樊啟滿(mǎn)

（江西省修水縣職業(yè)高中）

原題：在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，其外接圓半徑為6，且a+c=16.求△ABC面積的最大值.

此題是甘志國(guó)老師率先提出，他在《數(shù)學(xué)通訊》論壇里發(fā)了他的解法，引起了不小的爭(zhēng)論。解法如下：由正弦定理及題設(shè)可得BA+BC=16，所以點(diǎn)B在以A，C為焦點(diǎn)、長(zhǎng)軸長(zhǎng)為16 的橢圓上，當(dāng)點(diǎn)B從短軸的端點(diǎn)向長(zhǎng)軸的端點(diǎn)移動(dòng)時(shí)，△ABC的面積S在減小.不妨設(shè)點(diǎn)B在橢圓弧上運(yùn)動(dòng)且∠BAC是銳角，得S隨∠BAC的減小而減小.

事實(shí)上底邊AC的長(zhǎng)是隨著點(diǎn)B的位置不同而變化的，而設(shè)AC的長(zhǎng)不變，解出的結(jié)果似有不妥.

我的解法：

由于圓內(nèi)接三角形的對(duì)稱(chēng)性，當(dāng)AB取一有定義時(shí)的值時(shí)，對(duì)應(yīng)著四種三角形（如圖），解此題只需考慮這種情況：即固定A點(diǎn)，A，B，C三點(diǎn)在圓上按順時(shí)針?lè)较蚺帕?它又分為兩種情況：點(diǎn)B在AO連線(xiàn)下方與點(diǎn)B在AO連線(xiàn)上方.

當(dāng)點(diǎn)B在AO連線(xiàn)上及其下方時(shí)，面積的最小值為0，最大值為，此種情況不再贅述.下面只考慮另一種點(diǎn)B在AO連線(xiàn)上及其上方的情況：

當(dāng)AB=4 時(shí)，角B最小，角A為直角；當(dāng)時(shí)，角B為直角；當(dāng)AB=8 時(shí)，角B最大，為鈍角.

設(shè)AB=8-m，則m的范圍為（-4≤m≤4），所以BC=8+m，三角形ABC的面積為：

顯然這個(gè)函數(shù)是個(gè)偶函數(shù)，只需證明m∈［-4，0］上的單調(diào)性即可.

所以f（m）在上一定是增函數(shù)，函數(shù)值最大為28.

由于y1=（8-m）（8+m）在上是增函數(shù)，而y2=sinB在上是減函數(shù)，

考慮到g（m）=sinB，當(dāng)時(shí)是減函數(shù)，且值域?yàn)闀r(shí)也是減函數(shù)，且值域?yàn)榍液阌袝r(shí)

∵F（′m）時(shí)，F(xiàn)′（m）≥0，（fm）在m∈上是增函數(shù)，結(jié)合第一種情況，△ABC面積的最大值為