(gòu)；模50 引言目前對于楊輝三角形中組合數(shù)整除性
- 自然數(shù)方冪和公式的一種新推法
現(xiàn)：在類似于楊輝三角的“金字塔三角形”狀態(tài)排列中，每個(gè)數(shù)都是整數(shù)，Ti j表示第i行第j個(gè)數(shù)(i代表行號，j代表排列序號)；從第2行起，每一行數(shù)的“符號”交替變換，奇數(shù)行的首位數(shù)和末數(shù)都是1，偶數(shù)行的首位數(shù)是1、末位數(shù)是-1,其他每個(gè)數(shù)都等于它的左上方的數(shù)的相反數(shù)乘以自己的倒數(shù)序號加上右上方的數(shù).依據(jù)遞推關(guān)系(3)，整個(gè)“金字塔三角形”圖表可以繼續(xù)寫下去.本文稱此圖表為“類楊輝三角”.11-11-311-67-11-1025-1511-1565-9031-
- 自然數(shù)的類楊輝三角性與循環(huán)性
0具有2-類楊輝三角性.若(xy)10對三次冪具有這一性質(zhì),則稱(xy)10具有3-類楊輝三角性,簡稱類楊輝三角性.以上3個(gè)定義可以推廣到三位數(shù)及更高次冪.定理1若自然數(shù)(xy)10具有類楊輝三角性,則它必具有循環(huán)性,即對一個(gè)自然數(shù)(xy)10而言，類楊輝三角性是循環(huán)性的充分條件.證明假設(shè)以2次冪為例,自然數(shù)(xy)10若具有類楊輝三角性,即(xy)102=(abcd)10((abc)10)滿足(x+y)2=a+b+c+d(a+b+c),通過計(jì)算發(fā)現(xiàn),11
- 穿越文化隧道 賞析中考試題
關(guān)系.4 “楊輝三角”,圖算的典范楊輝三角形,又稱賈憲三角形,帕斯卡三角形,是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列.中國古代數(shù)學(xué)家在數(shù)學(xué)的許多重要領(lǐng)域中處于遙遙領(lǐng)先的地位,而楊輝三角的發(fā)現(xiàn)就是十分精彩的一頁.例5 (2011年涼山州)我國古代數(shù)學(xué)的許多發(fā)現(xiàn)都曾位居世界前列,其中“楊輝三角”就是一例.如圖,這個(gè)三角形的構(gòu)造法則：兩腰上的數(shù)都是1,其余每個(gè)數(shù)均為其上方左右兩數(shù)之和,它給出了(a+b)n(n為正整數(shù))的展開式(按a的次數(shù)由大到小的順序排列)的系數(shù)規(guī)
中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2011年20期2011-08-25
- 數(shù)學(xué)中的美
力我們來看“楊輝三角”,它指的是如下一個(gè)表:這個(gè)表是我國宋、元時(shí)期的數(shù)學(xué)家楊輝首先發(fā)現(xiàn)的,由于它的形狀是一個(gè)三角形,因此叫它“楊輝三角”,它的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是,每行首尾的數(shù)字是1,中間的每個(gè)數(shù)正好是該數(shù)兩肩上的兩個(gè)數(shù)之和。它的形式優(yōu)美、勻稱,給人以一種美的享受。楊輝三角是數(shù)學(xué)之花,它有許多有趣的性質(zhì)和用途。在解決問題時(shí),呈現(xiàn)在我們面前的往往是錯(cuò)綜復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系或繁雜的圖形,從其形式上難以發(fā)現(xiàn)其是否存在“美”的形式,有時(shí),甚至無從下手,但是,經(jīng)過我們努力去發(fā)現(xiàn),去
新課程·上旬 2009年18期2009-01-20
- 從一道概率題透析楊輝三角的應(yīng)用
一道典型的以楊輝三角為背景的概率應(yīng)用問題．對于楊輝三角的構(gòu)成，還可以有一種有趣的看法．圖1如圖1，在一塊傾斜的木板上釘上一些正六角形的小木塊，在它們中間留下一些通道，從上部的漏斗直通到下部的長方框子. 把小彈子倒在漏斗里，它首先會(huì)通過中間的一個(gè)通道落到第二層六角板上面，以后，落到第二層中間一個(gè)六角板的左邊或右邊的兩個(gè)豎直通道里去．再以后，它又會(huì)落到下一層的三個(gè)豎直通道之一里面去. 這里，如果要彈子落到最左邊的通道里，那么它一定要是從上一層的左邊通道里落下來
中學(xué)數(shù)學(xué)雜志(高中版) 2008年3期2008-06-02
- 兩座神奇的“數(shù)字金字塔”
中，人們把“楊輝三角”稱為中國的“數(shù)字金字塔”（如圖１），你可以查閱有關(guān)資料，了解一下“楊輝三角”的構(gòu)成及其規(guī)律．下面，先讓我們來欣賞另一座“數(shù)字金字塔”（如圖２）．圖２中，“金字塔”的結(jié)構(gòu)是：頂端是１，下面各層依次是多位數(shù)１２１，１２ ３２１，１ ２３４ ３２１，１２３ ４５４ ３２１，…，且數(shù)字的排列橫豎成行． 現(xiàn)在，我們來揭開她神秘的面紗，探尋其中的奧妙．１． 各層上的數(shù)都是平方數(shù)，依次是１２、１１２、１１１２、１ １１１２、１１ １１１２、…． 因
初中生·博覽 2004年10期2004-10-19