邢靜忠，梁清波，劉成旭，楊 濤,2

(1.天津工業(yè)大學(xué) 機械工程學(xué)院，天津 300387；2.天津工業(yè)大學(xué) 現(xiàn)代機電裝備技術(shù)天津市重點實驗室，天津 300387)

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圓柱形厚壁纏繞件的環(huán)向纏繞張力分析的逐層疊加法①

邢靜忠1，梁清波1，劉成旭1，楊 濤1,2

(1.天津工業(yè)大學(xué) 機械工程學(xué)院，天津 300387；2.天津工業(yè)大學(xué) 現(xiàn)代機電裝備技術(shù)天津市重點實驗室，天津 300387)

為實現(xiàn)不同梯度剩余張力的纏繞張力設(shè)計，揭示纏繞過程中的張力變化規(guī)律，提出逐層疊加法，研究可變形厚壁筒上環(huán)向纏繞張力與剩余張力之間的關(guān)系。基于不同材質(zhì)的雙層筒在外壓作用下的變形和應(yīng)力，獲得剩余張力下降量與纏繞張力的積分關(guān)系，計算各層纏繞張力產(chǎn)生的外壓引起內(nèi)纏繞層環(huán)向應(yīng)力的下降量。進而給出剩余張力函數(shù)，獲得線性錐度纏繞、等張力纏繞和等力矩纏繞條件下的剩余張力解析公式。將纏繞張力與剩余張力的積分關(guān)系式化為微分方程，求解出纏繞后等剩余張力的纏繞張力解析公式。通過鋼帶纏繞容器和有芯模的纖維纏繞筒的等張力設(shè)計對比研究表明，該文解析公式給出的張力設(shè)計方案與現(xiàn)有文獻完全吻合。文中模型從理論上很好地解決了柱形纏繞件的環(huán)向纏繞張力分析問題，適用于各向同性材料厚壁筒和纖維纏繞薄壁筒的纏繞分析和設(shè)計。

環(huán)向纏繞；柔性芯模；厚壁筒；張力分析；張力設(shè)計

0 引言

帶材收卷和開卷廣泛用于紡織、造紙、印刷等行業(yè)。為了使收卷后不產(chǎn)生折皺和厚度不勻等問題，需要對收卷張力進行精確控制[1-2]。針對張力控制系統(tǒng)研究[3-4]已很成熟。隨著數(shù)控纏繞設(shè)備的出現(xiàn)[3,5]，纏繞件幾何控制精度不斷提高，但纏繞張力研究相對滯后。纏繞是纖維增強復(fù)合材料結(jié)構(gòu)上應(yīng)用最普遍的工藝[6]。特別是承壓容器和管道，其纏繞工藝參數(shù)中的預(yù)張力及其梯度變化對性能影響很大[7-8]。為此，開展纏繞張力研究，對提高結(jié)構(gòu)件的承載能力和充分發(fā)揮數(shù)控設(shè)備的控制能力具有重要的現(xiàn)實意義。同時，纏繞張力研究也可為后續(xù)的等強度設(shè)計奠定基礎(chǔ)。

自纏繞工藝出現(xiàn)，先后出現(xiàn)多種模型進行張力分析和張力設(shè)計，這些研究大多僅適用于薄壁纏繞件[9-12]。文獻[13-14]研究剛性芯模上環(huán)向纏繞張力的分析和張力設(shè)計。Evan從理論和實驗上考慮了纖維纏繞過程中的非線性現(xiàn)象，建立數(shù)值求解模型，并和實驗進行對比[15]。為了滿足工程需要，文獻[16-18]利用有限元方法開展纏繞張力研究。繞帶式壓力容器的理論分析和實驗驗證為纏繞研究增添了重要素材，但其理論公式只適用于芯模和纏繞層同種材質(zhì)[19]。除承壓結(jié)構(gòu)需要纏繞張力控制，直升機的尾槳葉梁也需要纏繞張力的設(shè)計和控制[20]。到目前為止，要實現(xiàn)預(yù)定的剩余張力分布，如何設(shè)置初始張力仍不很明確。

本文基于外壓作用下2種材質(zhì)雙層筒的應(yīng)力響應(yīng)，模擬有芯模的纏繞層在纏繞張力引起外壓作用下的環(huán)向應(yīng)力變化，用逐層疊加法揭示纏繞過程中的纏繞張力與剩余張力關(guān)系。求解給出線性錐度纏繞、等張力纏繞和等力矩纏繞條件下的剩余張力解析公式。將纏繞張力與剩余張力的積分關(guān)系式化為微分方程，求解出纏繞后等張力的纏繞張力解析公式。

1 外壓下雙層筒的變形和應(yīng)力

設(shè)內(nèi)芯模和纏繞層近似滿足各向同性材料本構(gòu)關(guān)系，下面利用彈性力學(xué)厚壁筒理論求解內(nèi)半徑a，外半徑b的雙層筒在外壓qb作用下的變形和應(yīng)力。

1.1 變量定義及其基本關(guān)系式

定義ur(r)、uθ(r)=0、uz(r)和εr、εθ、εz分別表示徑向、環(huán)向、軸向位移和應(yīng)變。它們滿足：

(i=1,2)

(1)

式中i=1, 2分別代表內(nèi)筒和外筒。

內(nèi)外筒的微元體滿足力的平衡方程[21]和各向同性材料的本構(gòu)關(guān)系[22]。將其代入應(yīng)力平衡方程化簡后，可得位移形式的平衡方程，求解可得內(nèi)外筒的徑向位移：

(2)

其中，積分常數(shù)D1、D2、D3和D4可由邊界條件確定。

由式(2)位移場和物理關(guān)系，可得

(3a)

(3b)

(4)

1.2 內(nèi)外筒的邊界條件

設(shè)外半徑c的內(nèi)筒外表面的壓力為qc，根據(jù)內(nèi)筒內(nèi)外壁徑向應(yīng)力的邊界條件，確定出內(nèi)筒外表面在平面應(yīng)變情況下的徑向位移：

在r=c處，內(nèi)外筒的徑向應(yīng)力和徑向位移滿足：

(5)

由此獲得

1.3 外筒的應(yīng)力及徑向應(yīng)變

由芯模與纏繞層交界面上的徑向位移連續(xù)條件和纏繞層外壁的應(yīng)力條件，給出確定積分常數(shù)的線性代數(shù)方程組，求解得

(6)

其中

將式(6)代入式(2)、式(4)，可得雙層筒位移和應(yīng)力。其中，外筒應(yīng)力：

(7)

平面應(yīng)變情況下，外筒的徑向應(yīng)變：

(8)

式(7)描述的應(yīng)力分布與內(nèi)外筒的幾何尺寸和材料參數(shù)有關(guān)，但與它是平面應(yīng)力問題還是平面應(yīng)變問題無關(guān)。

1.4 退化情況下的內(nèi)外筒應(yīng)力和徑向應(yīng)變

當(dāng)內(nèi)筒很薄或剛度很小時，rE=∞，rGF=-1。此時，式(7)和式(8)退化為內(nèi)徑為c，外徑為b的可變形圓柱的應(yīng)力和徑向應(yīng)變。當(dāng)內(nèi)外筒材料的力學(xué)參數(shù)相等，即E1=E2，υ1=υ2時：

當(dāng)內(nèi)筒剛度很大、變形很小時，rE=0，rGF= 1-2υ2。此時，式(7)和式(8)退化為

(9)

(10)

基于上式，可進行剛性芯模上的纏繞張力分析和設(shè)計[13-14]。

2 剩余張力與纏繞張力的關(guān)系

文獻[13-14]不能用于芯模變形情況。考慮芯模變形時，剩余張力放松源于：

(1)內(nèi)芯模在纏繞張力引起的外壓作用下徑向收縮，導(dǎo)致纏繞層收縮，剩余張力下降。對于纏繞層較薄的結(jié)構(gòu)，這一影響對剩余張力放松起主要作用。

(2)纏繞層在外壓作用下發(fā)生徑向和環(huán)向收縮，使剩余張力下降。對于纏繞層較厚的結(jié)構(gòu)，它是影響剩余張力變化的主要因素。

2.1 纏繞張力引起的剩余張力放松量

從纏繞的正向過程看，每一層纏繞均會使已纏繞的內(nèi)部各層剩余張力下降，該下降量可按式(7)第2式計算。設(shè)當(dāng)前纏繞層位于半徑R處，當(dāng)前層纏繞張力Tw(R)(單位截面上纏繞層的張力)在半徑為R的圓柱上產(chǎn)生Tw(R)dR/R的徑向外壓(dR為纏繞層厚度)，它引起半徑r處纏繞層的環(huán)向應(yīng)力下降量：

(11)

逐層纏繞的每個纏繞層張力，均會使半徑r處的環(huán)向應(yīng)力下降。關(guān)于式(11)參數(shù)R積分，計算各纏繞層張力的影響，對式(11)關(guān)于R積分，得半徑r處的剩余張力下降量：

上式積分區(qū)間從任意位置r積分至纏繞層外半徑b。引入無量綱變換ξ=r/c，m=b/c，式(12)化簡為

(13)

由式(8)，同理可得無量綱化的徑向應(yīng)變：

(14)

對剛性內(nèi)筒，式(13)和式(14)分別退化為

(15)

基于式(15)和式(16)，可進行剛性芯模上的纏繞張力放松量計算和徑向應(yīng)變計算[13-14]。

2.2 用纏繞張力表示的剩余張力

由纏繞張力Tw(ξ)與剩余張力T(ξ)的關(guān)系式T(ξ)=Tw(ξ)+ΔT(ξ)，由式(13)得

該方程非常簡潔地描述了剩余張力T(ξ)與纏繞張力Tw(ξ)之間的關(guān)系。便于由纏繞張力Tw(ξ)求解剩余張力T(ξ)。

3 不同纏繞方案的剩余張力分析

剩余張力分析是纏繞工藝參數(shù)設(shè)計中的基本問題。利用式(17)，可由給定纏繞張力確定剩余張力。

需要說明的是參數(shù)rGF可能取值范圍[-1, 1-2ν2]。特別是rGF取-1、-a2/c2和1-2ν2時，對應(yīng)著柔軟內(nèi)筒、相同材質(zhì)內(nèi)外筒和剛性內(nèi)筒等特殊結(jié)構(gòu)。

在rGF=0特殊情況下，式(17)的結(jié)果簡化。在rGF>0時，式(17)定積分含有arctan(x)。在rGF<0時，式(17)解答用arctanh(x)表示，且根式(rGF)1/2需改為 (-rGF)1/2。

由已知Tw(ξ)求解T(ξ)，用式(17)積分。下面分別討論線性錐度張力纏繞、等張力纏繞和等力矩纏繞后的剩余張力分布。

(1)線性錐度張力纏繞

線性錐度纏繞張力Tw(ξ)=k0-k1ξ，式(17)的解答，當(dāng)rGF>0時：

(1≤ξ≤m)

(18a)

當(dāng)rGF<0時：

(1≤ξ≤m)

(18b)

當(dāng)rGF=0時：

(1≤ξ≤m)

(18c)

(2)等張力纏繞

設(shè)錐度系數(shù)k1=0，由式(18)可得等張力纏繞后的剩余張力分布。當(dāng)rGF>0和rGF<0時：

(1≤ξ≤m)

(19a)

當(dāng)rGF=0時：

(19b)

(3)等力矩纏繞

等力矩纏繞張力Tw(ξ)=k0/ξ，由式(17)得，當(dāng)rGF>0時：

(20a)

當(dāng)rGF<0時：

(20b)

當(dāng)rGF=0時：

(20c)

4 均勻剩余張力需要的纏繞張力

利用積分和微分關(guān)系，式(17)可化為

(21)

該微分方程描述剩余張力與纏繞張力的微分關(guān)系，通過求解可進行張力分析和張力設(shè)計。使用微分方程(21)，需引入條件Tw(m)=T(m)定解。

4.1 均勻剩余張力的纏繞方案

設(shè)纏繞后的剩余張力為Te，由式(21)求得

(22)

對于薄壁筒纏繞件，其放松量主要源于芯模的徑向變形。所以，纏繞層徑向變形差異對張力放松量影響不大。因此，盡管纖維纏繞材料的纖維向和橫向模量差異很大，但這種結(jié)構(gòu)在薄壁情況下，仍可用式(22)計算纏繞張力。

4.2 均勻剩余張力的鋼帶纏繞

文獻[17]提出有內(nèi)襯纏繞容器的等張力狀態(tài)的迭代計算方法，并計算文獻[19]的鋼帶纏繞容器。文獻[19]給出了纏繞完畢第k層鋼帶的環(huán)向應(yīng)力公式。對環(huán)向纏繞，αk=0，該公式退化為

(23)

式中 (σT0)k為第k層鋼帶的平均纏繞張力；Ri為內(nèi)筒的內(nèi)半徑；Rm和Rm+1分別為第m層的內(nèi)半徑和外半徑。

由式(23)看出，纏繞后鋼帶的環(huán)向應(yīng)力不均勻。張力需要取該層中心部位的環(huán)向應(yīng)力，或取環(huán)向應(yīng)力沿厚度的積分均值。

給定初始張力(σT0)k，由式(23)可獲得纏繞后的張力σgdθ。要想獲得纏繞后均勻的張力，可用迭代方法確定纏繞張力[17]。

4.3 等張力設(shè)計的薄壁纖維纏繞

文獻[17]提出用有限元模型迭代計算文獻[12]的有內(nèi)襯纖維纏繞薄壁筒等張力狀態(tài)的纏繞張力。文獻[12]給出實現(xiàn)等張力狀態(tài)的纖維纏繞張力公式：

(i=1,2,…,n)

(24)

其中

式中T為纏繞后的均勻張力；n為纏繞層數(shù)；Ef和hf分別為纖維的纖維向彈性模量和纏繞后每層纖維的厚度；E0和h0分別為內(nèi)襯的彈性模量和壁厚。

5 均勻剩余張力應(yīng)用舉例

例1：鋼帶環(huán)向纏繞，σgdθ=105 MPa，均勻張力[19]。

每層纏繞鋼帶厚4 mm，共M=12層。內(nèi)筒內(nèi)半徑Ri=250 mm，外半徑R1=266 mm，繞帶層外半徑RM= 314 mm。內(nèi)外筒材料的彈性模量E=200 GPa，μ=0.3。利用迭代方法，纏繞過程中的張力按式(23)迭代，取每層厚度中間半徑的應(yīng)力作為張力控制值。計算出各層張力[19]，見表1。文獻[17]提出用有限元模型迭代計算等張力纏繞的纏繞張力，見表1。

表1 等張力設(shè)計的纏繞張力Table1 Winding tension design leading to isotension MPa

按照上述參數(shù)，Te=105 MPa，取最外層厚度一半位置計算m=1.172 93，rGF=-(a/c)2=-0.883 32。式(22)給出每層內(nèi)側(cè)、中心和外側(cè)的張力，以及每層張力的積分均值(表1)。最后一層積分均值張力差距0.04 MPa，是因為等張力控制值按平均半徑位置的環(huán)向應(yīng)力，而沿厚度的積分均值存在很小偏差。

對比發(fā)現(xiàn)，本文結(jié)果與文獻[17,19]均有一定差距，在最內(nèi)層的最大差距達到7.14%和7.96%。這是因為本文模型是按照無限薄纏繞層的連續(xù)分析所致。當(dāng)纏繞層越薄，本文模型的差別越小。表2列出上述模型取不同纏繞層厚度時，式(23)給出了最內(nèi)層的纏繞張力，式(22)給出了張力積分均值和中值，以及中值與式(23)的偏差。從表2看出，當(dāng)層厚非常薄時，本文等張力設(shè)計趨于文獻[19]。隨著纏繞層厚度減薄，最內(nèi)層纏繞張力增大。

表2 等張力設(shè)計的不同厚度纏繞層最內(nèi)層纏繞張力Table2 Winding tension in the first layer of different thickness of layer leading to isotension

例2：薄壁纖維纏繞筒，Te=1 MPa,均勻環(huán)向張力。

芯模彈性模量E0=91.06 GPa，內(nèi)徑r=135 mm，內(nèi)襯厚h0=0.8 mm的筒上纏繞n=12層纖維，每層厚hf=0.125 mm，纖維向模量Ef=231.4 GPa，E2=E3=13.2 GPa，泊松比μ12=μ13=0.28，μ23=0.25，剪切模量G12=G13= 9.17 GPa，G23=5 GPa。

按照上述參數(shù)，E21=2.541 18，取υ1=υ2= 0.28，得rGF= -0.995 354；取最外層厚度一半位置的半徑計算m= 1.010 585。式(22)給出各層內(nèi)側(cè)、中心和外側(cè)的張力，以及每層張力的積分均值(表3)。文獻[12]結(jié)果是按照式(24)取λ=0.397 06計算得到，“偏差一”是式(24)結(jié)果與本文結(jié)果的偏差。分布在3.43%～4.20%之間的“偏差一”主要因為式(24)在最外層沒有達到1 MPa張力。

表3 纖維纏繞薄壁筒的等張力設(shè)計的纏繞張力Table3 Winding tension lead to isotension of thin-walled fiber winding cylinder MPa

按照第12層張力達到1 MPa要求，按比例修正后的結(jié)果及其與本文的偏差分別列于表中“修正”和“偏差二”。可看出，修正后的結(jié)果與本文結(jié)果吻合很好，表明式(22)可用于纖維纏繞薄壁筒的等張力設(shè)計。這主要是因為薄壁件厚度方向的徑向變形與纏繞層環(huán)向變形引起的徑向變形相比很小，所以本文模型仍可用于纖維纏繞薄壁件的纏繞張力分析和張力設(shè)計。

6 常見纏繞方案的剩余張力

下面分別討論不同剛度參數(shù)下，錐度纏繞和等力矩纏繞后的剩余張力分布。

(1)分別取錐度纏繞的錐度系數(shù)k1=0，0.1k0，0.2k0和0.3k0，rGF=-0.4、-0.2、0、0.2、0.4(對應(yīng)著芯模剛度逐漸增大)條件下，由式(18)給出m=2的剩余張力分布(圖1)。

圖1(a)錐度系數(shù)零，即是等張力纏繞。從圖1可看出，隨著芯模剛度增大(rGF增大)，剩余張力增大；錐度系數(shù)越小，內(nèi)層剩余張力越??；對剛度較大的芯模，選擇合理的錐度系數(shù)，可獲得較均勻的剩余張力。

(2)等力矩纏繞后的張力分布。

由式(20)給出m=2時，等力矩纏繞后的剩余張力分布(圖2)。從圖2看出，芯模剛度越大，剩余張力越大。當(dāng)rGF=0時，等力矩纏繞可獲得纏繞后均勻的剩余張力。當(dāng)rGF>0時，等力矩纏繞后內(nèi)緊外松；當(dāng)rGF<0時，正好相反。

(a) k1=0 (b) k1=0.1k0

(c) k1=0.2k0 (d) k1=0.3k0

圖2 等力矩纏繞后的剩余張力Fig.2 Residual tension of equal torque winding strategy

7 結(jié)論

(1)本文等張力設(shè)計公式在纏繞層很薄時，既可用于鋼帶纏繞容器，也可用于芯模和纏繞層不同材質(zhì)的纏繞結(jié)構(gòu)的張力分析和張力設(shè)計。

(2)本文給出的纏繞張力和剩余張力微分關(guān)系式揭示的張力關(guān)系，可用于厚壁纏繞件的張力分析和張力設(shè)計。

(3)對薄壁結(jié)構(gòu)的纖維纏繞張力分析和張力設(shè)計，本文結(jié)果仍具有很高的準(zhǔn)確度和指導(dǎo)意義。

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(編輯：呂耀輝)

Analysis of winding tension for hoop winding on deformable thick-walled cylinder with superposition by layers

XING Jing-zhong1, LIANG Qing-bo1, LIU Cheng-xu1, YANG Tao1,2

(1. School of Mechanical Engineering, Tianjin Polytechnic University, Tianjin 300387, China; 2. Tianjin Key Laboratory of Advanced Mechatronics Equipment Technology, Tianjin Polytechnic University, Tianjin 300387, China)

To realize varied grade of residual tension, and investigate the variety of residual tension in winding process, a superposition by layers method was suggested to research the relationship between winding tension and residual tension on a deformable thick-walled cylinder. Based on deformation and stress response of a two-layered cylinder made of different materials, decrease of residual tension described by an integrated expression of winding tension was proposed to calculate decrease of circular stress in inner layers under pressure due to outer winding tension. Then analytical formulae of residual tension distribution formed by cone winding, isotension and equal torque tension strategy were obtained from the residual tension function, respectively. With differential equation of winding tension and residual tension converted from the integration relation, an analytical formula of wind tension leading to isotension was given. Compared with an isotension strategy of a steel band winding vessel and an isotension strategy of a fiber winding thin-walled cylinder with a mandrel, the formula is quite consistent with winding tension result of thin-walled cylinder. The research shows that the model works very well for hoop winding tension analysis of cylindrical mandrel theoretically, which is capable of tension analysis of thick-walled isotropic cylinder and thin-walled fiber winding cylinder.

hoop winding；flexible mandrel；thick-walled cylinder；tension analysis；tension design

2014-03-25；

：2014-08-06。

天津市應(yīng)用基礎(chǔ)與前沿技術(shù)研究計劃一般項目(14JCYBJC19200)。

邢靜忠(1966—)，男，博士/教授，主要從事復(fù)合材料結(jié)構(gòu)力學(xué)分析。E-mail:hsingjzh@tjpu.edu.cn

V258

A

1006-2793(2015)02-0261-06

10.7673/j.issn.1006-2793.2015.02.020