王朝璇

我們?cè)谘芯磕承┙馕鰩缀沃械亩c(diǎn)、定線的問題時(shí)，往往不是著眼于問題的各個(gè)組成部分，而是有意識(shí)地放大考查問題的“視角”，將需要解決的問題或問題的一部分看作一個(gè)整體，進(jìn)行整體分析、變形或轉(zhuǎn)換，以達(dá)到簡潔明快地解決問題的目的.

設(shè)而不求

例1 ?已知拋物線[C]的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，其焦點(diǎn)[F0，cc>0]到直線[l]：[x-y-2=0]的距離為[322].設(shè)[P]為直線[l]上的點(diǎn)，過點(diǎn)[P]作拋物線[C]的兩條切線[PA，PB]，其中[A，B]為切點(diǎn).

（1）求拋物線[C]的方程;

（2）當(dāng)點(diǎn)[Px0，y0]為直線[l]上的定點(diǎn)時(shí)，求直線[AB]的方程.

解析 ?對(duì)于（1），容易求出拋物線[C]的方程為[x2=4y].

對(duì)于（2），已知直線通過定點(diǎn)，要寫出直線的方程，按照常規(guī)方法，還需要求出另一點(diǎn)的坐標(biāo)或者求出直線的斜率[k]，這個(gè)計(jì)算量是比較大的.我們換個(gè)思維方式，尋求[A]，[B]兩點(diǎn)所滿足的關(guān)系式.首先設(shè)出點(diǎn)[A]，[B]的坐標(biāo)，不求出它們的坐標(biāo)，而是通過切線[PA，PB]的方程觀察規(guī)律，然后利用兩點(diǎn)定線寫出直線[AB]的方程.

由[x2=4y]，有[y=14x2]，求導(dǎo)得[y=12x].

設(shè)[Ax1，y1]，[Bx2，y2]（其中[y1=x124]， [y2=x224]），

則切線[PA，PB]的斜率分別為[12x1]，[12x2]，

所以切線[PA]的方程為[y-y1=x12x-x1]，

即[x1x-2y-2y1=0]，

同理可得，切線[PB]的方程為[x2x-2y-2y2=0].

因?yàn)榍芯€[PA，PB]均過點(diǎn)[Px0，y0]，

所以[x1x0-2y0-2y1=0]，[x2x0-2y0-2y2=0].

即點(diǎn)[x1，y1，x2，y2]在直線[x0x-2y0-2y=0]上，

由于兩點(diǎn)決定一條直線，

故直線[AB]的方程為[x0x-2y-2y0=0].

點(diǎn)撥 ?這種“設(shè)而不求”的方法在求切點(diǎn)弦的方程時(shí)經(jīng)常用到.

以分求合

例2 ?設(shè)橢圓[E：x2a2+y21-a2=1]的焦點(diǎn)在[x]軸上.

（1）若橢圓[E]的焦距為1，求橢圓[E]的方程;

（2）設(shè)[F1，F(xiàn)2]分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，[P]為橢圓[E]上的第一象限內(nèi)的點(diǎn)，直線[F2P]交[y]軸于點(diǎn)[Q]，并且[F1P⊥F1Q]，證明：當(dāng)[a]變化時(shí)，點(diǎn)[P]在某定直線上.

解析 ?對(duì)于 （1），容易求出橢圓方程為[8x25+8y23=1].

對(duì)于（2），[設(shè)F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0），P（x，y），Q（0，m），]

[則F2P=（x-c，y），QF2=（c，-m）].

要證明點(diǎn)[P]在某定直線上，就要消去參變量[c]，[m]和方程中的[a].

由[1-a2>0]得，[a∈（0，1）].

進(jìn)一步有[x∈0，1，y∈0，1].

又[F1P=（x+c，y），F(xiàn)1Q=（c，m）]，

[由F2P//QF2]，[F1P⊥F1Q] 得，

[m（c-x）=yc，c（x+c）+my=0，]

消去[m]得，[（x-c）（x+c）=y2]，即[x2-y2=c2].

下面的目標(biāo)是消去[a]，即用[x]，[y]來表示[a2]，

由[a2=1-a2+c2]有，

[a2=c2+12=x2-y2+12]，[1-a2=-x2+y2+12].

將其代入到[x2a2+y21-a2=1]中，

[2x2x2-y2+1+2y21-x2+y2=1]，

整理后，[x4-2y2+1x2+][y2-12=0]，

因式分解得[x2-y+12?x2-y-12=0]，

即有[x2-y+12=0]或[x2-y-12=0].

又[x∈0，1，][y∈0，1]，

所以[x=1-y].

故動(dòng)點(diǎn)[P]在直線[x+y-1=0]上.

點(diǎn)撥 ?解題過程中，有兩個(gè)分離. 其一是設(shè)出點(diǎn)[Q]的坐標(biāo)，但是沒有求出它，而是將它直接分離后消去，得到一個(gè)整體[x2-y2=c2]. 其二是沒有將[x2-y2=c2]與[x2a2+y21-a2=1]聯(lián)立求[P]點(diǎn)的坐標(biāo)，而是將[a2=x2-y2+12]代入橢圓方程，得到[x4-2y2+1x2+y2-12=0]，利用因式分解得到結(jié)果. 這種解法各個(gè)擊破， 看起來是“分”，實(shí)際上是“合”.

尋求關(guān)聯(lián)

例3 ?已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)[A4，0]， 且在[y]軸上截得的弦[MN]的長為8.

（1）求動(dòng)圓圓心的軌跡[C]的方程;

（2）已知點(diǎn)[B-1，0]， 設(shè)不垂直于[x]軸的直線[l]與軌跡[C]交于不同的兩點(diǎn)[P]，[Q] ，若[x]軸是[∠PBQ]的角平分線， 證明直線[l]過定點(diǎn).

解析 ?對(duì)于（1），容易求得軌跡[C]的方程為[y2=8x].

對(duì)于（2），如圖，直線[l]與軌跡[C]交于不同的兩點(diǎn)[P]，[Q] ，連結(jié)[BP]交拋物線于點(diǎn)[R]，首先要尋求三條直線[BP]，[BQ]和[PQ]的聯(lián)系.

由于[x]軸是[∠PBQ]的角平分線，所以點(diǎn)[Q]和點(diǎn)[R]關(guān)于[x]軸對(duì)稱.

設(shè)直線[BP]的方程為[x=ky-1]，

將其代入到[y2=8x]得，[y2-8ky+8=0].

設(shè)[Px1，y1]，[Rx2，y2]，

則[Qx2，-y2].

由根與系數(shù)的關(guān)系有[y1+y2=8k]，[y1?y2=8].

又直線[l]的方程為[y-y1=y1+y2x1-x2（x-x1）]，

注意到[y21=8x1]，[y22=8x2]，

則有[y-y1=1y1-y2（8x-y12）]，

即[y1-y2y+y1y2=8x]，

即[8x-1+y2-y1y=0]恒成立，

所以[x=1]，[y=0].

故直線[PQ]過定點(diǎn)[1，0].

點(diǎn)撥 ?在解題的過程中，要注意到點(diǎn)[Q]是一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，它既在直線[PQ]上，也在直線[BQ]上;同時(shí)，其關(guān)于[x]軸的對(duì)稱點(diǎn)在直線[BP]上，它與三條直線的斜率都有關(guān)系.找出這個(gè)關(guān)聯(lián)，解決問題就容易了.

對(duì)稱變換

例4 ?如圖，過拋物線[y2=x]上一點(diǎn)[P（1，1）]作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線，分別交拋物線[y2=x]于[A]，[B]兩點(diǎn)，證明直線[AB]的斜率為定值.

解析 ?要證明直線[AB]的斜率為定值，其關(guān)鍵是求出[A]，[B]兩點(diǎn)的坐標(biāo)，即設(shè)出直線[PA]和直線[PB]的方程和[y2=x]聯(lián)解.

由于直線[PA]和直線[PB]的傾斜角互補(bǔ)，其斜率互為相反數(shù)，

設(shè)[kPA=k1]，[kPB=k2]，則[k1=-k2].

設(shè)直線[PA]的方程為[x=ty-1+1]，其中[t=1k1]，

聯(lián)立[x=ty-1+1，y2=x，]

[y2-ty+t-1=0].

注意到[yP=1]，不必解方程，

由韋達(dá)定理有[yA?yP=t-1]，

所以[yA=t-1]，即[At-12，t-1].

同理[B-t-12，-t-1].

所以[kAB=yA-yBxA-xB=][t-1--t-1t-12--t-12=-12].

故直線[AB]的斜率為定值.

點(diǎn)撥 ?求出[A]點(diǎn)坐標(biāo)后，考慮到直線[PA]和直線[PB]的關(guān)系，注意到兩條直線的斜率互為相反數(shù)，進(jìn)行對(duì)稱變換，用[-t]換[t]，得到[B]點(diǎn)坐標(biāo)，減少計(jì)算量.

整體消元

例5 ?過點(diǎn)[P（4，1）]的動(dòng)直線[l]與橢圓[C]：[x24+y22=1]相交于兩不同點(diǎn)[A，B]，在線段[AB]上取點(diǎn)[Q]，滿足[AP?QB=AQ?PB].

證明：點(diǎn)[Q]總在某定直線上.

解析 ?證明點(diǎn)[Q]總在某定直線上，就是要把這條直線求出來.

由[AP?QB=AQ?PB]聯(lián)想到比例形式，再根據(jù)共線的性質(zhì)求解.

設(shè)點(diǎn)[Q]，[A]，[B]的坐標(biāo)分別為[（x0，y0），（x1，y1），（x2，y2）]，

由題設(shè)知[AP，PB，AQ，QB]均不為零，

記[λ=APPB=AQQB]，則[λ>0]且[λ≠1].

又[A]，[P]，[B]，[Q]四點(diǎn)共線，從而[AP=-λPB，AQ][=λQB].

于是有[4=x1-λx21-λ]，[1=y1-λy21-λ]，[x0=x1+λx21+λ]，[y0=y1+λy21+λ].

從而有[x21-λ2x221-λ2=4x0]，①

[y21-λ2y221-λ2=y0]，②

又由于點(diǎn)[A]，[B]在橢圓C上，

∴[x21+2y21=4]，③

[x22+2y22=4]，④

①+②×2并結(jié)合③④得，[4x0+2y0=4].

∴點(diǎn)[Q（x0，y0）]總在定直線[2x+y-2=0]上.

點(diǎn)撥 ?利用線段的定比公式，將點(diǎn)[Q]的坐標(biāo)用[A]，[B]的坐標(biāo)表示，注意到[A]，[B]兩點(diǎn)在橢圓上，整體考慮①②③④這四個(gè)式子的特點(diǎn)，采用整體消元法求出點(diǎn)[Q]的軌跡方程，這種方法在解題中經(jīng)常用到.