姚克儉

( 黑龍江建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150025 )

分段函數(shù)在分段點處可導(dǎo)性與連續(xù)性的判定方法

姚克儉

( 黑龍江建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150025 )

連續(xù)性與可導(dǎo)性的判定是高職學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程非常重要的一部分內(nèi)容，分段函數(shù)作為一類比較常見的函數(shù)，對學(xué)生后續(xù)專業(yè)課程及崗位實踐工作都有著非常重要的作用。分段函數(shù)可導(dǎo)性與連續(xù)性的學(xué)習(xí)是高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)的重點，也是難點所在。通過兩種類型的分段函數(shù)的連續(xù)性與可導(dǎo)性的討論方法，給出高職學(xué)院學(xué)生在這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)中應(yīng)掌握的方法，連續(xù)性與可導(dǎo)性的應(yīng)用可以解決高職學(xué)院高等數(shù)學(xué)很多相關(guān)問題，有比較高的實用價值。

分段函數(shù)；可導(dǎo)性；連續(xù)性

引言：分段函數(shù)的概念

在高職學(xué)院高等數(shù)學(xué)中，分段函數(shù)指的是函數(shù)在定義域內(nèi)存在若干特殊點，由這些特殊點將定義區(qū)間分成若干個子區(qū)間，每個子區(qū)間內(nèi)函數(shù)解析式都各不相同。這里我們假定每個函數(shù)解析式都為初等函數(shù)，也是連續(xù)函數(shù)。但分段函數(shù)一般說來不是初等函數(shù)，所以分段函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的討論是比較特殊的。我們也可以通過分段函數(shù)的圖像關(guān)系來形象地討論可導(dǎo)性、連續(xù)性，但這種方法顯然有很大的局限性，如何討論分段函數(shù)在分段點處的可導(dǎo)性與連續(xù)性，是本文的重點。我們主要討論以下兩種分段函數(shù)，即：

(1)

(2)

一、分段函數(shù)在分段點處的連續(xù)性

由此可以很簡單地判定這兩類分段函數(shù)在分段點處的連續(xù)性。

F(0-0)=F(0+0)=F(0)，所以函數(shù)F(x)在x=0處連續(xù)。

二、分段函數(shù)在分段點處的可導(dǎo)性

定理2 若函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)為可導(dǎo)函數(shù)，則f(x)必為連續(xù)函數(shù)；反之不成立。

由函數(shù)連續(xù)性的定義可知：函數(shù)f(x)在定義域為連續(xù)函數(shù)。

推論：若函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)不連續(xù)，則函數(shù)f(x)必不可導(dǎo)。

證明：利用導(dǎo)數(shù)的定義顯然可證。

由定理2-2可知，對于這種類型的分段函數(shù)的可導(dǎo)性的判定，我們應(yīng)利用左、右導(dǎo)數(shù)的定義討論在分段點處的左、右導(dǎo)數(shù)是否存在。若左、右導(dǎo)數(shù)分別存在且相等，則函數(shù)在分段點處必可導(dǎo)，則其一定連續(xù)；若左、右導(dǎo)數(shù)不相等，則函數(shù)在該點處不可導(dǎo)，此時討論在x=x0處的左、右極限是否存在，是否相等，從而可以得到函數(shù)F(x)在x=x0處是否連續(xù)。

我們可以利用定理2-2的結(jié)論進行討論

f(0-0)=0；f(0+0)=0;f(0)=0;所以函數(shù)f(x)在x=0處連續(xù)。

三、 討論可導(dǎo)性與連續(xù)性應(yīng)注意的問題

此類解法出現(xiàn)錯誤的原因在于：

f(1-0)≠f(1+0)，所以函數(shù)f(0)在x=1處不連續(xù)，由前面推論可知函數(shù)f(x)在x=1處不可導(dǎo)。

說明：用初等函數(shù)的求導(dǎo)方法討論分段函數(shù)在分段點處的可導(dǎo)性的時候，要注意分段函數(shù)在分段點處必須為可導(dǎo)函數(shù)，否則，這種方法將會失效，如：

綜上所述，分段函數(shù)是高職?？茖哟胃叩葦?shù)學(xué)的一類非常常見、也是很重要的一類函數(shù)，它在幫助我們解決高等數(shù)學(xué)有關(guān)連續(xù)性與可導(dǎo)性的學(xué)習(xí)中占有非常重要的地位。在討論分段函數(shù)在分段點處的可導(dǎo)性與連續(xù)性的時候，首先要討論分段函數(shù)在分段點處是否連續(xù)，若不連續(xù)，則不可導(dǎo)；其次，在討論在分段點處的可導(dǎo)性的時候，一定要用左、右導(dǎo)數(shù)的定義討論在分段點處的可導(dǎo)性，而不能用導(dǎo)數(shù)的四則運算進行討論，否則很容易出現(xiàn)錯誤；最后，如果分段函數(shù)在每一個子區(qū)間內(nèi)的函數(shù)為初等可導(dǎo)函數(shù)，其在分段點處連續(xù)，可以用初等函數(shù)的求導(dǎo)方法求左、右導(dǎo)數(shù)，討論其是否相等，從而討論在分段點處是否可導(dǎo)。這種討論方法能滿足高職學(xué)院學(xué)生的從簡心理，更好地掌握分段函數(shù)可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系及判定方法，有助于學(xué)生加深對分段函數(shù)的可導(dǎo)性、連續(xù)性的理解，搞清導(dǎo)數(shù)與連續(xù)的關(guān)系。這種方法在高職?？茖哟蔚母叩葦?shù)學(xué)教學(xué)中是一種很有效的教學(xué)方法，值得推廣。

[1]同濟大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系[M].北京：高等教育出版社，2002.

[2]塔懷鎖.分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)[J].北京工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報，2004(3).

[3]姜海勤.分段函數(shù)分段點可導(dǎo)性的一個定理及應(yīng)用[J].揚州職業(yè)大學(xué)學(xué)報，2008(5).

[4]姚克儉.基于數(shù)學(xué)模型及數(shù)學(xué)實驗的高職本科應(yīng)用數(shù)學(xué)課程設(shè)置的研究[J].中國校外教育，2014(7).

(責(zé)任編輯：孫建華)

Determination Method of Piecewise Function Differentiability and Continuity in Piecewise Point

YAO Kejian

( Heilongjiang College of Construction, Harbin, Heilongjiang 150025, China )

Continuity and derivative of judgment is a very important part of advanced mathematics in higher vocational colleges. As one of the more common functions, piecewise function plays a very important role on their following professional courses and practice post work. The guided and continuous learning of Piecewise function is not only the focus but also a difficulty of higher mathematics teaching. Through continuous piecewise function of two types of differentiability and discussion method, this paper emphasizes that the vocational college students should master the method in this part of the contents. The continuity and differentiability of the application of higher mathematics in higher vocational college can solve many related problems and have a high practical value.

piecewise function; differentiability; continuity

2015-04-20

姚克儉(1969-)，男，河北樂亭人，副教授，研究方向為應(yīng)用數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)建模。

G718.5

A

1671-4385(2015)04-0061-03