阮 欣，周軍勇，石雪飛

（同濟大學 橋梁工程系，上海200092）

汽車荷載是公路及橋梁結構的主要可變荷載，是影響結構安全與耐久性能的重要因素.近期，汽車荷載相關量測技術迅速發(fā)展［1］，獲得了大量的車輛及荷載數據，為汽車荷載及其響應的研究提供了廣泛基礎.在此基礎上，橋梁汽車荷載響應評估及荷載模型研究正成為新的熱點［2-4］.極值外推是基于短時汽車荷載響應數據預測長周期極端值的重要方法，然而，汽車荷載隨機性大、時變性強，使得荷載響應及其分布也具有高度不確定性，如何選擇有效的外推方法預測極值，并保證外推精度和效率，一直是研究的重點與難點［5］.

論文將系統(tǒng)介紹橋梁汽車荷載響應的主要極值外推方法，分析各方法的基本原理和應用狀況，研究影響極值外推的關鍵參數，并基于實測的動態(tài)車輛稱重數據（動態(tài)稱重系統(tǒng)測取，weigh-in-motion，WIM），比較研究各種外推方法的適用狀況、外推效率及精度，探索橋梁汽車荷載響應極值外推的研究與發(fā)展方向.

1 主要外推方法

極值理論是研究小概率事件極端值變異性的建模與分析方法，最早用于極端自然災害如地震、臺風、洪水等的預測［6］，隨著風險控制理念的推廣與應用，小概率事件的分析逐漸受到廣泛關注，并拓展到各類極端風險事件的對策研究中.

汽車荷載在不同的交通組成和運營狀態(tài)下，對橋梁結構的響應呈現顯著差異.然而，對于結構的設計和評估，往往僅需關注重現期內汽車荷載引起的極端響應，實際條件下考慮測試數據的代價和計算效率，只能獲取有限時長范圍內的荷載響應時程，因此基于數據樣本時間的不對稱及關注的極值特性，促成了極值理論在汽車荷載領域的應用.

目前橋梁汽車荷載研究中使用的極值外推方法，可總結為：基于隨機變量假定擬合經驗外推、基于經典極值理論的最大值外推、基于穿越次數的Rice公式外推和基于數值模擬的極值統(tǒng)計規(guī)定等4類.

1.1 基于隨機變量假定擬合經驗外推

早期，針對短時車輛數據無法滿足長回歸周期的 可 靠 度 計 算 問 題，Nowak［7-8］，Moses［9］和Sivakumar［10］等將車輛荷載響應假定為隨機變量，通過對隨機變量經驗分布的擬合，獲取相關參數并進行高可靠度水平的直線外延，獲取相關極值.

Nowak等［7-8］在美國早期的橋梁設計規(guī)范中率先采用正態(tài)概率紙直線外推方法，通過安大略省交通管理部門收集的卡車數據，評估了設計基準期75年的荷載響應極值.基本原理是：首先，基于車輛數據對效應影響面的加載求荷載響應時程，計算的基礎數據容量為n，時長m，d；其次，將荷載響應累積概率分布繪制于正態(tài)概率紙上，并根據數據的尾端走勢進行直線擬合外延；最后，基于結構設計基準期T最大值累積概率水準p=1-m／（365nT），計算可靠度水平Φ-1（p）對應的荷載響應極值.

Nowak方法［7-8］實質是假定荷載響應的尾部滿足正態(tài)分布，考慮了所有數據樣本，根據經驗取用部分尾部數據直線擬合外延，但是尾部數據的選擇沒有明確說明，導致外推極值離散性較大，可能會估測偏高.對此，Moses［9］在 Nowak［7-8］基礎上只選擇高端的20%數據，根據選擇數據的均值μ20%與方差σ20%計算設計基準期T的荷載響應極值的均值Emax.Emax=μ20%+tσ20%，其中t=Φ-1（1-m／（0.2×365nT））.該研究成果直接應用于美國國家公路與運輸協(xié)會（AASHTO）組織編寫的《橋梁評估活荷載系數校核》報告中.

Moses［9］方法使用直觀簡便，避免了 Nowak［7-8］數據選擇直線外推的主觀性，但該方法無法計算設計基準期內的最大值方差，誤差會累積從而降低外推的精度.Sivakumar［10］則在 Moses［9］基礎上改進，在選擇高端5%數據基礎上，計算了設計基準期內的最大值均值μ和方差σ如式（1），該方法用于美國公路合作研究項目（NCHRP）的研究報告《交通數據在橋梁設計中的應用》中.

式中：N為測方式數據的容量的5%；μ5%，σ5%分別為尾端5%數據的均值和方差；μ，σ分別為設計基準期T內最大值的均值和方差.

上述三種典型方法均假定正態(tài)分布能描述荷載響應尾部走勢，通過對樣本的正態(tài)分布參數估計，計算關注極值的統(tǒng)計特征.該方法能高效獲取荷載響應極值，對于數據樣本的利用率很高，能夠快速外推響應極值，適用于橋梁汽車荷載響應的快速評估，也關注到了荷載響應的尾端數據走勢是評估荷載響應極值準確性的關鍵.然而，該外推方法的客觀性不強，外推精度較難把握.首先，荷載響應尾部采用正態(tài)分布擬合的可信度如何評估需要研究；其次，極值外推關鍵是尾部數據，到底選取多少數據不會影響外推的準確性需分析；最后，荷載響應極值的可靠度標準不統(tǒng)一，受每天觀測的基礎數據量影響.

1.2 基于經典極值理論的最大值外推

根據經典極值理論，如若數據樣本之間滿足獨立同分布假定，且采用的基礎底分布能夠完全描述數據的分布特征，則樣本的最大值分布函數就可以精確地表達，如式（2）所示.

式中：X1，…，Xn是獨立同分布隨機變量；F（x）是底分布；Pr（Mn≤x）是最大值分布.

基于經典極值理論，諸多學者進行了車輛荷載響應極值的研究工作，其中公路橋梁車輛荷載研究課題組［11］就是采用上述方法，對車輛荷載響應數據進行優(yōu)度檢驗，認為一般運行狀態(tài)下最大值分布滿足韋伯分布，密集運行狀態(tài)下滿足正態(tài)分布，以此外推荷載響應極值.

經典極值理論的問題是，實際中尋找能夠完全描述基礎樣本特性的底分布是很難實現的，只能研究樣本的漸進分布.因此，在上述基礎上，極值類型定理得到了廣泛應用.Fisher-Tipper定理［6］認為，滿足獨立同分布的基礎隨機變量，根據極值漸進性，數據的最大值分布都可以歸類到三種極值分布中，且這三種極值分布可以采用統(tǒng)一的表達形式描述（如式（3）），稱為廣義極值分布（generalized extreme value distribution，GEV分布）.

式中：μ，σ，ξ分別為位置參數，尺度參數和形狀參數

漸進極值理論為車輛荷載響應極值研究提供了理論 基 礎，O'Brien［12］，O'Connor［13］，Caprani［14］，Fu［15］等采用漸進極值理論對不同交通狀態(tài)下汽車荷載響應進行了極值預測，并用于結構的狀態(tài)評估、荷載模型修正中.然而，上述方法存在的主要問題是，如何構建最大值樣本以及如何驗證最大值樣本擬合的準確性.

構建最大值樣本，目前研究主要有三種方法：①確定樣本區(qū)間（1d、1月或者1年），只選取區(qū)組最大值（block maxima method）作為極值觀測樣本［16］；②對樣本進行排序，建立次序統(tǒng)計模型（order statistics method），選取區(qū)組的最大r個數據作為極值觀測樣本［17］；③ 確定區(qū)組數據閾值，如果數據滿足獨立同分布假定，則超閾值的樣本分布（peaks over threshold method）可以用廣義 Pareto分布描述［18-19］.可知，上述方法都面臨樣本區(qū)間選擇問題，一些學者取用一定時段作為樣本區(qū)間［18］，還有學者選用1月作為樣本區(qū)間［16］，總體而言，區(qū)間大小的選擇應該盡可能滿足樣本之間符合獨立同分布假定，但是區(qū)間長度的選擇又面臨樣本數據利用率問題.考慮汽車荷載的時變特性，綜合數據利用率，筆者認為，取用1d作為樣本區(qū)間較能兼顧.此外，次序統(tǒng)計模型和閾值模型雖能更多利用單組樣本的極值信息，但是序數及閾值的確定，目前還沒有統(tǒng)一的方法，而這是影響極值擬合準確性的關鍵.

綜上，基于經典極值理論的最大值外推方法具有客觀的理論基礎，但是存在數據利用率低的問題，當樣本有限時，外推極值的變異性可能較大，導致完整意義上的極值估測的準確性較難把握.因此，解決基礎數據量問題，是最大值外推方法在車輛荷載響應研究中的主要障礙.

1.3 基于穿越次數的Rice公式外推

穿越次數（level crossing method）是另外一種預測隨機過程極端值的方法，對于均方可微的隨機過程，可構建其穿越次數分布圖，基于穿越次數與荷載響應重現期的關系，建立極值預測模型.美國學者Rice率先對隨機過程的穿越界限問題進行了研究，建立了給定時間內基于平穩(wěn)高斯過程穿越次數期望值的數學模型［20］，如式（4）所示：

式中：σ、和m分別是X的標準值、隨機過程導數X·的標準差和平均值；

Rice理論為汽車荷載響應極值預測提供了一種方法，隨后Ditlevsen證明［21-22］，對于大跨橋梁，汽車荷載是一個隨機過程，考慮到結構效應影響面分布范圍長，如若影響面的分布是隨跨長變化的非零值，且影響區(qū)域相比單個重車所占區(qū)域顯著大，則可將車輛荷載響應模擬為白噪聲過程.此外，如果影響面隨加載長度變化足夠緩慢且連續(xù)，而橋跨長度與連續(xù)車輛的間距比值足夠大，則該車輛響應滿足平穩(wěn)高斯過程，可用Rice公式預測響應極值.

Rice公式提供了穿越次數直方圖尾部擬合的簡化方法，充分利用了包含在荷載響應時程中的所有信息，能夠高效地利用數據.然而，Rice公式擬合同樣需要解決擬合的準確性的問題，研究表明［23］，數據的擬合起點、區(qū)間分組長度和檢驗的顯著水平是決定Rice公式外推準確性的關鍵.初期，相關學者都是根據經驗方法確定Rice公式擬合起點［23］，隨后Cremona［24-25］引入 Kolmogorov-Smirnov（K-S）檢驗方法針對尾端不同效應擬合起點進行優(yōu)度檢驗，從而確定最優(yōu)起點用以荷載響應極值計算，并探討了區(qū)組長度和檢驗顯著水平的影響，研究成果用于實橋的換索評估及局部疲勞壽命預測中.

改進的Rice公式外推方法解決了擬合起點選擇經驗性問題，但在尋找最優(yōu)擬合起點、最優(yōu)分組區(qū)間及適宜顯著水平上，仍需通過反復試算確定，外推的效率不高.此外，不同荷載響應是否都能夠用Rice公式擬合，采用其他經驗公式擬合，其準確性等問題，都需要進一步的研究.

1.4 基于數值模擬的極值統(tǒng)計規(guī)定

極值外推是解決預測極值與統(tǒng)計數據時長、可靠度水準等信息不一致問題，數值模擬的極值統(tǒng)計推定則是采用數值模擬方法（如蒙特卡洛方法），獲取結構效應大范圍長時間回歸周期的荷載響應時程，以此取定樣本給定可靠度標準的極值.O'Brien［26］嘗試生成長達10 000年的車流模擬數據，將基于短時間隨機車流響應特性的“極值外推”轉化長時間車流響應的“統(tǒng)計推定”.

數值模擬的極值統(tǒng)計方法計算代價很高，假定雙向八車道車輛日均交通量為80 000，設計基準期100年，則計算最大值樣本的其中一個樣本需要產生的隨機數將達到29.2億，即便選取基礎數據的高端10%或5%進行模擬，隨機數的產生及程序的計算效率也是該方法的主要弊端，存在很大局限.

2 影響極值外推的參數分析

目前的橋梁汽車荷載響應極值外推方法中，方法的客觀性、數據利用率、外推效率與外推極值準確性等，是評價外推方法適用的標準.這其中，基礎數據和底分布擬合是影響極值外推的關鍵參數.

2.1 基礎數據

基礎數據的測量精度、數據時長等，會顯著影響荷載響應是否表達結構真實車輛服役狀況，從而影響極值外推.目前，動態(tài)車輛數據多通過WIM系統(tǒng)采集，車輛的行駛速度、路面平整度及測試地址等與WIM數據測試精度高度相關［27］.然而，經過 WIM設備傳感技術的發(fā)展，現有的WIM數據精度都能夠滿足工程計算需求［27］.

此外，考慮車輛荷載的顯著時變性，基礎數據的時長也是影響極值預測的關鍵.目前，諸多學者采用不同時長的數據進行荷載響應極值外推，Pan［28］用5 d的模擬車流數據作為荷載響應計算基礎，O'Connor［3］利用實測4d數據模擬更長時間的隨機車流.然而，基礎數據應該采用多長時段，才能反映橋梁汽車荷載響應特征以支持極值外推，需要關注.

選取國內某高速實測28d的四車道WIM數據（該數據是基于連續(xù)28d共1 082 195輛車的測試結果），統(tǒng)計車重的特征參數隨累積時長的變化規(guī)律如圖1所示.考慮到極值研究重點關注高端尾部數據，且最大值數據的出現具有隨機性，單純統(tǒng)計最大值數據隨累計時長變化規(guī)律意義不大，分析數據高尾部分的走勢，才能較為準確地估測極值，因此研究中分別取所有數據、20%高尾、10%高尾和5%高尾數據分析.圖1a和1b分別是各累積天數均值（經過對21d數據均值規(guī)整化處理）和變異系數隨累積時長的變化規(guī)律.發(fā)現，統(tǒng)計參數在21d后基本趨于穩(wěn)定，車重高端數據離散性也很小.說明，在條件允許下，應該選擇至少3周實測車輛數據進行荷載響應計算及極值外推，才能基本反映實際車流對橋梁的作用狀況.

圖1 數據統(tǒng)計特征參數隨累計時長的變化規(guī)律Fig.1 Change regulation of time-dependent characteristic parameters of data statistics

2.2 底分布擬合

底分布是描述外推數據樣本特性的關鍵，車輛荷載研究重點關注最不利響應，因此底分布應該盡可能描述數據的尾部走勢.基于隨機變量假定擬合經驗外推，底分布就是所選擇基礎數據樣本的經驗分布；經典極值理論的最大值外推，底分布是最大值樣本分布；基于穿越次數的Rice公式外推，穿越次數直方圖就是底分布；數值模擬的極值統(tǒng)計規(guī)定，考慮到計算代價高，這里不比較.根據文獻［4］的研究結論，不同加載長度的結構效應，受車輛荷載加載的影響不同，而可能呈現差異性的底分布形狀（短加載長度受重車影響大，長加載長度受加載區(qū)域內平均荷載水平控制），這里分別考察典型的短加載及長加載跨徑，20m和1 000m虛擬簡支梁橋，在28d實測WIM數據作用下的結構響應特性.

隨機變量的正態(tài)概率紙尾部擬合如圖2所示，橫軸是荷載響應，縱軸為概率的正態(tài)分布逆值（即可靠度指標）.可知，整體數據并不嚴格在一條直線上，但是兩組數據的尾部走勢基本在一條外延直線上，說明，經驗外推方法不依賴于效應的加載跨徑，此外正態(tài)分布雖無法表達底分布的整體狀況，但對于尾部走勢估計的可信度較高，具有合理性.

圖2 不同跨徑虛擬簡支梁橋跨中彎矩效應的荷載響應正態(tài)分布尾部擬合Fig.2 Nail fitting of normal distributions of mid-span bending moment in simply supported bridges with different hypothetic spans

基于經典極值理論的最大值外推，采用區(qū)組最大值（選擇區(qū)間為1d）構建底分布樣本，對底分布進行擬合如圖3所示.可知，兩組數據最大值樣本有限，數據零散變異性強，無法采用一種極值分布或者經驗分布描述數據的特征.說明，最大值外推方法同樣不依賴于效應的加載跨徑，且當數據樣本有限的條件下，采用最大值外推方法，獲取的極值精度很難把握.

圖3 不同跨徑虛擬簡支梁橋跨中彎矩荷載響應最大值樣本擬合Fig.3 Sample fitting of maximum value of mid-span bending moment in simply supported bridges with different hypothetic spans

基于穿越次數的Rice公式外推，根據橋梁汽車荷載響應時程構建各點響應的穿越概率直方圖，選擇最優(yōu)起點進行Rice公式擬合如圖4所示.可知，隨著跨徑的增大Rice公式擬合的準確性越來越差，直接導致外推極值的精度降低.說明，Rice公式擬合穿越概率直方圖，并不能應用于所有長加載效應的荷載響應計算中，不僅是擬合起點、區(qū)間、優(yōu)度檢驗方法的優(yōu)化，尋找合適經驗分布擬合穿越概率直方圖尾部走勢，也至關重要.

圖4 不同跨徑虛擬簡支梁橋跨中彎矩荷載響應穿越次數概率圖Rice公式擬合Fig.4 Rice Formula fitting of the probability of level crossing times of mid-span bending moment in simply supported bridges with different hypothetic spans

綜上，底分布的擬合是影響外推極值的另一重要因素.對于經驗假定外推，需要確定應該選擇多少數據量以兼顧數據利用效率和直線外推準確性問題；對于最大值外推，則需要擴展或者測取盡可能多的數據樣本以支持外推；對于穿越次數Rice公式外推，已經不僅僅是尋找最優(yōu)擬合起點、區(qū)間、優(yōu)度檢驗方法，關于適宜的經驗分布描述穿越次數直方圖尾部走勢，也極其重要.

3 極值外推方法的比較研究

比較研究目前橋梁汽車荷載響應的主要極值外推方法，考慮到數值模擬方法的計算代價很高，穿越次數Rice公式對長加載效應外推準確性差，這里比較分析擬合經驗外推和最大值外推方法.擬合經驗外推比較Nowak、Moses、Sivakumar等方法，考慮到最大值外推方法與擬合經驗外推方法的可靠度標準取法不一致（第1.1和1.2節(jié)），簡單地統(tǒng)一可靠度標準會影響外推的過程，這里分開研究.

以28d高速公路四車道實測WIM數據為基礎，各經驗外推方法的比較如圖5所示，橫坐標是設計基準期，縱坐標是預測極值與我國規(guī)范D60計算值比較.可知，響應極值隨設計基準期增加；三種外推方法之間Nowak方法預測極值顯著大于Sivakumar方法和Moses方法；100年設計基準期的預測極值，要高于我國規(guī)范計算值；此外，荷載響應極值隨著跨徑的增加，與規(guī)范的比值降低，但仍然大于1.這三種經驗外推方法均將可靠度指標表達為基礎數據容量的關系，導致可靠度標準不統(tǒng)一，外推效率很高，但是精度各異，需要尋找統(tǒng)一的可靠度標準，以支持快速外推.

最大值外推要求基礎數據樣本具有較大容量，這里以28d四車道 WIM數據為基礎，采用文獻［29］中合成車流方法，生成時長1年的荷載數據（數據的統(tǒng)計特征參量與實測28d數據一致），對結構加載計算荷載響應.同樣取區(qū)組（1d）最大值作為基礎樣本，進行最大值外推，假定1年只觀測1d［11］，獲取不同加載跨徑的響應極值見表1.表1中最大值外推極值與D60計算比值和圖5外推極值與D60規(guī)范計算比值，可作為兩種外推方法比較的參考，但是相互之間因為可靠度標準不一，其數值沒有可比性.

表中分別對比了28d實測數據和1年合成車流作為基礎樣本，進行最大值外推的結果（其中1950年重現期就是目前規(guī)范荷載取值可靠度標準）.可知，28d基礎數據的極值外推結果離散性大，隨著加載跨徑增加，荷載響應外推極值與規(guī)范計算比值沒有一致規(guī)律；1年合成車流外推極值與規(guī)范計算比值，隨加載跨徑呈現顯著的降低規(guī)律，而且對于千米級加載跨徑的荷載響應，比值僅為0.78，說明現有規(guī)范對于短加載跨徑可能不安全，對長加載跨徑偏保守，與文獻［30-31］結果一致.綜上，在數據樣本量小的情況下，采用最大值外推精度低，外推極值離散性很大；當數據樣本多時，最大值外推的精度和外推效率都較好.因此采用最大值外推，需重點解決基礎數據樣本容量問題，樣本量有限時，不建議采用該方法.

圖5 不同經驗外推方法的極值特性比較Fig.5 Comparison on extreme value properties obtained by different empirical extrapolation methods

表1 荷載效應不同時長樣本的最大值外推Tab.1 Maximum extrapolation of traffic load responses based on samples with different time lengths

4 結論

論文對目前橋梁汽車荷載響應的極值外推方法進行了綜述，介紹了4種主要的外推方法，并對影響外推極值的關鍵參數：基礎數據和底分布進行了研究分析，重點比較了經驗外推方法和最大值外推方法，提出汽車荷載響應極值外推的發(fā)展方向.

（1）極值外推在橋梁汽車荷載中應用，主要是解決短時量測數據預測長回歸周期荷載響應極值問題，預測的精度在于是否能準確描述底分布尾部數據走勢.

（2）條件允許情況下，應該至少選擇21d以上實測車輛數據作為荷載響應極值外推基礎，才能較為準確反應荷載響應的基本統(tǒng)計特征.

（3）底分布對外推極值影響很大，假定擬合經驗外推需重點描述底分布尾端數據走勢，此時需解決高端尾部數據量選擇問題；最大值外推方法受限于基礎數據容量，從而影響最大值分布的擬合；穿越次數Rice公式對于不同加載長度荷載響應，不能準確描述穿越次數直方圖尾部走勢，除了考慮最佳擬合起點、區(qū)間和優(yōu)度檢驗方法，經驗分布的選擇也至關重要.

（4）比較研究表明，經驗極值外推方法具有一定可信度，但需解決可靠度統(tǒng)一問題；最大值外推效率和精度很高，但是需要較大的數據樣本，樣本量小時，外推極值的準確性較差，不建議采用.

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