緊扣信源特點(diǎn)析題抓住關(guān)鍵信息建模*
——談中考應(yīng)用型問題的講評策略

☉江蘇省如皋市下原初中吳文俊

在中考中，應(yīng)用型問題是一種常見題型，以代數(shù)式、方程（組）、不等式和函數(shù)等為主要考查對象.這類考題一般取材于學(xué)生熟悉的生活情境，以文本、表格、圖像等形式呈現(xiàn)試題信息.這類考題由于信息量大，信息傳遞形式復(fù)雜，成為了學(xué)生的應(yīng)試難點(diǎn).為了幫助學(xué)生形成突破這一難點(diǎn)的策略，我們可以抓住“信源”（信息的載體）特點(diǎn)詳細(xì)剖析題目，抓住捕獲到的關(guān)鍵信息建構(gòu)解題模型化解問題.

一、拆解函數(shù)圖像，挖掘適用模型

以圖像作為信源的應(yīng)用型問題在中考中是最常見的.一兩幅圖像，配上少量的文本信息，讓試題看起來簡潔明了，但實(shí)際求解卻面臨眾多問題.能不能讀懂圖像，能不能將圖像和文本對應(yīng)起來，能不能抓住圖像和文本的關(guān)鍵信息建構(gòu)適用的解題模型，這些將都影響著問題的解決.

例1甲、乙兩車從A地駛向B地，并以各自的速度勻速行駛，甲車比乙車早行駛2h，并且甲車途中休息了0.5h，如圖1，是甲乙兩車行駛的距離y（km）與時(shí)間x（h）的函數(shù)圖像.

（1）求出甲車行駛路程y（km）與時(shí)間x（h）的函數(shù)解析式，并寫出相應(yīng)的x的取值范圍；

（2）當(dāng)乙車行駛多長時(shí)間時(shí)，兩車恰好相距50km.

1.例題分析

這道試題的信源是一幅圖像和幾段文本，其中，文本信息量較小，題干部分只有75個(gè)字.顯然，本題的解答就應(yīng)從圖像入手了.從圖像看，第（1）題所求的y與x的函數(shù)解析式對應(yīng)著圖中的折線OABD，這是一個(gè)分段函數(shù)，OA對應(yīng)著范圍0≤x≤1，AB對應(yīng)著范圍1＜x≤1.5，BD對應(yīng)著范圍1.5＜x≤7，只要將這些對應(yīng)段內(nèi)的函數(shù)關(guān)系式求出即可解答第（1）題.第（2）題，“兩車恰好相距50km”包含兩種可能：①甲車行駛路程y（km）（下稱y甲）比乙車行駛路程y（km）（下稱y乙）多50km；②y甲比y乙少50km.體現(xiàn)在圖像上，就是“x取同一值時(shí)，線段BD位于線段EF的上方或下方50km處.這樣一來，在求出BD的解析式后，就可以直接借助兩條線段的位置關(guān)系建立不同的方程求解.

圖1

2.教學(xué)簡錄

（1）拆圖.

問題：①圖像中共有幾條線？②是什么線？③這些線一般與什么函數(shù)有關(guān)？

學(xué)生圍繞問題組展開討論，將圖中的折線OABD與分段函數(shù)、線段EF與一次函數(shù)關(guān)聯(lián)在一起.

（2）析點(diǎn).

學(xué)生活動(dòng)：找出圖像中的幾種特殊點(diǎn)：起點(diǎn)、終點(diǎn)（說明：教學(xué)時(shí)，我們默認(rèn)線左側(cè)的端點(diǎn)是起點(diǎn)，右側(cè)的端點(diǎn)為終點(diǎn)，下同）、交點(diǎn)和拐點(diǎn)，并說說它們的含義.

學(xué)生將圖像和文本對應(yīng)在一起，將圖1中的O，A，B，C，D，E，F(xiàn)這七個(gè)點(diǎn)的含義在小組中進(jìn)行了交流，并將能寫出的坐標(biāo)標(biāo)注在圖像上.

（3）建模.

學(xué)生活動(dòng)：先分別求出圖1中的線段OA，BC，EF的解析式，再思考例1中的兩個(gè)問題該如何解答.

學(xué)生用待定系數(shù)法分別求出了解析式，并在小組中交流了例1的解法.教師對學(xué)生給出的解法進(jìn)行了點(diǎn)評，并將第（2）題的兩種情況進(jìn)行了投影.

3.過程簡析

函數(shù)圖像信息題，因?yàn)閳D像的存在而得名，圖像也就成為了學(xué)生審題的難點(diǎn).拆圖，讓復(fù)雜的圖形簡單化，學(xué)生會努力將圖像與自己學(xué)過的函數(shù)關(guān)聯(lián)起來，與問題解決關(guān)聯(lián)不大的信息會自然淡出；析點(diǎn)，讓關(guān)鍵點(diǎn)“浮出水面”，理清這些點(diǎn)的坐標(biāo)的實(shí)際含義與圖像含義，將會為模型的建構(gòu)掃清障礙；建模，基于線與圖像關(guān)系的分析和點(diǎn)的坐標(biāo)的分析，在文圖呼應(yīng)中，函數(shù)模型自然生成，由此生成的方程、不等式等模型就成為了學(xué)生化解問題的工具.拆圖—析點(diǎn)—建模，這不僅是教師的教學(xué)歷程，更應(yīng)成為學(xué)生分析函數(shù)圖像信息題的歷程，是學(xué)生獲得正確解題思路，形成規(guī)范解題過程的必經(jīng)步驟，我們應(yīng)在教學(xué)中，將這一程序化分析套路滲透在教學(xué)之中，使其內(nèi)化為思維習(xí)慣，外顯為解題行為.

二、剖析關(guān)鍵詞句，準(zhǔn)確關(guān)聯(lián)模型

在中考中，還存在著一些只有文本信息的應(yīng)用型問題.這類考題，只通過文本傳遞信息，題目中不存在表格或圖像等其他信息.豐富的文本信息中，既包含著緊貼學(xué)生實(shí)際生活的問題情境，還包含著能夠解決問題的數(shù)學(xué)模型.為了找尋這些“或隱或現(xiàn)”的數(shù)學(xué)模型，我們應(yīng)加強(qiáng)審題指導(dǎo)，讓學(xué)生將關(guān)鍵詞句與常見數(shù)學(xué)模型關(guān)聯(lián)起來，形成問題解決的常用套路.

例2某校計(jì)劃購買甲、乙兩種樹苗共1000株用以綠化校園，甲種樹苗每株25元，乙種樹苗每株30元，通過調(diào)查了解，甲、乙兩種樹苗成活率分別是90%和95%.

（1）若購買這種樹苗共用去28000元，則甲、乙兩種樹苗各購買多少株？

（2）要使這批樹苗的總成活率不低于92%，則甲種樹苗最多購買多少株？

（3）在（2）的條件下，應(yīng)如何選購樹苗，使購買樹苗的費(fèi)用最低？并求出最低費(fèi)用.

1.例題分析

這道試題的題干和問題都是以文字信息給出的，作為信息源頭的文本，承載著大量信息.因此，解答本題應(yīng)從文本入手，剖析題中的關(guān)鍵詞，找尋出問題解決的數(shù)學(xué)模型.問題（1），兩個(gè)“共”字，給出兩個(gè)等量關(guān)系“甲種樹苗的棵樹+乙種樹苗的棵樹=1000”和“甲種樹苗的費(fèi)用+乙種樹苗的費(fèi)用=28000”，這是建立方程組的依據(jù)；問題（2），抓住題中的關(guān)鍵詞“不低于”可以建立不等式模型求解；問題（3），“費(fèi)用最低”指向了函數(shù)，利用“買樹苗的費(fèi)用”與樹苗棵樹之間的關(guān)系建立函數(shù)模型，再結(jié)合問題（2）中的取值范圍確定一次函數(shù)的最大值，問題就可以得到化解.

2.教學(xué)簡錄

學(xué)生活動(dòng)：認(rèn)真閱讀例2，將你認(rèn)為重要的詞句用筆畫下來，并想一想這些語句與哪些數(shù)學(xué)模型有關(guān).

學(xué)生讀題，教師巡視，并對學(xué)生標(biāo)注進(jìn)行指點(diǎn).3分鐘后，教師組織學(xué)生開始全班交流.

教師：你畫出來哪些關(guān)鍵詞句呢？

學(xué)生1：我畫的是“共1000株”，“共用去28000元”，“總成活率不低于92%”和“費(fèi)用最低”這四處.

教師：為什么畫這些呢？

學(xué)生2：這些關(guān)鍵詞與數(shù)學(xué)模型有關(guān).

教師：是嗎？

學(xué)生3：“共1000株”，“共用去28000元”是明顯的等量關(guān)系，可以建構(gòu)出方程模型；“總成活率不低于92%”中的“不低于”很明顯是個(gè)不等式模型；第（3）題中，根據(jù)題意可得，“費(fèi)用最低”一定與函數(shù)有關(guān).

教師：具體說說與哪些函數(shù)有關(guān)？

學(xué)生4：初中階段學(xué)過的三種函數(shù)都有關(guān)系，其中用的比較多的是帶取值范圍的一次函數(shù)和二次函數(shù).

教師：看來最值問題與函數(shù)有關(guān)在你們的腦海中已經(jīng)扎根了.接下來，就請大家根據(jù)你們的標(biāo)記和發(fā)現(xiàn)的解題模型解答這道例題.

3.過程簡析

文本類“信源”，一般會將題中數(shù)量關(guān)系與變化規(guī)律蘊(yùn)藏在關(guān)鍵詞句中.教者抓住這道例題中的信源特點(diǎn)，讓學(xué)生通過“讀題標(biāo)注”的形式，將關(guān)鍵信息“定格”，為建構(gòu)出有效解題模型夯實(shí)了基礎(chǔ).例題中的兩個(gè)“共”字包含著“和”的味道，是列方程的依據(jù)；“不低于”可以轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號“≥”，這是明顯的不等式標(biāo)記；“最低”說明要求“極值”，這與函數(shù)是一定有關(guān)聯(lián)的.學(xué)生的標(biāo)注與解讀，將關(guān)鍵詞句與數(shù)學(xué)模型緊密聯(lián)系在一起，問題解決的思路變得十分清晰.接下來，在學(xué)生的自主解答和全班交流中，審題成果轉(zhuǎn)化為解題過程，強(qiáng)化了學(xué)生對“關(guān)鍵詞句的解題作用”的體驗(yàn)與感悟，這對他們的分析問題和解決問題能力的提升是大有益處的.

三、解讀表格信息，建構(gòu)適用模型

初中階段，表格也常作為“信源”存在于應(yīng)用型問題中.一般地，表格由一行或多行單元格組成，表格的第一行或第一列為表頭，它指明了表格的內(nèi)容和意義.由此可見，解讀表格信息應(yīng)從表頭入手，明晰表頭的含義，在弄清表頭所對應(yīng)的列或行的含義的基礎(chǔ)上，理清表格中每一個(gè)單元格的實(shí)際意義，從而與方程、不等式及函數(shù)等數(shù)學(xué)模型關(guān)聯(lián)起來，找到問題解決的便捷通道.

例3某市政府為了增強(qiáng)城鎮(zhèn)居民抵御大病風(fēng)險(xiǎn)的能力，積極完善城鎮(zhèn)居民醫(yī)療保險(xiǎn)制度，納入醫(yī)療保險(xiǎn)的居民的大病住院醫(yī)療費(fèi)用的報(bào)銷比例標(biāo)準(zhǔn)如下表：

醫(yī)療費(fèi)用范圍報(bào)銷比例標(biāo)準(zhǔn)不超過8000元不予報(bào)銷超過8000元且不超過30000元的部分50%超過30000元且不超過50000元的部分60%超過50000元的部分70%

設(shè)享受醫(yī)保的某居民一年的大病住院醫(yī)療費(fèi)用為x元，按上述標(biāo)準(zhǔn)報(bào)銷的金額為y元.

（1）直接寫出x≤50000時(shí)，y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并注明自變量x的取值范圍；

（2）若某居民大病住院醫(yī)療費(fèi)用按標(biāo)準(zhǔn)報(bào)銷了20000元，問他住院醫(yī)療費(fèi)用是多少元？

1.例題分析

很明顯，本題重點(diǎn)考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，試題選擇了表格作為信息的主要呈現(xiàn)方式，將“醫(yī)療費(fèi)用范圍”及與之相對的“報(bào)銷比例標(biāo)準(zhǔn)”對應(yīng)呈現(xiàn)在表格之中.在這張表格中，表頭安排在第一行，詳細(xì)闡述了表格的兩列的含義，第一列為“醫(yī)療費(fèi)用范圍”，第二列為“報(bào)銷比例標(biāo)準(zhǔn)”.解答此題，解讀表格成為了關(guān)鍵.首先，要弄清楚x、y的意義和表格中單元格的意義，再結(jié)合表格中的信息對報(bào)銷金額y（元）進(jìn)行分段，根據(jù)表格信息，問題（1）中的y被分為3段：“0＜x≤8000”，“8000＜x≤30000”，“30000＜x≤50000”，抓住表格中的分段信息，求出函數(shù)關(guān)系式，問題（1）得解.問題（2），先要確定20000元的報(bào)銷額度落在函數(shù)的哪一段中，從而利用對應(yīng)段的函數(shù)關(guān)系式建構(gòu)方程求解.

2.教學(xué)簡錄

學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生讀題，并在小組中交流各自獲得的信息.3分鐘后，小組交流結(jié)束.

教師：說說你獲得的信息吧！

學(xué)生1：“報(bào)銷比例標(biāo)準(zhǔn)”共分為四段，8000元，30000元，50000元是三條分界線，表格中給出了詳細(xì)的報(bào)銷比例.

教師：真不錯(cuò)！你是怎么找到這些分界線的？

學(xué)生2：表格共兩列，第一列第一行是“醫(yī)療費(fèi)用范圍”，第二列第一行是“報(bào)銷比例標(biāo)準(zhǔn)”.

教師：這兩個(gè)單元格告訴我們什么？

學(xué)生3：“醫(yī)療費(fèi)用范圍”這一列，將醫(yī)療費(fèi)用的范圍進(jìn)行了分段，“報(bào)銷比例標(biāo)準(zhǔn)”這一列給出了與第一列的范圍對應(yīng)的報(bào)銷比例.

教師：說得很好！看來我們解讀表格應(yīng)從表頭入手，不僅要弄懂每一個(gè)單元格的意義，還要將表格中的單元格對應(yīng)起來，剖析其中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律.接下來，就請大家用你們獲得的信息解決這道例題.

3.過程簡析

應(yīng)用型問題的信息傳遞方式很多，表格是較為常見一種方式.為了培養(yǎng)學(xué)生解讀表格，從表格中捕獲有用解題信息的能力，教者在學(xué)生自主審題后，讓他們將自己獲得信息在小組和全班進(jìn)行了交流，通過不同層面的交流，學(xué)生將自己獲取信息的過程重新梳理一遍，將解讀表格信息的方法內(nèi)化為個(gè)體經(jīng)驗(yàn).在歷經(jīng)多次強(qiáng)化訓(xùn)練后，這種個(gè)體經(jīng)驗(yàn)將會逐步轉(zhuǎn)化為個(gè)體的解題行為，使學(xué)生在解決表格信息型問題時(shí)能“從表格的表頭入手，緊扣單元格意義”逐級分析，找出其中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，從而建構(gòu)出解題適用的數(shù)學(xué)模型.

應(yīng)用型問題，是中考的熱點(diǎn)問題，其綜合性、時(shí)代性給試題的信息解讀增加了很大的難度.為了幫助學(xué)生形成應(yīng)用型問題的個(gè)體化分析方法，我們應(yīng)將不同信源的分析方法在教學(xué)中呈現(xiàn)給學(xué)生，讓他們在反復(fù)解答、交流中，將這些方法不斷內(nèi)化，漸進(jìn)中成為個(gè)體的分析和解題行為.要指導(dǎo)學(xué)生解讀不同信源的方法，圖像信源要立足文圖呼應(yīng)，在拆解圖像中捕獲關(guān)鍵點(diǎn)；文本信源應(yīng)從關(guān)鍵詞句入手，將文本與模型關(guān)聯(lián)起來；表格信源應(yīng)從表頭分析出發(fā)，從單元格意義入手挖掘解題模型.總之，化解圖像信息題，應(yīng)“緊扣信源特點(diǎn)析題，抓住關(guān)鍵信息建模”.H

*本文為江蘇省如皋市教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃立項(xiàng)課題“提高初三綜合題評講效率的研究”的研究成果．本文作者系該課題主持人．