吳建忠

【摘 要】一些數(shù)學(xué)知識(shí)之間存在著實(shí)質(zhì)性的聯(lián)系，這種聯(lián)系不僅體現(xiàn)在相同的內(nèi)容領(lǐng)域，而且也體現(xiàn)在不同的內(nèi)容領(lǐng)域。幫助學(xué)生理解類(lèi)似的實(shí)質(zhì)性聯(lián)系，是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù)。

【關(guān)鍵詞】平面直角坐標(biāo)系;數(shù)形結(jié)合;認(rèn)知結(jié)構(gòu);知識(shí)與方法

人教版課標(biāo)教材九年級(jí)下冊(cè)“26.3實(shí)際問(wèn)題與二次函數(shù)”25頁(yè)的探究3有這樣一個(gè)問(wèn)題：圖中的拋物線(xiàn)形拱橋，當(dāng)水面在l時(shí)，拱頂離水面2m。水面寬4m。水面下降1m，水面寬度增加多少？

本題學(xué)生根據(jù)自身的知識(shí)基礎(chǔ)、能力水平和解題習(xí)慣，自主地建立不同的平面直角坐標(biāo)系。

根據(jù)學(xué)生直角坐標(biāo)系建立的不同以及解釋方法的不同，將學(xué)生整體的思維活動(dòng)直觀化，展現(xiàn)了學(xué)生真實(shí)的、獨(dú)特的思維方式，學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法水平和數(shù)學(xué)能力結(jié)構(gòu)層次得以充分體現(xiàn)，展示了學(xué)生真實(shí)的數(shù)學(xué)能力結(jié)構(gòu)。

現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際問(wèn)題在二次函數(shù)這一章中占有相當(dāng)?shù)谋壤?，教材力求讓學(xué)生明白“函數(shù)來(lái)源于現(xiàn)實(shí)生活，而又服務(wù)于現(xiàn)實(shí)生活”這樣一個(gè)道理。在研究“二次函數(shù)”這一數(shù)學(xué)模型時(shí)，一直滲透著“數(shù)形結(jié)合”的思想和方法。探究3被安排在本章內(nèi)容最后一節(jié)的最后一個(gè)探究，足見(jiàn)其價(jià)值，充分體現(xiàn)了初中函數(shù)教學(xué)“螺旋上升”的最高境界！

為進(jìn)一步完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)、應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)，我們常進(jìn)行如下類(lèi)似鞏固練習(xí)：

例：如圖，公園要建造圓形的噴水池，在水池中央垂直于水面處安裝一個(gè)柱子OA，O恰在水面中心，OA=1.25m。水流在各個(gè)方向沿形狀相同的拋物線(xiàn)路線(xiàn)落下，為使水流形狀較為漂亮，要求設(shè)計(jì)成水流在離OA距離為1m處達(dá)到距水面最大高度2.25m。

（1）若不計(jì)其他因素，那么水池的半徑至少要多少米，才能使噴出的水流不致落到池外？

（2）若水流噴出的拋物線(xiàn)形狀與（1）相同，水池的半徑為3.5m，要使水流不落到池外，此時(shí)水流最大高度應(yīng)達(dá)多少米？（精確到0.1m）

學(xué)生經(jīng)過(guò)慎思后往往選擇建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，如下圖所示：

簡(jiǎn)解：（1）由于拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為（1，2.25），因此設(shè)y=a（x-1）2+2.25，又圖象過(guò)點(diǎn)（0，1.25），所以a=-1，

所以y=-（x-1）2+2.25。令y=0，得x1=-0.5（舍去），x2=2.5。 所以水池的半徑至少要2.5m。

（2）因?yàn)閽佄锞€(xiàn)形狀與（1）相同，所以設(shè)y=-（x-h）2+k，將點(diǎn)（0，1.25）、（3.5，0）代入，解方程組得h= ，k=3 ≈3.7。 所以此時(shí)水流最大高度達(dá)3.7m。

恰當(dāng)?shù)刈寣W(xué)生經(jīng)歷這樣的過(guò)程，對(duì)于他們理解數(shù)學(xué)知識(shí)與方法，形成良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣、增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)、提高解決問(wèn)題的能力有著重要的作用。選用這些素材，不僅有利于學(xué)生理解所學(xué)知識(shí)的內(nèi)涵，還能更好地揭示相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，有利于學(xué)生從整體上理解數(shù)學(xué)，構(gòu)建數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

止步于此，筆者認(rèn)為對(duì)于發(fā)展學(xué)生思維的廣闊性和靈活性還不夠，上述一系列數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決只是關(guān)注了平面直角坐標(biāo)法在二次函數(shù)中的應(yīng)用。但我們更應(yīng)注意到一些數(shù)學(xué)知識(shí)之間存在著實(shí)質(zhì)性的聯(lián)系，這種聯(lián)系不僅體現(xiàn)在相同的內(nèi)容領(lǐng)域，而且也體現(xiàn)在不同的內(nèi)容領(lǐng)域。幫助學(xué)生理解類(lèi)似的實(shí)質(zhì)性聯(lián)系，是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù)。

后續(xù)教學(xué)中，拓展類(lèi)似的問(wèn)題是很有必要的。例：（2013年福建·龍巖卷，第9題）如圖，邊長(zhǎng)分別為4和8的兩個(gè)正方形ABCD和CEFG并排放在一起，連結(jié)BD并延長(zhǎng)交EG于點(diǎn)T，交FG于點(diǎn)P，則GT=（ ?）

（A）. ?（B）.2 ?（C）.2 ?（D）.1

本題運(yùn)用正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)和判定可以求解;運(yùn)用相似三角形的有關(guān)知識(shí)也可以求解。筆者認(rèn)為運(yùn)用平面直角坐標(biāo)系法也是一個(gè)不錯(cuò)的選擇。如圖，可根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求出直線(xiàn)BP與直線(xiàn)GE的函數(shù)解析式，然后求出交點(diǎn)T的坐標(biāo)，再用兩點(diǎn)間的距離公式求出GT的長(zhǎng)。

又例：（2014年黑龍江·農(nóng)墾卷，第28題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB于點(diǎn)D。點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿線(xiàn)段DC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿線(xiàn)段CA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，速度都為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到C時(shí)，兩點(diǎn)都停止.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒。

（1）求線(xiàn)段CD的長(zhǎng);

（2）設(shè)△CPQ的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并確定在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中是否存在某一時(shí)刻t，使得S△CPQ：S△ABC=9：100？若存在，求出t的值;若不存在，說(shuō)明理由。

（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△CPQ為等腰三角形？

分析：（1）利用勾股定理可求出AB長(zhǎng)，再用等積法就可求出線(xiàn)段CD的長(zhǎng)。

（2）過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AC，垂足為H，通過(guò)三角形相似即可用t的代數(shù)式表示PH，從而可以求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式;利用S△CPQ：S△ABC=9：100建立t的方程，解方程即可解決問(wèn)題。

（3）可分三種情況進(jìn)行討論：由CQ=CP可建立關(guān)于t的方程，從而求出t;由PQ=PC或QC=QP不能直接得到關(guān)于t的方程，可借助于等腰三角形的三線(xiàn)合一及三角形相似，即可建立關(guān)于t的方程，從而求出t。

對(duì)于（2）、（3）兩個(gè)問(wèn)題，筆者認(rèn)為建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，可得Q（0，t）。過(guò)點(diǎn)P作PH⊥CB，垂足為H（作y軸的垂線(xiàn)也可），利用相似三角形的知識(shí)可以求出PH=0.6（4.8-t），CH=0.8（4.8-t），所以P（0.8（4.8-t），0.6（4.8-t））。問(wèn)題（2）：利用S△CPQ：S△ABC=9：100建立t的方程迎刃而解。問(wèn)題（3）：CQ=t，CP=4.8-t，運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式得QP2=〔0.8（4.8-t）〕2+〔0.6（4.8-t）-t〕2。然后分三種情況建立關(guān)于t的方程求解即可。這樣的解題思路很流暢，一氣呵成，可謂心曠神怡。

由此，我們可以看到：利用平面直角坐標(biāo)系可以把數(shù)與圖形有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，有利于用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題，也有利于借助圖形直觀地探索數(shù)量關(guān)系的規(guī)律性。在義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們希望學(xué)生除了獲得必要的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能外，還能感悟數(shù)學(xué)的基本思想，回歸數(shù)學(xué)的本質(zhì)，發(fā)揮數(shù)學(xué)教學(xué)的最大價(jià)值。

【參考文獻(xiàn)】

[1]中華人民共和國(guó)教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）.北京師范大學(xué)出版社，2012.1

[2]馬復(fù)，凌曉牧.新版課程標(biāo)準(zhǔn)解析與教學(xué)指導(dǎo)（初中數(shù)學(xué)）.北京師范大學(xué)出版社，2012.7

（作者單位：江蘇省海門(mén)市常樂(lè)初級(jí)中學(xué)）