文[1]介紹了如何使用幾何畫(huà)板找出已知橢圓的中心，受該文啟發(fā)，筆者利用幾何畫(huà)板進(jìn)行探究，找到了已知雙曲線的中心和已知拋物線的頂點(diǎn)，總結(jié)成文，作為文[1]的補(bǔ)充.

1找出已知雙曲線的中心

步驟如下：

圖11.在給定的雙曲線某支上任意作出兩條平行弦AB、CD；

2.將AB、CD的中點(diǎn)連接，得到直線l1；

3.在雙曲線某支上作出另外兩條平行弦EF、GH；

4.將EF、GH的中點(diǎn)連接，得到直線l2；

5.直線l1與l2的交點(diǎn)O就是雙曲線的中心.（圖1所示）

備注其中第二次作出的平行弦和第一次所作的平行弦不能平行.

該作法的證明與文[1]對(duì)橢圓所作的證明類似，此處不再累贅.

2找出已知拋物線的頂點(diǎn)

步驟如下：

1.在給定的拋物線上任意作出兩條平行弦AB、CD；

2.將AB、CD的中點(diǎn)連接，得到直線l1；

圖23.在直線l1上任取一點(diǎn)E，過(guò)E點(diǎn)作l1的垂線，交拋物線于FG；

4.取FG中點(diǎn)M，過(guò)M點(diǎn)作l1的平行線，得到直線l2；

5.直線l2與拋物線的交點(diǎn)O就是拋物線的頂點(diǎn).（圖2所示）

備注當(dāng)平行弦AB、CD垂直于拋物線的對(duì)稱軸的時(shí)候，所得的直線l1就是對(duì)稱軸，此時(shí)點(diǎn)M就在拋物線的對(duì)稱軸上，l1與拋物線的交點(diǎn)就是拋物線的頂點(diǎn).

下面給出該作法的證明.

證明：不妨設(shè)該拋物線的方程為y2=2px（p>0）.

（1）當(dāng)AB、CD的斜率不存在的時(shí)候，顯然它們的中點(diǎn)連線就是x軸，此時(shí)點(diǎn)M就是點(diǎn)E，在x軸上，直線l2是x軸，所以其與拋物線的交點(diǎn)O就是拋物線的頂點(diǎn).

（2）當(dāng)AB、CD的斜率存在的時(shí)候，顯然其斜率不為0.設(shè)A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）、D（x4，y4）.直線AB的方程為x-x1=m（y-y1），聯(lián)立方程組x-x1=m（y-y1），

y2=2px，消去x，整理可得y2-2pmy+2pmy1-2px1=0，由韋達(dá)定理可得y1+y2=2pm，于是弦AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為pm.同理，弦CD中點(diǎn)的縱坐標(biāo)也為pm.于是直線l1平行于拋物線的對(duì)稱軸.

因?yàn)镕G⊥l1，所以FG⊥拋物線的對(duì)稱軸，而M是FG的中點(diǎn)，所以點(diǎn)M在拋物線的對(duì)稱軸上，直線l2過(guò)點(diǎn)M且與l1平行，所以l2就是拋物線的對(duì)稱軸，所以l2與拋物線的交點(diǎn)O就是拋物線的頂點(diǎn).

參考文獻(xiàn)

[1]張偉.使用幾何畫(huà)板如何找出已知橢圓的中心[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2014（7）：23.

作者簡(jiǎn)介黃偉亮，男，廣東肇慶人，學(xué)士，廣東省佛山市南海區(qū)石門(mén)中學(xué)數(shù)學(xué)一級(jí)教師，發(fā)表文章50多篇.