譚衍濤，張興福，王兵海，魏德宏

(1．廣東工業(yè)大學(xué)測繪工程系，廣東 廣州510006;2．鐵道第三勘察設(shè)計(jì)院集團(tuán)有限公司，天津300251)

一、引 言

在長大隧道群工程中，控制測量分為平面控制測量和高程控制測量，目前平面控制測量均采用GNSS技術(shù)完成，其精度完全可以達(dá)到相關(guān)規(guī)范的技術(shù)要求［1］;而高程控制測量一般采用常規(guī)水準(zhǔn)測量，相比平面控制測量，常規(guī)高程控制測量在地形起伏較大測區(qū)工作難度和工作量都會(huì)增大。為了既保證精度，又提高效率、縮減成本，國內(nèi)部分學(xué)者探討利用精密三角高程替代一、二等水準(zhǔn)測量［2］，其研究成果可為大型隧道橋梁工程的高程測量提供重要參考;另外部分學(xué)者嘗試?yán)肎NSS/水準(zhǔn)實(shí)現(xiàn)大型隧道橋梁工程較高精度的正常高測量，也取得了一些有意義的研究成果［3-6］。

利用GNSS/水準(zhǔn)實(shí)現(xiàn)高程傳遞的精度主要受測區(qū)地形起伏大小、測區(qū)范圍，以及GNSS/水準(zhǔn)點(diǎn)的密度等因素的影響。在平坦測區(qū)，高程異常一般變化比較平緩，因此利用GNSS/水準(zhǔn)可比較容易地實(shí)現(xiàn)較高精度的高程傳遞;但在起伏較大測區(qū)，要利用GNSS/水準(zhǔn)實(shí)現(xiàn)較高精度的高程傳遞難度較大。而利用GNSS/水準(zhǔn)進(jìn)行高程傳遞的一個(gè)基本原則是在保證高程傳遞精度的前提下，GNSS/水準(zhǔn)點(diǎn)的數(shù)量要盡量少，擬合模型要盡量簡單。EGM2008重力場模型在中國具有較高的分辨率和精度，使得利用GNSS/水準(zhǔn)技術(shù)實(shí)現(xiàn)高程傳遞的精度和準(zhǔn)確度大幅度提高［7］。本文主要結(jié)合超高階EGM2008重力場模型及SRTM/DTM2006．0剩余地形模型數(shù)據(jù)，通過建立隧道群工程整體獨(dú)立坐標(biāo)系，利用盡量少的GNSS/水準(zhǔn)數(shù)據(jù)，并通過簡單的線型擬合模型，實(shí)現(xiàn)長大隧道群的高程傳遞。最后本文利用某一長大隧道群進(jìn)行試驗(yàn)研究，并將計(jì)算結(jié)果與相應(yīng)等級(jí)的水準(zhǔn)測量進(jìn)行比較，所獲得的結(jié)果對利用GNSS/水準(zhǔn)實(shí)現(xiàn)長大隧道群的高程傳遞具有較好的參考價(jià)值。

二、原理與方法

1．地面點(diǎn)高程異常的分解

地面任意GNSS點(diǎn)P的高程異常均可分解為如下形式［8］

式中，ζ1表示高階或超高階地球重力場模型對應(yīng)的高程異常，占了地面點(diǎn)總高程異常的大部分，計(jì)算方法可參考文獻(xiàn)［7—8］;ζ2為RTM剩余高程異常，在地形起伏較大的地區(qū)，該項(xiàng)影響較大，而在地形平坦的地區(qū)，該項(xiàng)影響可忽略，計(jì)算方法可參考文獻(xiàn)［8］;ζ3為殘余(剩余)高程異常。

2．隧道工程獨(dú)立坐標(biāo)系建立

實(shí)際工程中，利用GNSS進(jìn)行隧道控制測量時(shí)，一般都是沿隧道走向兩側(cè)成對布設(shè)控制點(diǎn)，為了方便建立殘余高程異常擬合模型，以隧道入洞口附近的某一控制點(diǎn)作為獨(dú)立坐標(biāo)系坐標(biāo)原點(diǎn)o'，以隧道延伸方向作為x'軸，過坐標(biāo)原點(diǎn)o'且與x'軸垂直的方向?yàn)閥'軸，采用所有點(diǎn)的測量坐標(biāo)通過最小二乘擬合方法建立隧道平面獨(dú)立坐標(biāo)系，如圖1所示。由于隧道控制點(diǎn)基本沿x'軸分布，故可以忽略y'軸方向高程異常的變化。此時(shí)，可以充分利用工程獨(dú)立坐標(biāo)系的特點(diǎn)，建立一維的殘余高程異常擬合模型，減少聯(lián)測GNSS/水準(zhǔn)點(diǎn)的工作量，簡化擬合模型，常用的擬合模型有直線、二次曲線、三次曲線等［9-13］。

圖1 工程獨(dú)立坐標(biāo)系

3．殘余高程異常擬合模型

在圖1所示的獨(dú)立坐標(biāo)系下，利用GNSS/水準(zhǔn)點(diǎn)可以很容易地建立高程異常擬合模型，若采用移去-恢復(fù)法，結(jié)合式(1)也可很方便地建立殘余高程異常擬合模型。結(jié)合隧道沿帶狀走向的特點(diǎn)，若忽略y'方向高程異常的影響，則以高程異常為觀測值的擬合模型為

式中，f(x')為模型擬合值;ε為誤差。若選擇高程異常擬合模型為線形，則

其中，αi為待定系數(shù)。當(dāng)f(x')取至一次項(xiàng)時(shí)為直線模型，取至二次項(xiàng)時(shí)為二次曲線模型，取至三次項(xiàng)時(shí)為三次曲線模型，依此類推。式(2)—式(3)即一維情形下的高程異常擬合模型公式。

若采用第一類切比雪夫多項(xiàng)式建立擬合模型時(shí)，則

式中，βi為待定系數(shù);Ti(τ)為i階切比雪夫多項(xiàng)式，可根據(jù)以下遞推關(guān)系確定

式中，變量τ∈［－1，1］。此時(shí)，需要將坐標(biāo)變量x'轉(zhuǎn)換為變量τ，轉(zhuǎn)換公式為

式中，坐標(biāo)變量x'∈［x'min，x'max］。

在隧道工程實(shí)際應(yīng)用時(shí)，可適當(dāng)選取隧道兩端少量的GNSS/水準(zhǔn)點(diǎn)數(shù)據(jù)，采用式(2)—式(3)或式(2)、式(4)—式(6)即可建立高程異常擬合模型，進(jìn)而推算出任意GNSS點(diǎn)的正常高，從而實(shí)現(xiàn)高程傳遞。

三、算例與精度分析

為了對本文方法進(jìn)行精度分析，現(xiàn)選擇某一長大隧道群GNSS控制網(wǎng)進(jìn)行試驗(yàn)研究。該隧道群地處我國華南，地形起伏很大，隧道群總長度約22 km，共有3條隧道，最長的為Ⅰ號(hào)隧道，長度約為11 km，最大點(diǎn)間高差約1000 m，共有20個(gè)(10對)GNSS/水準(zhǔn)點(diǎn)，其中水準(zhǔn)測量為二等，GNSS點(diǎn)測量精度為二等，GNSS點(diǎn)間大地高的相對精度優(yōu)于1 cm?？刂泣c(diǎn)呈帶狀分布，其中點(diǎn)A01、A02、B01、B02為離Ⅰ號(hào)隧道入口最近的4個(gè)GNSS控制點(diǎn);點(diǎn)A09、A10、B09、B10為離Ⅲ號(hào)隧道出口最近的4個(gè)GNSS控制點(diǎn);其余為Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ號(hào)隧道的豎井及出入洞口控制點(diǎn)(每一個(gè)豎井或出入洞口一般至少有3個(gè)控制點(diǎn)，由于這些控制點(diǎn)間距離較近，故本文只取1個(gè)用于試驗(yàn)計(jì)算);控制點(diǎn)編號(hào)、點(diǎn)間的高差序號(hào)及其分布見圖2和表1，并按照第二章第2節(jié)的方法建立隧道群工程整體獨(dú)立坐標(biāo)系。

圖2 GNSS/水準(zhǔn)點(diǎn)分布圖

表1 高差段信息

為了分析EGM2008重力場模型及SRTM/DTM2006．0剩余地形模型對高程轉(zhuǎn)換的貢獻(xiàn)，現(xiàn)利用2160階的EGM2008重力場模型和SRTM/DTM2006．0剩余地形模型計(jì)算各GNSS點(diǎn)的高程異常，并將其與實(shí)測的高程異常進(jìn)行比較，結(jié)果見表2。

從表2可以看出，2160階次的EGM2008模型在該區(qū)域具有較高的精度，其標(biāo)準(zhǔn)差為5．4 cm。EGM2008高程異常與GNSS/水準(zhǔn)高程異常之差的平均值不為零，說明了兩者存在系統(tǒng)性偏差，該系統(tǒng)偏差主要是由EGM2008模型所定義的全球高程基準(zhǔn)與工程所采用的高程基準(zhǔn)不一致造成的。綜合EGM2008模型高程異常及RTM剩余高程異常后，GNSS高程轉(zhuǎn)換的精度有了一定程度的提高，精度提高了13．0%，這說明在地形起伏較大地區(qū)，考慮剩余地形模型能在一定程度上提高GNSS高程轉(zhuǎn)換的精度。

在上述利用2160階的EGM2008重力場模型和SRTM/DTM2006．0剩余地形模型計(jì)算出GNSS點(diǎn)高程異常的基礎(chǔ)上，按照表1，同時(shí)計(jì)算出各高差段的高程異常差，并將其與實(shí)測的GNSS/水準(zhǔn)高程異常差進(jìn)行精度比較，結(jié)果見表3。從表3可以看出，綜合考慮EGM2008模型和SRTM/DTM2006．0模型后，高差轉(zhuǎn)換的精度提高了30．6%，同樣說明在地形起伏較大的測區(qū)，考慮剩余地形模型能提高高差轉(zhuǎn)換的精度。

表2 EGM2008/RTM高程異常與GNSS/水準(zhǔn)高程異常比較結(jié)果 cm

表3 EGM2008/RTM高程異常差與GNSS/水準(zhǔn)高程異常差比較結(jié)果 cm

GNSS/水準(zhǔn)點(diǎn)的實(shí)測高程異?？鄢薊GM 2008重力場模型及SRTM/DTM2006．0剩余地形模型后，還會(huì)有殘余(剩余)高程異常，為了對其進(jìn)行分析，現(xiàn)利用隧道群兩端的GNSS/水準(zhǔn)點(diǎn)A01、A02、A09、A10的高程異常數(shù)據(jù)，采用移去-恢復(fù)法(移去EGM2008模型和SRTM/DTM2006．0模型所得高程異常)，按照式(2)—式(3)，分別建立直線、二次曲線、三次曲線殘余高程異常擬合模型，同時(shí)，按照式(2)、式(4)—式(6)，分別建立一階、二階、三階切比雪夫多項(xiàng)式擬合模型，計(jì)算各待求GNSS點(diǎn)的擬合正常高，將所得結(jié)果與水準(zhǔn)實(shí)測的高程進(jìn)行比較，結(jié)果見表4;然后利用擬合正常高計(jì)算表1中所列高差段的擬合正常高差，將其與水準(zhǔn)實(shí)測的高差進(jìn)行比較，結(jié)果見表5。

從表4可以看出，基于移去-恢復(fù)法，3種線型擬合模型所得結(jié)果均優(yōu)于直接采用EGM2008模型和SRTM/DTM2006．0模型所得高程異常。相比于直接轉(zhuǎn)換方法，擬合模型方法的精度有大幅度提高，3種擬合模型精度分別提高了57．4%、85．1%、83．0%。從表5也可以得出相同的結(jié)論:相比于直接轉(zhuǎn)換方法，3種擬合模型精度分別提高了52．9%、76．5%、76．5%。綜合表4和表5可以得出，在試驗(yàn)區(qū)域采用二次曲線和三次曲線高程擬合模型，無論高程精度還是高差精度均可以達(dá)到毫米級(jí)。同時(shí)，根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果可得，一階、二階、三階切比雪夫多項(xiàng)式模型的擬合效果分別與直線、二次曲線、三次曲線模型的擬合效果一致，說明了對于低階次(一階—三階)的擬合模型，不論采用一般多項(xiàng)式作為擬合基函數(shù)或是采用第一類切比雪夫多項(xiàng)式作為擬合基函數(shù)，兩者所得的擬合效果是一致的。

表4 擬合正常高與水準(zhǔn)實(shí)測高程比較結(jié)果

表5 高程擬合獲得的正常高差與水準(zhǔn)實(shí)測高差比較結(jié)果

為了更清晰地比較高程擬合結(jié)果與相應(yīng)等級(jí)水準(zhǔn)測量的要求，將上述各段由高程擬合獲得的正常高差與水準(zhǔn)實(shí)測高差進(jìn)行比較，取其差值絕對值，繪出誤差圖(如圖3所示)。

圖3 高程傳遞的相對誤差(取絕對值)

從圖3可以看出，二次和三次曲線模型的絕對誤差變化幅度較小，其值均在2 cm范圍內(nèi);而直線模型的誤差變化幅度較大，有的甚至達(dá)到3 cm以上，因此二次和三次曲線模型的擬合效果比直線模型要好。對誤差進(jìn)行統(tǒng)計(jì)得出，直線模型擬合的高差段100%符合四等水準(zhǔn)要求，85%符合三等水準(zhǔn)要求，50%符合二等水準(zhǔn)要求;二次曲線模型分別為100%、100%、55%;三次曲線模型分別為100%、100%、65%。由此可見，二次曲線模型的整體擬合效果與三次曲線模型基本相當(dāng)，比直線擬合的效果要好。對于切比雪夫多項(xiàng)式擬合模型也具有相同的結(jié)論，二階切比雪夫模型的整體擬合效果與三階切比雪夫模型的基本相當(dāng)，比一階切比雪夫模型的效果要好。

另外，由圖3可知，高差段19和20因距離較長，其限差相比于其他高差段要大，若采用水準(zhǔn)測量方法，其高程精度將會(huì)在長距離的傳遞中明顯下降;然而，本文所采用的6種擬合模型在此高差段均具有良好的效果，這說明利用GNSS/水準(zhǔn)技術(shù)的高程傳遞在一定程度上削弱了長遠(yuǎn)距離的影響，避免了因誤差的積累而導(dǎo)致高程精度的大幅度下降，這是GNSS/水準(zhǔn)高程異常擬合方法的一個(gè)非常突出的優(yōu)點(diǎn)。

四、結(jié) 論

本文主要探討利用GNSS/水準(zhǔn)數(shù)據(jù)實(shí)現(xiàn)長大隧道群高程傳遞的方法，并利用華南地區(qū)某一長大隧道群的GNSS/水準(zhǔn)數(shù)據(jù)進(jìn)行試驗(yàn)研究，本文方法能夠?qū)崿F(xiàn)較復(fù)雜測區(qū)長大隧道群工程對正常高的需要，結(jié)論如下:

1)綜合考慮EGM2008重力場模型和SRTM/DTM2006．0剩余地形模型可提高采用移去-恢復(fù)法進(jìn)行高程傳遞的精度，建議在地形起伏較大測區(qū)采用此方案。

2)在地形起伏較大，實(shí)施常規(guī)水準(zhǔn)測量難度和工作量都大的長大隧道工程，可嘗試采用GNSS/水準(zhǔn)進(jìn)行高程傳遞，建議建立工程獨(dú)立坐標(biāo)系，并忽略垂直隧道走向的高程異常變化，以采用移去-恢復(fù)法的二次曲線擬合為宜，基本可滿足三等水準(zhǔn)測量精度指標(biāo)。

3)在利用GNSS/水準(zhǔn)進(jìn)行高程傳遞時(shí)，GNSS高程測量大地高的精度非常關(guān)鍵，建議GNSS測量的等級(jí)為二等，GNSS點(diǎn)間大地高的相對精度優(yōu)于1 cm。

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