【摘 要】“楊輝三角”新的表現(xiàn)形式來源于自然數(shù)的冪的游戲中，它表現(xiàn)出公差為1的等差數(shù)列有起點(diǎn)連續(xù)項(xiàng)的正整數(shù)次冪間的規(guī)律，與“二項(xiàng)式定理”形（楊輝三角）同而神不同。重點(diǎn)處做了嘗試性的證明。

【關(guān)鍵詞】楊輝三角；二項(xiàng)式定理；等差數(shù)列；連續(xù)；“倒三角”

我們知道，“楊輝三角”是通過“二項(xiàng)式定理”表現(xiàn)出來的，而我在連續(xù)自然數(shù)的冪的游戲中，發(fā)現(xiàn)了它的一種新的表現(xiàn)形式，倍感新鮮有趣，愿與愛好者們共賞！

（a+1）-a=1！

（a+2）-2（a+1）+a=2！

（a+3）-3（a+2）+3（a+1）-a=3！

（a+4）-4（a+3）+6（a+2）-4（a+1）+a=4！

（a+5）-5（a+4）+10（a+3）-10（a+2）+5（a+1）-a=5！

……

C（a+n）-C（a+n-1）+…+（-1）C（a+n-r）+…+（-1）Ca=n！

（r=0，1，2，…，n） ①

（表1）

在表1中顯現(xiàn)著“楊輝三角”，可知，正整數(shù)n的取值一確定，各等式的右邊均為常數(shù)，且這個(gè)常數(shù)與a的取值無關(guān)，a突破了原來自然數(shù)的定義，可以是任意數(shù)。

要證明等式①，首先要引入為證明它而特別設(shè)計(jì)的關(guān)鍵性的組合公式：

C（n+1-m）=（n+1）C（n-m+1），（m=0，1，2，…，n） ②

公式②的證明：Qn≥m

∴n-m+1=n+1-m≥1

（n+1）C（n-m+1）=（n+1）（n+1-m）

=（n+1-m）

=C（n+1-m）

即公正②得證

等式①的證明：

（1）a為任意數(shù)，當(dāng)n=1時(shí)，（a+1）-a=1！，等式①成立

（2）a為任意數(shù)，假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，等式①成立，即

C（a+k）-C（a+k-1）+…+（-1）C（a+1）+（-1）Ca=k！ ③

C（k+1）=Ck+C（k-1）+…+（-1）C2+（-1）C1=k?。╝=1） ④

那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，

⑤

（由②得）

=（k+1）k！ （由④得）

=（k+1）！

這就是說，當(dāng)n=k+1時(shí)，等式①也成立。

因?yàn)閷?duì)任意數(shù)a等式③右邊均為常數(shù)k，所以，我們只取a的特殊值來表示等式左邊等于常數(shù)k！即可，如a=1時(shí)得等式④。同理，當(dāng)n=k+1時(shí)，a=0時(shí)得式⑤，如果為任意數(shù)時(shí)等式①左邊可以不相等，則與（1）和n=k時(shí)成立相矛盾，也就是說，n的取值一確定，無論a取何值，等式①左邊都相等，這是隱含的已知條件。

根據(jù)（1）和（2）可知，a為任意數(shù)，等式①對(duì)于任何正整數(shù)n都成立。

從上可知，等式①與“二項(xiàng)式定理”所表現(xiàn)出來的形（楊輝三角）同而神不同。等式①要復(fù)雜，表現(xiàn)的是公差為1的等差數(shù)列以a為起點(diǎn)的連續(xù)n+1項(xiàng)為n次冪時(shí)相互間的規(guī)律。如下推廣僅供參考：

（a+n+1）C（a+n-m+1）=C（a+n+1-m），（a+n≥m，a=0，1，2…）

Cn-C（n-1）+…+（-1）C（n-r）+…+（-1）C0=n！ ⑥

C（a+n+2）+C（a+n）+…=C（a+n-1）+C（a+n-1）… ⑦

其中，等式⑥是等式①特例，它表現(xiàn)的是以0為起點(diǎn)的n+1個(gè)連續(xù)自然數(shù)為n次冪時(shí)相互間的規(guī)律。

最后，特把前面所說的連續(xù)自然數(shù)的冪的游戲列表舉一個(gè)簡(jiǎn)單的例子，并說明。

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ……

1 3 5 7 9 11 13 15 17 ……

2 2 2 2 2 2 2 2 ……

0 0 0 0 0 0 0 ……

（表2）

從表2可知，隨著冪指數(shù)的逐步增加，我們就可以得到一系列等式（表1）。在表2中，n為常數(shù)2，特令a、a+1、a+2、a+3、為4個(gè)連續(xù)自然數(shù)，那么得：

[（a+2）-（a+1）]-[（a+1）-a]=2

∴（a+2）-2（a+1）+a=2！ ⑧

同理，（a+3）-2（a+2）+（a+1）=2！ ⑨

由⑨和⑧方程兩邊相減得：（a+3）-3（a+2）+3（a+1）-a=0

∴（a+3）+3（a+1）=3（a+2）+a

∴C（a+2+1）+C（a+2-1）=C（a+2）+C（a+2-2）⑩

這等式⑩就是等式⑦的特例。到此，我有一個(gè)疑問，“楊輝三角”是否來源于這些“倒三角”呢？希望我這自娛自樂的游戲?qū)τ信d趣者或者同學(xué)們能有所啟發(fā)吧！

【作者簡(jiǎn)介】

向紅（1966.1—），男，土家族，高中學(xué)歷，農(nóng)民數(shù)字游戲迷，湖北省荊州市公安縣，數(shù)學(xué)游戲。