梁玲智

[摘? 要] 引導(dǎo)學(xué)生探究“楊輝三角”，發(fā)現(xiàn)數(shù)字之間的規(guī)律，感受“楊輝三角”的美，了解“楊輝三角”在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。教師應(yīng)該采取有效的教學(xué)策略，設(shè)計(jì)與習(xí)題相關(guān)的問(wèn)題，幫助學(xué)生在問(wèn)題解決中感受數(shù)學(xué)文化，在規(guī)律探究中欣賞數(shù)學(xué)文化。

[關(guān)鍵詞] 習(xí)題教學(xué);數(shù)學(xué)文化;楊輝三角

一、教學(xué)背景

數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分，數(shù)學(xué)文化是數(shù)學(xué)教學(xué)不可分割的一部分。人教版數(shù)學(xué)教材里編排了豐富的數(shù)學(xué)文化知識(shí)，除了在“你知道嗎”欄目集中呈現(xiàn)外，練習(xí)題里也有不少和數(shù)學(xué)文化有關(guān)的題目。如六年級(jí)上冊(cè)第八單元《數(shù)與形》的練習(xí)里，就有一道關(guān)于“楊輝三角”的題目。

我國(guó)宋代數(shù)學(xué)家楊輝在公元1261年撰寫(xiě)了《詳解九章算法》，楊輝在這本著作中畫(huà)了一個(gè)由數(shù)構(gòu)成的三角形圖，我們把它稱為“楊輝三角”。你能發(fā)現(xiàn)下面（圖1）與“楊輝三角”圖對(duì)應(yīng)的數(shù)字三角形表中各數(shù)之間的關(guān)系嗎？你能按照發(fā)現(xiàn)的規(guī)律把這個(gè)三角形表繼續(xù)寫(xiě)下去嗎？試試看。

“楊輝三角”是我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝的一個(gè)重要數(shù)學(xué)研究成果，是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列。它把二項(xiàng)式系數(shù)排成三角形的形式，把組合數(shù)內(nèi)在的一些代數(shù)性質(zhì)直觀地從圖形中體現(xiàn)出來(lái)，是一種離散型的數(shù)與形的結(jié)合。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)文化，能“幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)在人類文明發(fā)展中的作用，激發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，感受數(shù)學(xué)家治學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)，欣賞數(shù)學(xué)的優(yōu)美”。如果僅按照題目的要求，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)之間的關(guān)系并按照發(fā)現(xiàn)的規(guī)律繼續(xù)寫(xiě)下去，學(xué)生并不能體會(huì)“楊輝三角”的偉大，也不能理解其在數(shù)學(xué)史上為什么會(huì)具有如此重要的地位。所以，教師應(yīng)該采取有效的教學(xué)策略，設(shè)計(jì)與習(xí)題相關(guān)的問(wèn)題，幫助學(xué)生在問(wèn)題解決中感受數(shù)學(xué)文化，在規(guī)律探究中欣賞數(shù)學(xué)文化。

二、教學(xué)實(shí)踐

1. 發(fā)現(xiàn)規(guī)律

逐層出示圖2。

師：這是一張三角形的表。把數(shù)字排成三角形形狀，是我國(guó)南宋末年數(shù)學(xué)家楊輝的創(chuàng)舉。數(shù)學(xué)史上把這樣的三角形表稱為“楊輝三角”（板書(shū)）。大家觀察一下，“楊輝三角”中數(shù)字的排列有什么規(guī)律？

生答（略）。

師：請(qǐng)大家按照發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，在空的圓圈里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。

學(xué)生操作，教師根據(jù)學(xué)生的匯報(bào)把三角形表填完整。（圖略）

【設(shè)計(jì)意圖】 觀察“楊輝三角”，發(fā)現(xiàn)數(shù)字排列的規(guī)律，是欣賞數(shù)學(xué)文化的開(kāi)始。相比讓學(xué)生直接觀察完整的前6行數(shù)據(jù)，或者由教師直接介紹規(guī)律，本教學(xué)環(huán)節(jié)的探究活動(dòng)使學(xué)生從被動(dòng)接受者轉(zhuǎn)變?yōu)橹鲃?dòng)發(fā)現(xiàn)者，更能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。從而使學(xué)生發(fā)現(xiàn)奇妙的數(shù)學(xué)規(guī)律，親近數(shù)學(xué)文化，悅納數(shù)學(xué)文化。

2. 感受“楊輝三角”的美

師：有的同學(xué)在嘀咕了，這么簡(jiǎn)單的數(shù)字排列，居然被稱為創(chuàng)舉？同學(xué)們，雖然“楊輝三角”的數(shù)字和排列規(guī)律都非常簡(jiǎn)單，但在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中是非常有用的。雖然相關(guān)的一些知識(shí)要到初中才學(xué)習(xí)，但“楊輝三角”中一些奇妙的規(guī)律，我們小學(xué)生也能去探究。

（1）和2的冪的關(guān)系

師：請(qǐng)大家橫著把前5行每一行數(shù)分別相加。

學(xué)生操作，反饋，在PPT上呈現(xiàn)答案（圖3）。

師：有什么發(fā)現(xiàn)？

生1：都是兩倍的關(guān)系。

生2：后面的數(shù)都是前面數(shù)的兩倍。

師：能把這些數(shù)寫(xiě)成2的幾次方的形式嗎？

生：2等于21，4等于22，8等于23，16等于24。

師：猜一猜，下一行數(shù)的和是幾？

生1：32。16×2=32。

生2：32也就是2的5次方。

師：讓我們驗(yàn)證一下。（學(xué)生驗(yàn)證）正確！在數(shù)學(xué)上，2的0次方就是1。這里每一行的數(shù)的和，都可以寫(xiě)成2的幾次方形式。實(shí)際上，“楊輝三角”最初就是用來(lái)解決兩個(gè)數(shù)或字母相加和的幾次方的問(wèn)題的。

（2）和11的冪的關(guān)系

師：你們能口算11的平方嗎？

學(xué)生馬上回答：121。

師：11的3次方呢？

學(xué)生遲疑，有的口算，有的列豎式計(jì)算。過(guò)一會(huì)兒，報(bào)出答案：1331。

教師微笑著指指“楊輝三角”的第4行，學(xué)生一片嘩然。

師：11的4次方呢？

生：14641！

師：你怎么算得這么快？

生：楊輝三角的第5行就是這個(gè)數(shù)。

師：真會(huì)思考。我們用計(jì)算器驗(yàn)證一下。（驗(yàn)證）正確。

師：11的5次方呢？

生：151051！

教師用計(jì)算器計(jì)算14641乘11，得到161051。學(xué)生發(fā)出“啊”的聲音。

師：怎么回事？

生：我知道了。這里的6+4等于10，其實(shí)是要向前一位進(jìn)1的。然后4加6等于10，加上1是11，寫(xiě)1進(jìn)1;5加1等于6，所以是161051。

教師在PPT上演示，得出楊輝三角中的數(shù)字是正確的，但由于要滿十進(jìn)一，所以最后寫(xiě)出來(lái)的數(shù)發(fā)生了變化。

（3）和三角形數(shù)、四面體數(shù)的關(guān)系

教師演示（圖4-1）：斜著看，有什么發(fā)現(xiàn)？

生：第一列都是1，第二列一個(gè)一個(gè)大起來(lái)，第三列是加2，加3，加4，第四列是加3，加6，加10……都是有規(guī)律的。

師：右邊（或左邊）第二列都是自然數(shù)序列，右邊（或左邊）第三列都是三角形數(shù)序列（出示圖4-2）。請(qǐng)大家翻到書(shū)本第109頁(yè)，看到練習(xí)二十二第2題。

師：接下來(lái)的一個(gè)三角形數(shù)是15，請(qǐng)同學(xué)們用圖表示出15。（學(xué)生畫(huà)，略）

師：下兩個(gè)三角形數(shù)分別是什么？請(qǐng)畫(huà)圖表示。

學(xué)生操作（略）。

師：右邊（或左邊）第四列都是四面體數(shù)，我們欣賞一下（圖4-3）。

3. 楊輝三角的應(yīng)用

師：“楊輝三角”利用數(shù)與形的巧妙統(tǒng)一，在解決一些數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)可以起到很好的作用。我們來(lái)看下面的例子：

從A到B之間有很多交叉路口。如果只能向右或向下走，那么從A到B一共有幾種不同的走法？（如圖5-1）

學(xué)生嘗試操作，會(huì)發(fā)現(xiàn)比較困難。

教師提示：把圖順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，轉(zhuǎn)化為類似“楊輝三角”的圖形，把每一個(gè)交叉點(diǎn)上的走法標(biāo)出來(lái)，用“楊輝三角”的知識(shí)來(lái)解決（圖5-2）。

小結(jié)：楊輝三角中的奧秘還有很多，等待同學(xué)們進(jìn)一步去發(fā)現(xiàn)。

4. 楊輝及“楊輝三角”在數(shù)學(xué)史上的地位

PPT出示，略。

【設(shè)計(jì)意圖】在習(xí)題教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)文化，要根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)展開(kāi)，不過(guò)分拔高，不偏離教學(xué)目標(biāo)?！皸钶x三角”，本意是解決二項(xiàng)式系數(shù)問(wèn)題的，但其中還蘊(yùn)藏著很多奇妙的規(guī)律。除文中呈現(xiàn)的之外，還有與斐波那契數(shù)列之間的聯(lián)系，與組合數(shù)之間的聯(lián)系等。這些知識(shí)，有些超出了六年級(jí)學(xué)生的認(rèn)知范圍，有些和本單元《數(shù)與形》的教學(xué)目標(biāo)不相符，所以沒(méi)在教學(xué)中呈現(xiàn)。

三、教學(xué)體會(huì)

“楊輝三角”是中國(guó)古代數(shù)學(xué)史上光輝燦爛的一頁(yè)。引領(lǐng)學(xué)生探尋“楊輝三角”的奧秘，不僅能加深學(xué)生對(duì)“楊輝三角”的認(rèn)識(shí)，還可以讓學(xué)生更好地感受數(shù)與形之間的相互作用，受到數(shù)學(xué)文化的熏陶。如果教師能充分認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)習(xí)題里蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)文化價(jià)值，以問(wèn)題引領(lǐng)，讓學(xué)生經(jīng)歷探究數(shù)學(xué)規(guī)律的過(guò)程，就能幫助學(xué)生更好地感受數(shù)學(xué)文化，欣賞數(shù)學(xué)文化，體會(huì)數(shù)學(xué)的思想、精神和價(jià)值。