張民悅，姜明明

(蘭州理工大學(xué)理學(xué)院，蘭州 730050)

引言

溫貯備可修系統(tǒng)模型是可靠性理論中重要研究對象之一，對于實際生產(chǎn)生活也有重要的應(yīng)用意義。溫貯備是指貯備部件在其貯備期內(nèi)也會發(fā)生故障，且部件的貯備壽命與工作壽命分布一般不同［1］。轉(zhuǎn)換開關(guān)的作用是用貯備部件更換失效的工作部件，故基于實際考慮，開關(guān)的不完全可靠性(即開關(guān)也可能失效)也會對系統(tǒng)的可靠性有重要影響。文獻(xiàn)［2-8］研究分析了二部件溫貯備系統(tǒng)，文獻(xiàn)［9-11］基于轉(zhuǎn)換開關(guān)不可靠情形，研究了冷貯備系統(tǒng)的可靠性，文獻(xiàn)［12-13］分別基于轉(zhuǎn)換開關(guān)完全可靠、不可靠情形，研究了沒有修理設(shè)備的三部件溫貯備不可修系統(tǒng)模型，文獻(xiàn)［14-15］針對是否具有優(yōu)先權(quán)，研究分析了三部件溫貯備可修系統(tǒng)模型的可靠性。依據(jù)上述研究，本文基于開關(guān)失效則系統(tǒng)失效的轉(zhuǎn)換開關(guān)不完全可靠情形，研究分析了三個不同型部件、一個修理工組成的溫貯備Markov型可修系統(tǒng)的可靠性。

1 模型假設(shè)

假定1 系統(tǒng)由三個不同型部件a1，a2，a3組成，a1比a2具有優(yōu)先權(quán)(即優(yōu)先工作權(quán)與優(yōu)先維修權(quán))，a2比a3具有優(yōu)先權(quán)，開關(guān)比部件具有優(yōu)先維修權(quán)。在t=0的初始時刻，三個部件均是完好的，a1工作，a2，a3進(jìn)行溫貯備。若開關(guān)正常，當(dāng)a1發(fā)生故障時，若a2，a3均完好，則a2立即進(jìn)入工作狀態(tài);若a2也發(fā)生故障，a3完好，則a3立即進(jìn)入工作狀態(tài)。當(dāng)a1完成維修時，a1立即進(jìn)入工作狀態(tài)，a2，a3進(jìn)入貯備、修理或待修狀態(tài)。若開關(guān)失效，開關(guān)立即進(jìn)行維修，a1，a2，a3進(jìn)入貯備或待修狀態(tài)。

假定2 部件的工作壽命與其貯備期長短無關(guān)，轉(zhuǎn)換開關(guān)的壽命、修理時間和部件的工作壽命、修理時間和貯備壽命的分布分別為

其中，t≥0，λ ＞ 0，μ ＞ 0，λi＞ 0，νi＞ 0，μi＞ 0，i=1，2，3。

假定3 貯備部件替換失效部件是瞬時完成的，且兩個部件(或部件與轉(zhuǎn)換開關(guān))同時發(fā)生故障的概率可以忽略不計，部件與轉(zhuǎn)換開關(guān)均能修復(fù)如新。

2 模型分析

2.1 系統(tǒng)狀態(tài)分析

令X(t)表示t時刻系統(tǒng)的狀態(tài)，則依據(jù)模型假設(shè)可知，此系統(tǒng)具有16個不同的狀態(tài):

0:a1工作，a2和a3溫貯備，開關(guān)正常;

1:a1工作，a2修理，a3溫貯備，開關(guān)正常;

2:a1工作，a2溫貯備，a3修理，開關(guān)正常;

3:a1工作，a2修理，a3待修，開關(guān)正常;

4:a1修理，a2工作，a3溫貯備，開關(guān)正常;

5:a1修理，a2工作，a3待修，開關(guān)正常;

6:a1修理，a2待修，a3工作，開關(guān)正常;

7:a1修理，a2，a3待修，開關(guān)正常;

8:a1，a2，a3溫貯備，開關(guān)修理;

9:a1待修，a2，a3溫貯備，開關(guān)修理;

10:a1，a3溫貯備，a2待修，開關(guān)修理;

11:a1，a2溫貯備，a3待修，開關(guān)修理;

12:a1，a2待修，a3溫貯備，開關(guān)修理;

13:a1，a3待修，a2溫貯備，開關(guān)修理;

14:a1溫貯備，a2，a3待修，開關(guān)修理;

15:a1，a2，a3待修，開關(guān)修理。

顯然，系統(tǒng)狀態(tài)空間集 E={0，1，2，…，15}，工作狀態(tài)集 W={0，1，2，3，4，5，6}，故障狀態(tài)集 F={7，8，···，15}，易知{X(t)，t≥0}是狀態(tài)集E上時齊馬爾科夫過程。

2.2 系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移率矩陣

在Δt時間里，系統(tǒng)由狀態(tài)i轉(zhuǎn)移到狀態(tài)j的概率為

其中，矩陣A的相應(yīng)分塊矩陣B，C，D，E分別為

3 模型可靠性指標(biāo)求解

3.1 系統(tǒng)的平穩(wěn)結(jié)果

由齊次線性方程組

解得

其中

從而得出系統(tǒng)的平穩(wěn)結(jié)果:

(1)系統(tǒng)可用度

(2)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)故障頻率

(3)系統(tǒng)平均開工時間

(4)系統(tǒng)平均停工時間

(5)系統(tǒng)平均周期

3.2 系統(tǒng)的可靠度及首次故障前平均時間

令系統(tǒng)的所有故障狀態(tài)為馬爾科夫過程的吸收狀態(tài)，則可以構(gòu)成一個新的馬爾科夫過程{?X(t)，t≥0}，即令分塊矩陣D=0，E=0。令Qj(t)=P{?X(t)=j}

(t≥0，j∈ E)，則有

其中

由文獻(xiàn)［1］可知系統(tǒng)可靠度R(t)是從初始時刻起至?xí)r刻t過程{X(t)，t≥0}一直處于工作狀態(tài)的概率，即時刻t過程{?X(t)，t≥0}尚未進(jìn)入吸收狀態(tài)的概率。則系統(tǒng)可靠度為

其中Qj(t)，j∈W滿足微分方程組

即需解方程組

對上述方程兩邊同時應(yīng)用Laplace變換得到

解得

從而得出該系統(tǒng)模型R(t)的Laplace變換解析式:

其中

首次故障前平均時間為

其中，

ε'，K'，K'0分別為 ε，K，K0中 s=0 所得。

4 結(jié)束語

特別地，若參數(shù)λ=0，則文章所討論分析的內(nèi)容可以視作在開關(guān)完全可靠條件下，對三個不同型部件組成的溫貯備可修系統(tǒng)的可靠性進(jìn)行研究;若λ1=λ2=λ3，υ1= υ2= υ3，μ1= μ2= μ3，則所討論分析的內(nèi)容可以視作在開關(guān)不完全可靠條件下，對三個同型部件所組成的溫貯備可修系統(tǒng)的可靠性進(jìn)行研究。通過對該系統(tǒng)模型的分析研究，且與以往三部件溫貯備系統(tǒng)的研究成果相比，考慮到實際情況中系統(tǒng)的轉(zhuǎn)換開關(guān)并不完全可靠，它也可能失效，且具有修理工的可修系統(tǒng)可靠性分析模型，其所求得的系統(tǒng)可靠性指標(biāo)結(jié)果應(yīng)該更滿足實際情況，具有一定的現(xiàn)實意義。

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