張婧珂

摘 要：所謂類比指的是借助類似的事物的特征刻畫突出本體事物特征，更淺顯形象地加深本體事物理解。根據(jù)類比的思想方法，探討利用平面幾何與立體幾何之間的拓展和演變關(guān)系，借助類比的方法和技巧進(jìn)行相關(guān)問題的立體幾何教學(xué)，是本文的基本出發(fā)點(diǎn)。通過這種數(shù)學(xué)思想的灌輸，不斷強(qiáng)化學(xué)生的類比思維能力，不斷增長學(xué)生的探索精神和創(chuàng)新意識。

關(guān)鍵詞：類比；立體幾何；應(yīng)用；教學(xué)；

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1674-3520（2015）-01-00-01

教學(xué)大綱指出，要重視能力的培養(yǎng)，使學(xué)生逐步學(xué)會(huì)分析、綜合、歸納、類比等重要的思想方法。根據(jù)高中生的抽象邏輯思維從經(jīng)驗(yàn)型向理論型急劇轉(zhuǎn)化的心理特點(diǎn)和高中數(shù)學(xué)教材的特點(diǎn)，教學(xué)中恰當(dāng)?shù)貞?yīng)用類比等方法，不僅能突出問題的本質(zhì)，提高教學(xué)質(zhì)量，而且有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造能力等思維品質(zhì)，提高認(rèn)識問題和解決問題的能力。本文就“立體幾何”的教學(xué)，談一些自己的教學(xué)體會(huì)。

一、學(xué)習(xí)立體幾何之前，學(xué)生已學(xué)習(xí)了平面幾何的公理、定理；積累了大量的基本幾何圖形和思考二維平面問題的方法，立體幾何中的大量概念又借助平面幾何的概念發(fā)展而來，于是合理類比平面幾何的結(jié)論，從立體到平面，再回到立體思考問題有利于學(xué)生容易理解。聯(lián)系相應(yīng)的平面幾何的知識，抓住―切可供類比的知識點(diǎn)，將兩種圖形的性質(zhì)進(jìn)行對比，對于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)感是相當(dāng)有利的。

例如，當(dāng)學(xué)生掌握了棱柱、棱錐、棱臺的體積公式以后，讓學(xué)生尋找這三個(gè)公式之間的聯(lián)系V=Sh V=1/3Sh V=1/3（S1+S1S2+S2）h

棱柱和棱錐的體積計(jì)算公式可以看作棱臺的上下底發(fā)生變化發(fā)展而來，當(dāng)棱臺的上底和下底一樣大小的時(shí)候，棱臺成為了棱柱，則有S1=S2，棱臺的體積公式V=1/3（S1+S1S2+S2）h變化為棱柱的體積公式V=Sh，當(dāng)棱臺的上底縮為一個(gè)點(diǎn)的時(shí)候，棱臺成為了棱錐，V=1/3（S1+S1S2+S2）h變化為V=1/3Sh，進(jìn)一步思考這種聯(lián)系與平面幾何中的哪三個(gè)公式有類似之處。

通過學(xué)生討論知悉：平面幾何中都是平面圖形，不存在體積計(jì)算同題，那么體積計(jì)算公式應(yīng)對應(yīng)于平面圖形的面積計(jì)算公式，棱臺如抽象成平面圖形可比作梯形，棱錐對應(yīng)于三角形！那么棱桂又該怎樣呢對棱柱的特點(diǎn)作仔細(xì)研究，最后學(xué)生想到了棱柱可與平行四邊形進(jìn)行對照，把梯形、平行四邊形、三角形的面積公式列在―起很快發(fā)現(xiàn)這三個(gè)公式有類似的規(guī)律，從中既讓學(xué)生對于平面幾何與立體幾何的類比有了一定的認(rèn)識，如面積類比體積，也讓學(xué)生領(lǐng)略到數(shù)學(xué)公式的美。

二、數(shù)學(xué)教育家波利亞說：“類比就是一種相似”。把兩個(gè)數(shù)學(xué)對象進(jìn)行比較，找出它們相似的地方，從而推出這兩個(gè)數(shù)學(xué)對象的其它一些屬性也有類似的地方，這在教學(xué)中關(guān)于概念、性質(zhì)的教學(xué)是最常用的方法。

例如：“二面角的定義”，從模型引入二面角后可以從平面幾何角的概念，類比概括二面角的定義：

通過角的概念，由“平面―空間”、“點(diǎn)―線”、“紱―面”進(jìn)行類比得出二面角的定義，既可減少二面角的教學(xué)難度，又進(jìn)一步讓學(xué)生了解到一些平面幾何研究對象與立體幾何研究對象常用的類比關(guān)系，如點(diǎn)可以類比直線，直線類比平面等，使類比思維方法潛移默化地滲透于教學(xué)之中。

三、在講授新知識的同時(shí)，經(jīng)常聯(lián)系舊知識，創(chuàng)造條件進(jìn)行類比，擴(kuò)展學(xué)生的思路，養(yǎng)或?qū)W生進(jìn)行類比推理的習(xí)慣，平面幾何的基本元素是點(diǎn)和直線，而立體幾何的基本元素是點(diǎn)、直線和平面，若建立如下對應(yīng)關(guān)系：平面內(nèi)的點(diǎn)對應(yīng)到空間中的點(diǎn)或直線，平面內(nèi)的直線對應(yīng)到空間中的直線或平面，那么把平面幾何某些定理中的點(diǎn)換作直線，或把線換作平面，就可以幫助學(xué)生“發(fā)現(xiàn)”一類相以的立體幾何定理。

例如有：平行于同一直線的兩條直線平行 平行于同一平面的兩個(gè)平面平行

四、通過這樣新舊知識的聯(lián)系來進(jìn)行類比，既有利于理解、掌握新知識，還能使舊知識得到鞏固，同時(shí)拓寬視野，當(dāng)學(xué)生對于平面與空間的類比有了進(jìn)一步認(rèn)識以后，讓學(xué)生嘗試完成下面的類比：

在平面幾何中，正三角形內(nèi)任何一點(diǎn)到各邊的距離之和為定值。探討：在立體幾何中，三角形類比成三棱錐，那么正三角形作為最特殊的三角形，應(yīng)該類比成什么三棱錐？有學(xué)生說是正三棱錐，有學(xué)生說是正四面體，通過學(xué)生相互的討論、爭執(zhí)，最后發(fā)現(xiàn)正三棱錐應(yīng)該和等腰三角形進(jìn)行類比，正三角形應(yīng)該和正四面體進(jìn)行類比，又根據(jù)線和面對應(yīng)，于是可以猜想該結(jié)論是：在立體幾何中，正四面體內(nèi)一點(diǎn)到各個(gè)面的距離之和為定值。

五、關(guān)于類比，還要注意可能產(chǎn)生的負(fù)遷移，也就是要克服一些錯(cuò)誤的類比，如易混概念的類比，易混性質(zhì)的類比，從而準(zhǔn)確地掌握概念和性質(zhì)的本質(zhì)，有區(qū)別地認(rèn)識具有某種相似性的概念。如，有學(xué)生把平面幾何中“苦a□c，b□c，則a□b”的結(jié)論總是在立體幾何中進(jìn)行使用， 有的學(xué)生由“若a□b， b□c則a□c”的結(jié)論類比得出“若a和b異面，b和c異面，則a和c異面”的錯(cuò)誤結(jié)論。

康德說過：“每當(dāng)理智缺乏可靠論證的思路時(shí)，類比這種方法往往能指引我們前進(jìn)?！币虼酥灰獙W(xué)生學(xué)會(huì)了類比這個(gè)重要的思想方法，不僅能幫助他們理解和掌握新知識，而且還能提高他們的解題能力，促進(jìn)創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)。波利亞在《數(shù)學(xué)與猜想》中指出：“平面幾何與立體幾何作類比，這種類比有多種多樣，因而常常是含糊的和不總是確定的，但是它是提出新問題和獲得新發(fā)現(xiàn)取之不竭的源泉?！庇善矫鎺缀螁栴}類比聯(lián)想推廣到立體幾何中去，又運(yùn)用類比聯(lián)想將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何去思考，在這個(gè)類比教學(xué)的過程中，讓學(xué)生感受到了知識是如伺產(chǎn)生和發(fā)展的！

參考文獻(xiàn)：

[1]廖大慶，劉信斌. 數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)教學(xué)法初探[J]. 工科數(shù)學(xué). 2000（01）

[2]李剛，甘德安. 哲學(xué)思想在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的指導(dǎo)作用[J]. 武漢冶金管理干部學(xué)院學(xué)報(bào). 2001（03）

[3]陳凌云，陳輝. 類比和歸納：數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要方法[J]. 綏化師專學(xué)報(bào). 1995（03）