王玉娟

數(shù)列求和一直是數(shù)列試題的考察重點(diǎn)，也是解答的難點(diǎn)，掌握良好的解題技巧能在考試中縮短解題時(shí)間，提升解題的準(zhǔn)確性，實(shí)現(xiàn)考試成績的提高，對高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)意義重大。

一、錯(cuò)位相減

例如，已知數(shù)列{an}，n是正整數(shù)，a1=1，an+1=2sn，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an和前n項(xiàng)和Sn。令n=2、3、4…可求得a2=2、a3=6，a4=18、54…，可知數(shù)列{an}在n>1時(shí)是等比數(shù)列，an=2×3n-2;n=1時(shí)，an=1。則Sn=1+2×30+2×31+2×32+2×33+…+2×3n-3+2×3n-2，3Tn=3+2×31+2×32+2×33+…+（n-2）2×3n-3+（n-1）2×3n-2+2×3n-1，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和=（3Tn-Tn）/2=3n-1（n>1）;1（n= 1）。由于數(shù)列{an}并不是等比數(shù)列，所以等比數(shù)列求和公式Sn=a1（1-qn）/（1-q）在此并不適用，不過我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)n>時(shí)，數(shù)列{an}是等比數(shù)列，且公比是3，這是我們?nèi)?倍Sn的原因，也是運(yùn)用錯(cuò)位相減法求Sn的關(guān)鍵。

二、分組法求和

例如，已知數(shù)列{an}，n是正整數(shù)，通項(xiàng)公式an=n+3n，求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn。令n=1、2、3……可得a1=4、a2=11、a3=30…，那么可知數(shù)列{an}既不是等比數(shù)列也不是等差數(shù)列。不過經(jīng)觀察可發(fā)現(xiàn)，n+3n的前半部分n是等差數(shù)列，后半部分3n是等比數(shù)列，設(shè)bn=n，cn=3n，那么an=bn+cn。等差數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Ln=n+n（n-1）/2;等比數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Mn=3（3n-1）/2，則Sn=Ln+Mn =（3n+1+n2+n-3）/2。對于不用性質(zhì)組成的數(shù)列，進(jìn)行拆分后求各個(gè)子數(shù)列的前n項(xiàng)和，然后把各個(gè)字?jǐn)?shù)列的前n項(xiàng)和相加即為原來的數(shù)列的前n項(xiàng)和。解答這類數(shù)列的關(guān)鍵是拆分，可拆封成等差數(shù)列+等差數(shù)列、等差數(shù)列+等比數(shù)列、等比數(shù)列+等比數(shù)列的形式，不要拘泥于一種拆分形式，可靈活運(yùn)用。

三、合并法求和

例如，已知數(shù)列{an}，n是正整數(shù)，a1=2、a2=7，a3=5，an+2=an+1-an，求S1999。令n=4、5、6…，可得a4=-2、a5=-7、a6=-5…，那么可知數(shù)列{an}既不是等比數(shù)列也不是等差數(shù)列。不過經(jīng)觀察可發(fā)現(xiàn)，a6m+1=2、a6m+2=7、a6m+3=5、a6m+4=-2、a6m+5=-7、a6m+6=-5（k為正整數(shù)），也就是說S1998=0，則S1999=0+a1999。因?yàn)?999= 6×333+1，所以a1999=2，則S1999=2。運(yùn)用合并法求和的關(guān)鍵是找出數(shù)列中特殊項(xiàng)，然后合并特殊項(xiàng)，使其相互消減，然后把剩下的各項(xiàng)相加即求出前n項(xiàng)和，最終順利地解決這個(gè)數(shù)列問題。

四、反序相加法求和

例如：求cos21°+cos22°+cos23°+…+cos289°，設(shè)式①：S=cos21°+cos22°+cos23°+…+cos289°，把式①右邊反過來得式②：S=cos289°+cos288°+cos287°+…+cos21°，式①式②相加得：2S=cos21°+cos289°+cos22°+cos288°+cos23°+cos287+…+cos289°+cos21°。因?yàn)閏osx=sin（90°-x），cos2x+sin2x=1，所以2S=cos21°+cos289°+cos22°+cos288°+cos23°+cos287+…+cos289°+cos21°=cos21°+sin21°+cos22°+sin22°+cos23°+sin23°+…+cos289°+sin21°=89，所以S=44.5，即求出cos21°+cos22°+cos23°+…+cos289°的值。應(yīng)用反序相加法求和的關(guān)鍵是正序公式的各項(xiàng)與其對應(yīng)的反序各項(xiàng)的和是固定值，然后求出總值并除以2即為所求數(shù)列的和。

五、裂項(xiàng)法求和

例如，已知數(shù)列{an}，n是正整數(shù)，an= ? ? ? ? ? ? ?，求{an}的前n項(xiàng)和Sn。

對an= ? ? ? ? ? ?進(jìn)行裂項(xiàng)可得：

an=

則Sn=

運(yùn)用裂項(xiàng)法求和的關(guān)鍵裂項(xiàng)的形式要對，以確保除了除公式中間的數(shù)據(jù)相加等于固定數(shù)值，與首數(shù)值和末尾數(shù)值相加后，求出前n項(xiàng)和。

六、通項(xiàng)求和

例如，求解1+11+111+1111+…+1…11之和，第n項(xiàng)的數(shù)值的位數(shù)是n。因?yàn)?…111= ? （9…999）= ? （10k-1）（k 等于1…111的位數(shù)），所以

1+11+111+1111+…+1…11

= ?（101-1）+ ?（102-1）+ ?（103-1）+ ?（104-1）+…+ ?（10n-1）

進(jìn)行分組求和后：

1+11+111+1111+…+1…11

= ?（101+102+103+104+…+10n）- ?（1 +1+1+1+…+1）（1的個(gè)數(shù)是n）

= ? ?（10n-1）-

= ? ?（10n+1-10-9n）

運(yùn)用通項(xiàng)求和的關(guān)鍵是把一個(gè)數(shù)值拆成兩個(gè)數(shù)值，以便把遵循一個(gè)規(guī)律的數(shù)值集合一起進(jìn)行求解。

對于數(shù)列試題的解答，應(yīng)在掌握基本概念和性質(zhì)的基礎(chǔ)上進(jìn)行，否者任何的解題技巧都將無有武之地。此外，也應(yīng)學(xué)習(xí)一些經(jīng)典的數(shù)列模型，以便更快地完成試題的解答。

（作者單位：江蘇省如皋市薛窯中學(xué)）