張小會，周順華，宮全美，楊新文

（同濟大學 道路與交通工程教育部重點實驗室，上海201804）

在我國已建或規(guī)劃的鐵路線路中，無砟軌道線路占有相當大的比例，而板式無砟軌道由于其具有穩(wěn)定性好、平穩(wěn)性高及維修性優(yōu)良等特點，逐步成為其軌道結(jié)構(gòu)選擇的主流模式.目前，我國板式無砟軌道主要修建于隧道內(nèi)、樁基礎(chǔ)和復(fù)合地基基礎(chǔ)之上，土建成本巨大.關(guān)于在土質(zhì)路基上修建板式無砟軌道的研究尚處于起步階段，其技術(shù)難點在于在部分地區(qū)，特別是軟土地區(qū)，板式無砟軌道由于受到周邊荷載環(huán)境變化的影響，不可避免地出現(xiàn)路基不均勻沉降的情況，直接影響列車的運行安全和舒適性.因此確定合理的路基不均勻沉降限值是其亟需解決的問題之一.然而現(xiàn)有的無砟軌道規(guī)范中路基不均勻沉降限值的制定主要基于無砟軌道結(jié)構(gòu)強度設(shè)計理論，并未考慮路基不均勻沉降對于系統(tǒng)動力響應(yīng)的影響，而其動力響應(yīng)將直接影響列車的運行安全性、乘客舒適性以及相關(guān)結(jié)構(gòu)部件的損耗.

大量學者對路基不均勻沉降影響系統(tǒng)動力響應(yīng)的問題進行了研究.Hunt［1］對路橋過渡段處不均勻沉降形式進行了研究，得到了過渡段處路基不均勻沉降對輪軌力和扣件力的影響.蔡成標等［2］通過建立列車-路基上板式軌道動力學模型，對路基不均勻沉降波長為20m的不同沉降幅值情況下的動力響應(yīng)進行了研究，得出了在此情況下沉降幅值為20 mm的沉降控制標準是合理的結(jié)論.周萌等［3］通過建立三維有限元模型，通過對軌道結(jié)構(gòu)在20m路基不均勻沉降波長下的受力及變形分析，肯定了文獻［2］的結(jié)論，并從混凝土抗拉極限強度的角度提出了混凝土底座配受拉鋼筋的建議.韓義濤等［4］通過建立車輛-板式軌道垂向動力模型，考慮路基不均勻沉降完全轉(zhuǎn)化為軌面不均勻沉降，對路基不均勻沉降波長為20m的情況下的動力響應(yīng)進行了計算，并引入列車速度的影響，提出了考慮車速的路基不均勻沉降限值.徐慶元等［5-6］將車體視為多剛度多自由度系統(tǒng)建立動力方程，鋼軌及下部結(jié)構(gòu)均采用大型三維有限元建立，通過輪軌力來實現(xiàn)兩個子系統(tǒng)的交互計算，對列車速度為350km·h-1、路基不均勻沉降波長為20m的各種類型無砟軌道的動力響應(yīng)進行了計算，并引入了溫度應(yīng)力的影響，提出了相關(guān)路基不均勻沉降的限值標準.

現(xiàn)有研究僅對特定波長情況下，路基不均勻沉降幅值影響系統(tǒng)動力響應(yīng)進行了分析，對不同的路基不均勻沉降波長對系統(tǒng)動力響應(yīng)的影響缺乏研究.此外，傳統(tǒng)的車輛-板式無砟軌道動力分析方法不考慮軌道結(jié)構(gòu)重力作用，在車輛荷載到達之前軌道結(jié)構(gòu)會處于懸空狀態(tài)（見圖1a），車輛荷載到達后軌道結(jié)構(gòu)開始下沉并與沉降后的路基頂面接觸.這與實際情況存在明顯差異（見圖1b），并會帶來相關(guān)動力響應(yīng)的計算偏差，因而傳統(tǒng)模型在處理這類問題時存在一定的局限性.

圖1 列車通過前不均勻沉降情況下軌道結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Track structure before train arrival

為解決以上問題，本文以經(jīng)典車輛-軌道耦合動力學［7］為基礎(chǔ)，推導(dǎo)了考慮重力的板式軌道結(jié)構(gòu)振動方程，結(jié)合多剛體的車輛系統(tǒng)動力學模型，建立考慮重力的車輛-板式軌道垂向耦合分析模型，提出通過路基反力變化模擬路基不均勻沉降的具體方法，并對模型和方法進行了必要的驗證.利用該模型和方法，針對目前板式軌道路基不均勻沉降規(guī)范限值中存在的問題，本文分析了行車速度、路基不均勻沉降幅值、波長對于車輛-板式軌道系統(tǒng)動力響應(yīng)的影響，選擇輪軌力、車體垂向加速度及輪重減載率等作為評價指標，從動力響應(yīng)角度，對路基不均勻沉降規(guī)范的制定提出一定的意見和建議.

1 考慮重力的車輛-板式軌道垂向模型

1.1 車輛動力學模型

車輛被模擬為包括車體、轉(zhuǎn)向架、輪對在內(nèi)的多剛體系統(tǒng)，具有10個自由度，包括車體沉浮和點頭運動、前后轉(zhuǎn)向架沉浮和點頭運動、4個輪對垂向運動，車體與轉(zhuǎn)向架之間通過二系懸掛相連，轉(zhuǎn)向架與輪對之間通過一系懸掛相連［7］.

車輛模型中各剛體在各自由度上的動力學方程可以統(tǒng)一表示成如下形式：

其中：M，C和K分別為車輛系統(tǒng)的質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣；X··，X·和X分別為車輛系統(tǒng)的廣義加速度矢量、廣義速度矢量和廣義位移矢量；P為車輛系統(tǒng)的廣義荷載矢量.車輛模型及后續(xù)提出考慮重力的板式軌道結(jié)構(gòu)動力學模型的求解均采用文獻［8］中新型顯式積分方法進行求解.輪軌接觸關(guān)系為車輛振動和板式軌道結(jié)構(gòu)振動兩個耦合因素之間的耦合條件，通過非線性輪軌力來模擬，輪軌力通過Hertz非線性彈性接觸理論求解.

1.2 板式軌道動力學模型

在考慮重力的板式軌道結(jié)構(gòu)動力學模型中，鋼軌、軌道板及混凝土底座均被模擬為歐拉梁：其中鋼軌的邊界條件為兩端簡支，軌道板及混凝土底座的邊界條件為兩端自由.CA砂漿（水泥乳化瀝青砂漿）及路基被視為離散的彈簧阻尼系統(tǒng)，見圖2.

以y（x，t）表示歐拉梁的垂向位移，并規(guī)定其正方向為垂直向下，mr為單位長度的歐拉梁質(zhì)量，EI為歐拉梁截面抗彎剛度，在歐拉梁的任意截面x處選取一微段dx，其質(zhì)量為mrgdx，微段上作用有彎矩M、剪力Q及外力F（x，t）dx，見圖3.

根據(jù)牛頓定律，考慮微段所受重力，忽略截面轉(zhuǎn)動的影響，結(jié)合剪力、彎矩及撓度之間的關(guān)系，在垂直方向上得到考慮重力的歐拉梁振動微分方程

圖2 軌道結(jié)構(gòu)力學模型圖Fig.2 Model of track structural mechanics

圖3 考慮重力的鋼軌微段受力分析模型Fig.3 Mechanical analysis of rail micro segment considering self-weight of structure

求解此四階偏微分方程組采用Ritz法，結(jié)合簡支歐拉梁和兩端自由歐拉梁的振型函數(shù)［9］，可得到如下鋼軌、軌道板和底座板的振型坐標二階常微分方程組的基本形式：

鋼軌

軌道板

底座板

式中：ErIr，EsIs和EbIb分別為鋼軌、軌道板和底座板的界面抗彎剛度；mrr，ms和mb分別為鋼軌、軌道板和底座板的單位長度的質(zhì)量；N，n0和m0分別為鋼軌長度范圍內(nèi)扣結(jié)點個數(shù)、一塊軌道板局部坐標系中坐標點個數(shù)和一塊底座板局部坐標系中坐標點個數(shù)；xwj，xi，xsi和xbi分別為第j位車輪的運動坐標、總體坐標系中第i個扣結(jié)點位置、在一塊軌道板的局部坐標系中第i個坐標點位置和在一塊底座板板的局部坐標系中第i個坐標點位置；Pj（t）為第j位車輪的輪軌力；Frsi（t），F(xiàn)cai（t）和Ffdi（t）分別為t時刻的扣件反力、CA砂漿支承反力和地基反力；qk（t），Tk（t）和Bk（t）分別為鋼軌、軌道板和底座板的正則振型坐標；lr，ls和lb分別為鋼軌長度、一塊軌道板長度和一塊底座板長度；Yk，Xk和Dk分別為鋼軌對應(yīng)的簡支梁正交函數(shù)系、軌道板對應(yīng)的自由梁正交函數(shù)系和底座板對應(yīng)的自由梁正交函數(shù)系；βsk和βbk分別為軌道板和底座板對應(yīng)的常數(shù)，其取值與ls和lb有關(guān)；NM，NS和NB分別為所截取的鋼軌、軌道板和底座板振型階數(shù)；GS（k）和GB（k）分別為軌道板和底座板對應(yīng)的重力附加函數(shù)，其取值為

其中，Ck為自由梁系數(shù).

1.3 路基不均勻沉降模擬

路基不均勻沉降在振動方程中通過以下方式體現(xiàn)：路基不均勻沉降直接影響地基反力，進而對整個系統(tǒng)產(chǎn)生影響，并通過非線性彈簧進行模擬.地基反力計算公式為

1.4 模型驗證

為驗證在車輛荷載作用下，本文提出的考慮重力的車輛-板式軌道垂向耦合模型能準確地描述系統(tǒng)相關(guān)動力響應(yīng)，現(xiàn)將其與文獻［5］的計算結(jié)果進行對比.假設(shè)路基不均勻沉降形式為全波長余弦不均勻沉降，其表達式為

式中：f0為路基不均勻沉降幅值；l0為路基不均勻沉降波長.

所選取用于對比的是車速為350km·h-1、軌道形式為I型板、路基不平順波長為20m、不均勻沉降幅值為20mm工況.本文模型參數(shù)按文獻［5］中取值，由于文獻［5］并未對路基不平順發(fā)生位置進行說明，本文模型計算時將路基不均勻沉降布置于兩塊混凝土底座（共20m長）下部.

將相關(guān)響應(yīng)對比情況列于表1.

表1 動力響應(yīng)對比Tab.1 Comparison of dynamic responses

由表1的對比可知，除扣件最大拉力以外其他所有動力響應(yīng)與文獻［5］中相比差異均在10%以內(nèi).造成兩模型差值的主要原因在于軌道結(jié)構(gòu)模擬形式不同帶來的參數(shù)取值差異，兩模型中路基不均勻沉降位置可能并不相同，德國低干擾譜隨機不平順的隨機性等.但從整體而言，對比結(jié)果表明本文提出的考慮軌道結(jié)構(gòu)重力的車輛-板式軌道垂向耦合系統(tǒng)計算結(jié)果可信，可以用來研究路基不均勻沉降對系統(tǒng)動力響應(yīng)影響的研究.

2 路基不均勻沉降對動力響應(yīng)的影響

從行車速度、路基不均勻沉降波長、波深等角度出發(fā)，對路基不均勻沉降影響系統(tǒng)動力響應(yīng)的規(guī)律進行研究.路基不均勻沉降對列車運行的主要影響體現(xiàn)在安全性和舒適性兩個方面.為對該影響進行量化判斷，特選取輪重減載率和車體垂向加速度作為標準.

2.1 行車速度

在路基不均勻沉降波長為20m，幅值為20mm的情況下，研究車輛速度分別為100，150，200，250，300，350km·h-1時列車輪軌力、輪重減載率、車體垂向加速度的變化情況.

圖4為在既有路基不均勻沉降條件下，不同行車速度下輪軌力變化圖，其中灰色陰影部分為路基不均勻沉降區(qū)域.由圖4可知，輪軌力在路基不均勻沉降范圍內(nèi)表現(xiàn)出先動態(tài)減小后動態(tài)增加的趨勢，由于受到相鄰輪對及轉(zhuǎn)向架的影響，該輪對輪軌力在離開不均勻沉降區(qū)域后在一定范圍內(nèi)仍有波動，但波動幅度小于不均勻沉降區(qū)域.

圖4 不同行車速度下的輪軌力Fig.4 Wheel-rail contact forces

分別計算在不同行車速度下的輪重減載率和車體振動加速度最大值繪制于圖5.由圖5可知，隨著行車速度的增加，輪重減載率和車體垂向加速度最大值均呈現(xiàn)增加的趨勢.就量值而言，輪重減載率在各速度下均小于我國《高速試驗列車客車強度及動力學規(guī)范》中規(guī)定的0.60的標準.而根據(jù)文獻［7］中的內(nèi)容，對于我國高速鐵路客車，車體垂向加速度的標準為0.13g，當列車速度大于350km·h-1時，車體垂向加速度已經(jīng)超過標準.

通過對不同行車速度下車輛減載率和車體垂向加速度的分析可知，隨著行車速度的增加，相關(guān)動力響應(yīng)均相應(yīng)增加，路基不均勻沉降對車輛運行影響的控制性指標應(yīng)以舒適性為主、安全性為輔.

圖5 不同速度下的輪重減載率和車體垂向加速度Fig.5 Maximum axle load decrement ratio and maximum vertical acceleration of vehicle

2.2 路基不均勻沉降幅值

在行車速度為100，200，300km·h-1且路基不均勻沉降波長為20m時，探究路基不均勻沉降幅值對于相關(guān)動力響應(yīng)的影響，所選取路基不均勻沉降幅值分別為10，20，30和40mm.

圖6為行車速度分別為100和300km·h-1時不均勻沉降幅值對列車輪軌力的影響，陰影部分為路基不均勻沉降范圍.由圖6可知，隨著路基不均勻沉降幅值的逐漸增加，輪軌力在不均勻沉降區(qū)域的變化幅度也相應(yīng)增加，速度為300km·h-1的輪軌力波動普遍大于速度為100km·h-1的情況.

圖6 不同路基不均勻沉降幅值下的輪軌力Fig.6 Wheel-rail contact forces

圖7 不同路基不均勻沉降幅值下的輪重減載率Fig.7 Maximum axle load decrement ratio

通過輪軌力變化計算不同路基不均勻沉降幅值下列車的輪重減載率并繪制于圖7.由圖7可知，在路基不均勻沉降幅值低于30mm的情況下，輪重減載率隨不均勻沉降幅值基本呈現(xiàn)線性變化；當幅值大于30mm時曲線斜率增加，輪重減載率變化幅度明顯增大.總體而言，輪重減載率數(shù)值都低于相關(guān)規(guī)范的要求.

圖8為不同路基不均勻沉降幅值下車體振動加速度變化，陰影部分為路基不均勻沉降范圍.通過對車體垂向振動加速度波形的對比可知，由于模型中車輛定距為18m，與不均勻沉降波長相近，所以車體前轉(zhuǎn)向架剛離開不均勻沉降范圍時后轉(zhuǎn)向架進入不均勻沉降范圍，兩轉(zhuǎn)向架相繼影響車體振動加速度，造成車體振動加速度首先出現(xiàn)兩個完整的正弦波形，該正弦波長僅受到車體定距和不均勻沉降波長影響，具體表現(xiàn)為圖8中在3種典型速度下其波長相對穩(wěn)定.在兩個轉(zhuǎn)向架均離開不均勻沉降范圍后車體在彈簧阻尼作用下逐漸恢復(fù)平穩(wěn)狀態(tài)，表現(xiàn)為繼完整正弦波波形后的半波形態(tài)，該段影響距離與列車速度有直接的關(guān)系，如圖8中所示，隨著行車速度的增加，車體從波動影響狀態(tài)恢復(fù)平穩(wěn)狀態(tài)所需的距離相應(yīng)增加.

圖8 不同路基不均勻沉降幅值下的車體垂向加速度Fig.8 Vertical acceleration of vehicle

圖9為在不同行車速度下，車體垂向加速度最大值隨路基不均勻沉降幅值變化的情況.由圖9可知，對于行車速度為100km·h-1的情況而言，車體垂向加速度最大值在路基不均勻沉降為0～40mm時均處于0.13g限值以內(nèi)；對于行車速度為200km·h-1時，也僅有幅值在40mm時超過限值；對于速度為300km·h-1，則不均勻沉降幅值為30和40 mm的車體垂向加速度超過限值.總體而言隨著路基不均勻沉降幅值的增加，車體垂向加速度最大值呈現(xiàn)逐步增加的趨勢，車輛運行的舒適性也逐步惡化.

圖9 不同路基不均勻沉降幅值下的垂向加速度最大值Fig.9 Maximum vertical acceleration of vehicle

2.3 路基不均勻沉降波長

在行車速度為100和300km·h-1且路基不均勻沉降幅值為20mm時，探究路基不均勻沉降波長對于相關(guān)動力響應(yīng)的影響，所選取路基不均勻沉降波長分別為5，6，7，8，10，15，20和30m.

圖10為列車速度為300km·h-1時路基不均勻沉降波長對于列車輪軌力的影響，陰影部分為路基不均勻沉降范圍.由圖10可知，路基不均勻沉降對輪軌力的影響存在一個先增強后減弱的過程，在沉降幅值一定的情況下，相對較大和較小的波長對于輪軌力的影響均較小，而處于中間范圍的波長對輪軌力的影響較大.

圖11為列車速度為100和300km·h-1的情況下，輪重減載率隨路基不均勻沉降波長變化圖.由圖11可知，當車速為100km·h-1時，其輪重減載率均小于0.6，減載率的敏感波長為10m，其他波長情況下，輪重減載率值均很??；當車速為300km·h-1時，路基不均勻波長在8～15m范圍內(nèi)的輪重減載率均超過了0.6的限值，減載率的敏感波長范圍相比100km·h-1情況有所放大.路基不均勻沉降波長在小于8m時輪重減載率基本不隨不均勻沉降波長變化，波長大于20m后減載率變化也較小.

圖12為列車速度為100和300km·h-1的情況下，車體垂向加速度隨路基不均勻沉降波長變化圖.由圖12可知，當列車速度為100km·h-1時，在0～30m的不均勻沉降波長范圍內(nèi)在波長為10m時達到峰值，峰值大小為0.136g；當列車速度為300km·h-1時，波長為8～20m范圍時車體垂向加速度均超過0.13g的限值.

圖10 不同路基不均勻沉降波長下的輪軌力Fig.10 Wheel-rail contact forces

圖11 不同路基不均勻沉降波長下的減載率Fig.11 Maximum axle load decrement ratio

總體而言，車體垂向加速度隨路基不均勻沉降波長變化的趨勢為初始迅速增加，在波長為8～10 m時達到峰值，之后緩慢減小.考慮到模型中底座板的長度為10m，在路基不均勻沉降波長較小時，混凝土底座下脫空范圍小，底座對于變形有一定的抵抗作用，軌面沉降遠小于路基不均勻沉降幅值，表現(xiàn)出在路基不均勻沉降波長在3～6m時列車的輪重減載率和車體垂向加速度都變化較小.隨著混凝土底座下脫空范圍的增加，底座對于變形的抵抗能力減弱，輪重減載率及車體垂向加速度均迅速增加.在路基不均勻沉降大于10m后底座抵抗變形的能力趨于穩(wěn)定，隨著路基不均勻沉降的增加，軌面垂向坡度變化逐漸放緩，表現(xiàn)為輪重減載率和車體垂向加速度隨不均勻沉降波長增加而減小的趨勢.

圖12 不同路基不均勻沉降波長下的車體垂向加速度Fig.12 Maximum vertical acceleration of vehicle

3 結(jié)論

本文為研究路基不均勻沉降對于CRTS I型板式無砟軌道動力響應(yīng)的影響，建立了考慮重力的車輛-板式軌道垂向耦合分析模型，提出通過路基反力變化模擬路基不均勻沉降的具體方法，并對模型和方法進行了驗證.通過對行車速度、路基不均勻沉降幅值、波長進行研究，得到如下路基不均勻沉降影響板式無砟軌道動力響應(yīng)的結(jié)論：

（1）針對在相同不均勻沉降波長和位置條件下的列車速度和不均勻沉降幅值對系統(tǒng)動力響應(yīng)的研究表明，隨著行車速度和路基不均勻沉降幅值的增加，系統(tǒng)動力響應(yīng)均相應(yīng)增加，路基不均勻沉降對車輛運行影響的控制性指標應(yīng)以舒適性指標為主、安全性指標為輔，對于速度為200和300km·h-1的情況而言，波長20m下幅值大于20mm時相關(guān)動力參數(shù)超過既有標準.

（2）針對路基不均勻沉降波長對系統(tǒng)動力響應(yīng)的研究表明，存在路基不均勻沉降的敏感波長，該波長與混凝土底座的長度有關(guān)，對于文中討論的工況而言，8～10m為其不均勻沉降的敏感波長.在制定路基不均勻沉降標準時應(yīng)考慮敏感波長，確保在最危險的波長條件下系統(tǒng)的動力響應(yīng)仍能滿足相關(guān)限值.

［1］ Hunt H E M.Settlement of railway track near bridge abutments［J］.Proceedings of the Institution of Civil Engineers-Transport，1997，123（1）：68.

［2］ 蔡成標，翟婉明，王開云.遂渝線路基上板式軌道動力性能計算及評估分析［J］.中國鐵道科學，2006，27（4）：17.CAI Chengbiao，ZHAI Wanming，WANG Kaiyun.Calculation and assessment analysis of the dynamic performance for slab track on Sui-Yu Railway［J］.China Railway Science，2006，27（4）：17.

［3］ 周萌，宮全美，王炳龍，等.路基不均勻沉降值對板式軌道動力響應(yīng)的影響［J］.鐵道標準設(shè)計，2010（10）：1.ZHOU Meng，GONG Quanmei，WANG Binglong，etal.Effect of differential settlement of subgrade on dynamic response of ballastless track［J］.Railway Standard Design，2010（10）：1.

［4］ 韓義濤，姚力.基礎(chǔ)沉降對土路基上板式軌道動力性能影響分析 ［J］.中國鐵道科學，2006，27（4）：17.HAN Yitao，YAO Li.Analysis of the dynamic performance for slab track settlement on embankment ［J］.Journal of Railway Engineering Society，2006，27（4）：17.

［5］ 徐慶元，李斌，范浩.路基不均勻沉降對列車-路基上無砟軌道耦合系統(tǒng)動力特性的影響［J］.鐵道科學與工程學報，2012，9（3）：13.XU Qingyuan，LI Bin，F(xiàn)AN Hao.Influence of uneven settlement of subgrade on dynamic characteristic of train-ballastless track on subgrade coupling system ［J］.Journal of Railway Science and Engineering，2012，9（3）：13.

［6］ 徐慶元，李斌，周智輝.CRTS-Ⅰ型板式無砟軌道線路路基不均勻沉降限值研究［J］.中國鐵道科學，2012，33（2）：1.XU Qingyuan，LI Bin，ZHOU Zhihui.Study on the limited value for the uneven settlement of subgrade under CRTS-I type slab track［J］.China Railway Science，2012，33（2）：1.

［7］ 翟婉明.車輛-軌道耦合動力學［M］.3版.北京：科學出版社，2007.ZHAI Wanming.Vehicle-track coupling dynamics［M］.3rd ed.Beijing：Science Press，2007.

［8］ ZHAI Wanming.Two simple fast integration methods for largescale dynamic problems in engineering［J］.International Journal for Numerical Methods in Engineering，1996，39（24）：4199.

［9］ 曹志遠.板殼振動理論［M］.北京：中國鐵道出版社，1989.CAO Zhiyuan.Vibration theory of plate and shell［M］.Beijing：China Railway Publishing House，1989.