魏 奔， 孫志宏， 李子軍

(1. 東華大學 a. 機械工程學院；b. 紡織裝備教育部工程研究中心，上海201620；2. 山東日發(fā)紡織機械有限公司，山東 聊城252000)

基于Matlab的共軛凸輪機構(gòu)設(shè)計

魏 奔1a, 1b， 孫志宏1a, 1b， 李子軍2

(1. 東華大學 a. 機械工程學院；b. 紡織裝備教育部工程研究中心，上海201620；2. 山東日發(fā)紡織機械有限公司，山東 聊城252000)

以滿足機構(gòu)許用壓力角為約束條件，利用Matlab開發(fā)了一款共軛凸輪輔助設(shè)計軟件，可視化求解共軛凸輪轉(zhuǎn)動中心的可行域，通過人機交互在可行域內(nèi)選定凸輪轉(zhuǎn)動中心位置，自動生成主、副凸輪的廓線及其特征點數(shù)據(jù)，極大提高了共軛凸輪的設(shè)計效率. Matlab軟件生成的數(shù)據(jù)文件可直接用于數(shù)控加工，具有重要的實際應(yīng)用價值.

共軛凸輪； 壓力角； 凸輪轉(zhuǎn)動中心可行域； Matlab

共軛凸輪機構(gòu)中，只要設(shè)計出適當?shù)闹?、副凸輪的廓線，就能夠精確地控制從動件作各種預期的往復運動，因此，共軛凸輪機構(gòu)被廣泛應(yīng)用于輕工、紡織、食品等領(lǐng)域[1].

目前，已有的共軛凸輪機構(gòu)計算機輔助設(shè)計軟件的基本原理為：給定共軛凸輪結(jié)構(gòu)參數(shù)，通過理論分析獲得共軛凸輪的理論廓線方程及實際廓線方程，借助計算機的計算與繪圖功能，生成共軛凸輪廓線以及凸輪廓線上特征點，指導生產(chǎn)加工.但在設(shè)計之初，通常并不能事先知道凸輪機構(gòu)基本結(jié)構(gòu)參數(shù)(現(xiàn)多為測繪國外設(shè)備獲得)，現(xiàn)有凸輪輔助設(shè)計軟件也無法進行結(jié)構(gòu)參數(shù)設(shè)計.本文在已知共軛凸輪機構(gòu)從動件運動規(guī)律和許用壓力角α的條件下，計算出凸輪轉(zhuǎn)動中心的可行域，并通過計算機可視化顯示，人機交互選定其位置后，計算機自動生成凸輪的理論廓線和工作廓線，該軟件將有助于設(shè)計人員進行共軛凸輪機構(gòu)的原創(chuàng)設(shè)計.

1 從動件運動規(guī)律

在設(shè)計凸輪機構(gòu)基本尺寸和凸輪輪廓之前，必須根據(jù)凸輪機構(gòu)的工作性能要求建立從動件運動規(guī)律方程式.從動件的運動規(guī)律將直接影響凸輪機構(gòu)的基本尺寸設(shè)計、輪廓設(shè)計和凸輪機構(gòu)的運動性能.從動件運動規(guī)律可分為基本運動規(guī)律和組合運動規(guī)律，組合運動規(guī)律是由數(shù)種基本運動規(guī)律拼接而成[2].運動規(guī)律的拼接原則是各段基本運動規(guī)律在銜接點上的運動參數(shù)(如位移、類速度、類加速度，有時還包括類躍度)保持連續(xù)，在運動的起始點和終止點上的運動參數(shù)滿足邊界條件[3-8]，限于篇幅，本文不作詳細介紹.

2 設(shè)計思路與方法

2.1 基于許用壓力角的凸輪轉(zhuǎn)動中心設(shè)置區(qū)求解

2.1.1 壓力角與凸輪轉(zhuǎn)動中心位置的關(guān)系

壓力角與凸輪軸位置關(guān)系如圖1所示.

(a) P12在O1O2連線上 (b) P12在O1O2延長線上

圖1中，O1為凸輪轉(zhuǎn)動中心，O2為從動件的擺動中心.設(shè)凸輪、從動擺桿和機架分別為構(gòu)件1、 2、 3，易知構(gòu)件1、 3瞬心P13和構(gòu)件2、 3瞬心P23.A點為擺桿O2A上滾子轉(zhuǎn)動中心，α為O2A桿運動到此時刻機構(gòu)壓力角，力F2、F1分別為凸輪和滾子中心的作用力與反作用力，方向沿滾子中心與凸輪理論廓線接觸點的法線方向，沿此方向作AP12與O1O2(或其延長線)交于點P12，由三心定理可知，點P12即為構(gòu)件1、 2的瞬心.v2為滾子中心A點的線速度，方向垂直擺桿O2A.自O(shè)1作O1B∥AP12，與O2A(或其延長線)交于B點，已知凸輪與從動桿角速度分別為ω1、ω2，假設(shè)不考慮摩擦力，由機械原理可知，當ω1、ω2反向時，瞬心P12落在O1O2連線上(圖1(a))，而當ω1、ω2同向時，瞬心P12落在O1O2延長線上(圖1(b))，因此，均有：

ω2·P23P12=-ω1·P12P13

(1)

(2)

根據(jù)以上所述，可得以下結(jié)論.

(1) AB線段長度等于從動桿上滾子轉(zhuǎn)動中心線速度與凸輪角速度的比值(以下簡稱速比).

(2) 若給定凸輪機構(gòu)許用壓力角為α，在機構(gòu)運動某一時刻，自A點在O2A或O2A的延長線上截取線段AB，使其大小等于上述瞬時速比，得B點.再自B點作兩直線，使其與O2A桿分別成90°-α和90°+α(稱為界線直線)，如圖2所示.則在此兩直線所夾區(qū)域內(nèi)(包括兩界線直線)，凸輪壓力角將小于等于許用壓力角α，此區(qū)域即為該時刻對應(yīng)的凸輪轉(zhuǎn)動中心設(shè)置區(qū).將凸輪機構(gòu)運動一個周期內(nèi)各時刻所對應(yīng)的兩根界線直線繪出，這一系列界線直線所包圍的共有區(qū)域，即為在凸輪運動全周期內(nèi)滿足許用壓力角要求的凸輪轉(zhuǎn)動中心設(shè)置區(qū)(以下簡稱可行域).

圖2 凸輪轉(zhuǎn)動中心設(shè)置區(qū)邊界線示意圖Fig.2 The boundary lines of cam shaft’s feasible region

(3) 如圖2所示，若凸輪轉(zhuǎn)動中心O1設(shè)置在擺桿O2A的下方，則界線直線取下半部分(O1 下所在區(qū)域)，反之，若凸輪轉(zhuǎn)動中心O1設(shè)置在擺桿O2A的上方，則界線直線取上半部分(O1上所在區(qū)域).

(4) 由于共軛凸輪機構(gòu)中主從動桿與副從動桿固結(jié)在一起，其運動規(guī)律完全相同，因此，通過上述方法所繪出的主、副凸輪轉(zhuǎn)動中心可行域圖形上完全一致.如圖3(a)所示，左一與右一區(qū)域內(nèi)線條族所夾區(qū)域為主凸輪可行域，左二與右二區(qū)域內(nèi)線條族所夾區(qū)域為副凸輪可行域.圖3(a)中右二與左二區(qū)域內(nèi)線條族分別為左一與右一區(qū)域內(nèi)線條族繞中心O2順時針旋轉(zhuǎn)γ角所得.只畫出4個曲線族的包絡(luò)線如圖3(b)所示，結(jié)合圖3(a)和3(b)可知，求解共軛凸輪轉(zhuǎn)動中心可行域時，只需繪制主凸輪可行域邊界直線族所圍區(qū)域，即圖3(b)中曲線1、 4和曲線2、 3所圍區(qū)域，再將曲線2、 3繞O2點順時針旋轉(zhuǎn)γ角(主、副從動桿夾角)得曲線2′、3′，2′、3′兩曲線所圍區(qū)域即為副凸輪轉(zhuǎn)動中心的可行域.兩邊界直線族所圍共有區(qū)域(圖3(c)中陰影區(qū)域)即為滿足許用壓力角要求的共軛凸輪轉(zhuǎn)動中心可行域.下面將介紹圖3(c)中4條曲線求解方法.

(a) 凸輪可行域求解原理圖

(b) 凸輪可行域簡化示意圖

(c) 解析法求解凸輪可行域示意圖

2.1.2 基于許用壓力角的凸輪轉(zhuǎn)動中心可行域求解

圖3(b)中4條曲線實為圖3(a)中左一與右一區(qū)域內(nèi)邊界直線族所構(gòu)成的包絡(luò)線，下面引入直線族包絡(luò)線的數(shù)學表達式.

(a) B點落在O2A延長線上

(b) B點落在O2A上

如圖4所示，O2點為極坐標的極點，從動桿起始位置O2A0為極軸.設(shè)從動桿任意位置O2A擺角為φ，此時界線為UU′，N為此直線上任意一點，該點的向徑為ρ，極角為λ.取O2A=1，AB=作O2M⊥UU′，則

O2M=(1+)sinβ

在△O2MN中，UU′方程為

ρsin(φ+β-λ)=(1+)sinβ

(3)

無限接近直線方程為

ρsin(φ′+β-λ)=(1+′)sinβ

(4)

式中：φ′=φ+dφ，′=+d.

由式(3)減式(4)得：

(5)

聯(lián)立式(3)～(5)求得可行域邊界包絡(luò)線方程式為

(6)

(7)

式中：ε2為從動件角加速度；β取90°-α或90°+α(選取規(guī)則在后文進行討論).將推程和回程從動件運動參數(shù)(即角位移φ、角速度ω2和角加速度ε2)代入式(6)和(7)，即可求得極坐標下凸輪轉(zhuǎn)動中心可行域.式(6)和(7)使用時應(yīng)注意以下幾個問題.

(1) 在推程或回程起始(φb)和終止時刻(φe)ω2為零，式(6)中，因sinβ不為零，ρ將取無窮大，考慮到計算機繪圖高效性，令計算起始時刻為φb+ξ(ξ>0， 大小可調(diào)整)，終止時刻為φe-ξ，避免sinβ為零；

(2) 當從動件運動規(guī)律為等速運動時，因從動件角速度ω2保持不變，又凸輪角速度ω1恒定，式(6)中β不變，可求得ρ為常量，所以所求得4條包絡(luò)線為4段以O(shè)2為圓心的圓弧，不能求得凸輪轉(zhuǎn)動中心可行域.調(diào)整包絡(luò)線求解方程組為：式(3)和(7)，計算時先通過式(7)求得λ，再代入式(3)求得ρ，此問題得到解決.

(3) 通過式(6)和(7)或式(3)和(7)計算圖3(c)中4條包絡(luò)線時β的取值見表1所示.

(4) 圖3(c)中曲線2、3是由圖3(b)中曲線2、3順時針旋轉(zhuǎn)γ角獲得，因此，實際計算時ε應(yīng)取ε-γ.

表1 β取值表

注：當凸輪轉(zhuǎn)向與從動件推程運動方向相同時η=1，反之，η=-1.

2.2 共軛凸輪廓線方程推導

如圖5所示，取凸輪轉(zhuǎn)動中心O1為原點建立直角坐標系. 圖5中, 從動桿O2B起始角為φ0；凸輪轉(zhuǎn)動中心到從動件轉(zhuǎn)動中心的中心距為a；從動件桿長為，主、副從動桿夾角為γ；凸輪以ω逆時針旋轉(zhuǎn).

圖5 共軛凸輪廓線求解示意圖Fig.5 Sketch to solve conjugate cam profiles

本文采用反轉(zhuǎn)法推導凸輪廓線方程.在反轉(zhuǎn)運動過程中，當從動件相對凸輪轉(zhuǎn)過δ角時，從動件處于BO2D位置，此時其角位移為φ，規(guī)定構(gòu)件逆時針轉(zhuǎn)為正，順時針為負，則B、D點坐標分別為

(8)

(9)

式(8)和(9)即為共軛凸輪理論廓線方程.設(shè)滾子半徑為R，則共軛凸輪工作廓線方程為

(10)

式中：

(11)

計算主、副凸輪工作廓線時，求得凸輪理論廓線坐標x、y及對應(yīng)的dx/dδ、dy/dδ，聯(lián)立式(10)和(11)，即可求得共軛凸輪工作廓線方程式x′、y′.

2.3 基于Matlab的共軛凸輪設(shè)計

圖6為該共軛凸輪設(shè)計軟件的流程圖.根據(jù)該程序流程圖可將軟件功能劃分為3個模塊，即，從動件運動規(guī)律輸入及計算模塊，基于許用壓力角的凸輪轉(zhuǎn)動中心可行域求解模塊，共軛凸輪廓線生成模塊.

(1) 從動件運動規(guī)律輸入及計算模塊：輸入從動件運動規(guī)律以及凸輪轉(zhuǎn)速，計算各時刻從動件的角位移、角速度、角加速度和角躍度.

圖6 程序流程圖Fig.6 The program flow chart

(2) 基于許用壓力角的凸輪轉(zhuǎn)動中心可行域求解模塊：輸入主、副從動桿夾角γ、許用壓力角α、從動桿長以及滾子半徑R，求解凸輪轉(zhuǎn)動中心可行域.

(3) 共軛凸輪廓線生成模塊：人機交互選定凸輪轉(zhuǎn)動中心，求得共軛凸輪理論及工作廓線，并保存凸輪廓線上的特征點數(shù)據(jù).

3 實例驗證與仿真

3.1 實例驗證

下面是利用本文開發(fā)的軟件實現(xiàn)某一共軛凸輪機構(gòu)的設(shè)計實例.首先，通過參數(shù)輸入界面輸入從動件分段運動規(guī)律及凸輪轉(zhuǎn)速，如圖7所示.

點擊【預覽運動曲線】按鈕查看從動件運動規(guī)律(如圖8所示)，檢查運動規(guī)律是否有誤，必要時進行修改.

運動規(guī)律輸入完成后點擊【參數(shù)輸入完成】按鈕，隨之進入凸輪轉(zhuǎn)動中心可行域求解界面，輸入相應(yīng)結(jié)構(gòu)參數(shù)后點擊【繪制可行域】按鈕，程序?qū)⑶蠼夂屠L制滿足許用壓力角要求的凸輪轉(zhuǎn)動中心可行域(如圖9所示).此時，點擊【光標拾取】按鈕在可行域內(nèi)選擇凸輪轉(zhuǎn)動中心，本例選取點為圖9中點O1.

圖7 參數(shù)輸入界面Fig.7 The interface of the parameters input

圖8 從動件運動規(guī)律預覽界面Fig.8 Preview of follower’s motion

圖9 可行域求解界面Fig.9 The feasible region of the cam’s rotation center

選取凸輪轉(zhuǎn)動中心后，后臺程序計算獲得“結(jié)構(gòu)參數(shù)變化列表”并予以顯示.主、副凸輪最大壓力角分別為33.795°和28.417°，均滿足許用壓力角α=40°的設(shè)計要求.點擊【查看壓力角變化曲線】可以查看凸輪運動過程中壓力角變化曲線，如圖10所示.確認各設(shè)計參數(shù)無誤后，點擊【繪制凸輪廓線】即可獲得共軛凸輪工作廓線，如圖11所示.

圖10 壓力角變化曲線Fig.10 The variation curves of the pressure angle

圖11 共軛凸輪廓線Fig.11 Profile curves of conjugate cam

至此，已完成滿足許用壓力角要求的共軛凸輪設(shè)計.

3.2 運動仿真

將實例中自動生成的共軛凸輪工作廓線特征數(shù)據(jù)點導入SolidWorks 2014軟件中，生成三維虛擬樣機(如圖12所示)，并進行運動仿真，其結(jié)果如圖13所示.

圖13(c)中從動桿角加速度的仿真結(jié)果存在失真現(xiàn)象，其原因是由于在SolidWorks軟件中從動桿與凸輪采用碰撞關(guān)系進行運動仿真，仿真軟件自身也存在誤差.

將以上仿真結(jié)果與圖8對比可知，本軟件所設(shè)計的共軛凸輪能較好地滿足運動規(guī)律設(shè)計要求.

圖12 三維模型Fig.12 Three-dimensional model

(a) 從動桿角位移

(b) 從動桿角速度

(c) 從動桿角加速度

4 結(jié) 語

利用Matlab開發(fā)共軛凸輪計算機輔助設(shè)計軟件，可充分利用Matlab強大的數(shù)據(jù)處理、圖形處理和人機交互能力，借用其GUI對軟件進行模塊化設(shè)計，使編程過程大為簡化，同時，友好的人機交互界面便于參數(shù)輸入、數(shù)據(jù)查看及結(jié)果輸出.

壓力角是機構(gòu)傳力性能的重要衡量指標，本文研究了基于許用壓力角要求的共軛凸輪計算機輔助設(shè)計方法，解決了凸輪機構(gòu)中結(jié)構(gòu)參數(shù)設(shè)計復雜、使用困難問題.Matlab軟件減少了傳統(tǒng)設(shè)計軟件在設(shè)計出共軛凸輪廓線后需進行壓力角驗證的步驟，避免了因壓力角大于許用壓力角而重復調(diào)整結(jié)構(gòu)參數(shù)過程，從而大大提高了設(shè)計效率.同時，該軟件生成的數(shù)據(jù)文件可直接用于數(shù)控加工，實際應(yīng)用價值高.

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The Matlab-Based Development of Conjugate Cam Design

WEIBen1a,1b，SUNZhi-hong1a,1b，LIZi-jun2

( a. College of Mechanical Engineering；b. Engineering Research Center of Advanced Textile Machinery, Ministry of Education, 1. Donghua University， Shanghai 201620, China；2. Shandong Rifa Textile Machinery Limited Company， Liaocheng 252000， China)

To meet the requirement of allowed pressure angle, a conjugate cam computer-aided design software is developed based on Matlab which calculates the feasible region for the location of cam shaft visually. The software can generate the main and vice cam’s profile curves and its characteristic point data automatically after user picks the location of cam shaft from the feasible region through human-computer interaction, which helps to improve the efficiency substantially of conjugate cam’s design. Data files generated from Matlab software can be directly used in computer numerical control machining, so it also has an important practical applications value.

conjugate cam; pressure angle; the feasible region of the location of cam shaft; Matlab

1671-0444(2015)05-0663-07

2015 -03-17

魏 奔(1991—)，男，江西南昌人，碩士研究生，研究方向為機械設(shè)計及理論. E-mail: dhubenw@163.com 孫志宏(聯(lián)系人)，女，教授，E-mail: zhsun@dhu.edu.cn

TH 112.2；TP 391.7

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