曾憲學(xué)

摘 要：在復(fù)習(xí)教學(xué)階段，必須對(duì)復(fù)習(xí)的時(shí)間和內(nèi)容做出科學(xué)、合理的安排，才能保證復(fù)習(xí)工作的扎實(shí)、高效?，F(xiàn)以《K字形相似三角形專題復(fù)習(xí)》教學(xué)為例，對(duì)“橫向拓展”教學(xué)模式的基本流程、“橫向拓展”教學(xué)模式的實(shí)踐成效、建立“橫向拓展”教學(xué)模式的框架、“橫向拓展”教學(xué)模式與“傳統(tǒng)專題復(fù)習(xí)”教學(xué)模式的區(qū)別做系統(tǒng)論述，從而引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中不斷挖掘、提煉、總結(jié)基本圖形，以達(dá)到“做一題，通一類，會(huì)一片”，從而跳出題海的效果。

關(guān)鍵詞：基本圖形；橫向拓展；解題策略

初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、基本數(shù)學(xué)思想方法涉及面很廣。因此，在復(fù)習(xí)教學(xué)階段，必須對(duì)復(fù)習(xí)的時(shí)間和內(nèi)容做出科學(xué)、合理的安排，才能保證復(fù)習(xí)工作的扎實(shí)、高效?！皬?fù)習(xí)教學(xué)”一般分為“系統(tǒng)復(fù)習(xí)”和“專題復(fù)習(xí)”。“系統(tǒng)復(fù)習(xí)”的教學(xué)模式是用小問(wèn)題回顧基礎(chǔ)知識(shí)，歸納、構(gòu)建知識(shí)縱向網(wǎng)絡(luò)，選擇典型問(wèn)題，總結(jié)、提煉解題規(guī)律，梳理知識(shí)納入體系，強(qiáng)調(diào)的是知識(shí)之間的縱向聯(lián)系，主要針對(duì)一章或一領(lǐng)域的內(nèi)容，適用于第一輪復(fù)習(xí)，我們稱之為系統(tǒng)復(fù)習(xí)“縱向深入”教學(xué)模式?！皩ｎ}復(fù)習(xí)”是從基本問(wèn)題（圖形）出發(fā)，逐漸增加條件（或改變圖形），過(guò)渡到專題的核心內(nèi)容，在提出問(wèn)題和解決問(wèn)題的過(guò)程中，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)典型例題進(jìn)行變式拓展，建立知識(shí)的橫向網(wǎng)絡(luò)，強(qiáng)調(diào)各部分知識(shí)的橫向聯(lián)系，主要針對(duì)跨章或跨領(lǐng)域的內(nèi)容，適用于第二輪復(fù)習(xí)，我們稱之為專題復(fù)習(xí)“橫向拓展”教學(xué)模式。

本文以《K字形相似三角形專題復(fù)習(xí)》的教學(xué)實(shí)踐為例，基于“橫向拓展”教學(xué)模式，談?wù)劰P者的一些嘗試研究與思考。

一、“橫向拓展”教學(xué)模式的基本流程

1.引入基本圖形

從基本圖形（基本問(wèn)題）出發(fā)，逐漸增加條件（改變圖形），讓學(xué)生清晰地認(rèn)識(shí)基本圖形的特征，然后逐漸拓展延伸基本圖形（問(wèn)題）。

基本圖形：如圖1，A，C，D三點(diǎn)共線，且∠A=∠D=∠BCE=90°。

問(wèn)題1：觀察圖形后，你能獲得什么結(jié)論？

生1：△ABC∽△DCE。

問(wèn)題2：你能否用一個(gè)英文字母表示一下這個(gè)圖的模型？

生眾：K字形。

問(wèn)題3：如圖2，A，C，D三點(diǎn)共線，且∠A=∠D=∠BCE，還有這個(gè)結(jié)論嗎？

生眾：有。

2.過(guò)渡核心問(wèn)題，深刻認(rèn)識(shí)基本圖形

通過(guò)基本圖形（基本問(wèn)題）的拓展延伸，逐漸過(guò)渡到核心知識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)結(jié)論，同時(shí)解決問(wèn)題。在解決問(wèn)題的過(guò)程中，深刻認(rèn)識(shí)，明晰核心知識(shí)的考點(diǎn)及典型題。

問(wèn)題4：如圖3，等邊△ABC中，邊長(zhǎng)為6，D是BC上動(dòng)點(diǎn)，∠EDF=60°，這時(shí)你能得到什么結(jié)論？

生2：△BDE∽△CFD。

師：你能給出證明嗎？

生2：能。

∵△ABC是等邊三角形，∠EDF=60°，

∴∠B=∠C=∠EDF=60°

∵∠EDC=∠EDF+∠FDC=∠B+∠BED

∴∠BED=∠FDC

∴△BDE∽△CFD

師：當(dāng)BD=1，F(xiàn)C=3時(shí)，BE=？

生3：∵△BDE∽△CFD，∴=

∵BD=1，F(xiàn)C=3，CD=5，∴BE=

師：下面我們對(duì)這道題反思一下，我們從這道題中發(fā)現(xiàn)了什么？學(xué)到了什么？

生3：我發(fā)現(xiàn)在這個(gè)K字形中，一線上三個(gè)角相等的兩個(gè)相似三角形，對(duì)于求線段長(zhǎng)，我們又多了一條思路，那就是利用相似三角形性質(zhì)，對(duì)應(yīng)邊中已知三邊，可以求第四邊。

3.典型例題變式，建立橫向網(wǎng)絡(luò)

引導(dǎo)學(xué)生對(duì)典型例題進(jìn)行變式拓展，自己發(fā)現(xiàn)結(jié)論，同時(shí)解決問(wèn)題。在解決問(wèn)題的過(guò)程中，建立知識(shí)的橫向聯(lián)系，從而提高解決綜合問(wèn)題的能力。

問(wèn)題5：如圖4，在問(wèn)題4的背景下，將等邊三角形改為等腰三角形，動(dòng)點(diǎn)D，改為定點(diǎn)，且為底邊上的中點(diǎn)，即在等腰△ABC中，AB=AC，D是BC中點(diǎn)，∠EDF=∠B，這時(shí)你能得到什么結(jié)論？

生4：△BDE∽△CFD。

師（追問(wèn)）：就這一結(jié)論嗎？

生4點(diǎn)點(diǎn)頭。

師：好的。你先坐下來(lái)再思考一下，其他同學(xué)還有其他發(fā)現(xiàn)嗎？請(qǐng)大家思考一下。

∵∠APQ=∠APB+∠CPQ

∠ABC=∠APB+∠PAB

∠APQ=∠ABC

∴∠CPQ=∠PAB

又∵∠ABP=180°-∠ABC

∠PCQ=180°-∠ABC，∠ABC=∠ACB

∴∠ABP=∠PCQ

∴△QCP∽△PBA

師：此題是典型的圖形變式題，對(duì)于這類變式問(wèn)題是中考中最常見(jiàn)的，雖然圖形改變，但是方法不變，依舊是原來(lái)的兩個(gè)三角形相似列出比例式后求解。當(dāng)?shù)妊切巫兪綖檎叫螘r(shí)，依然沿用剛才的方法便可破解此類問(wèn)題。記住口訣：“圖形改變，方法不變”。動(dòng)點(diǎn)在線段上時(shí)，通過(guò)哪兩個(gè)三角形相似求解，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，還是找原來(lái)的兩個(gè)三角形，多數(shù)情況下這兩個(gè)三角形還是相似的，還是可以沿用原來(lái)的方法求解。

4.尋求共性規(guī)律，形成解題策略

學(xué)生在對(duì)典型例題進(jìn)行變式以及解決問(wèn)題的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)共性規(guī)律，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、優(yōu)化解題策略。

問(wèn)題9：通過(guò)典型例題的變式與拓展，在解決問(wèn)題的過(guò)程中，你發(fā)現(xiàn)了哪些共性的規(guī)律？

生10：我發(fā)現(xiàn)：在圖形中，若條件是頂點(diǎn)共線的三個(gè)角相等，應(yīng)考慮運(yùn)用今天所學(xué)的K字形相似，這類型題目往往以等腰三角形或者等邊三角形為背景。

師：你總結(jié)得很到位。我們把剛才所學(xué)的幾個(gè)圖形提煉如下：

若條件是頂點(diǎn)共線的三個(gè)角相等，一個(gè)與等腰三角形的底角相等的角，其頂點(diǎn)在等腰三角形底邊（或其延長(zhǎng)線）上，角的兩邊分別與等腰三角形的兩邊（或其延長(zhǎng)線上）相交（如圖11所示），其中一等角的頂點(diǎn)在底邊上的位置不同得到的相似三角形的結(jié)論也不同，當(dāng)頂點(diǎn)移動(dòng)到底邊的延長(zhǎng)線時(shí)，形成變式圖形，圖形雖然變化，但是求證的方法不變。

二、“橫向拓展”教學(xué)模式實(shí)踐成效

1.讓不同的學(xué)生得到不同的發(fā)展

基于《K字形相似三角形專題復(fù)習(xí)》這節(jié)課，課后我對(duì)所教的班級(jí)作了問(wèn)卷調(diào)查，問(wèn)卷如下：

（1）老師這堂課設(shè)計(jì)的問(wèn)題對(duì)你來(lái)說(shuō)難度如何

（ ）。

A.比較簡(jiǎn)單 B.比較難 C.由簡(jiǎn)單到難

（2）老師這堂課設(shè)計(jì)基本圖形——K字形，在今后解題時(shí)，若遇到的題目中需要用到今天所學(xué)K字形時(shí)，是否在較復(fù)雜的圖形中識(shí)別出基本圖形K字形，并運(yùn)用今天總結(jié)的規(guī)律加以解決？

（3）這堂課你在解決老師課堂任務(wù)單上題目時(shí)，是否積極思考了，老師給的時(shí)間夠嗎？若不夠是哪道題？其中哪道題最能激發(fā)你的思維？

（4）談?wù)勍ㄟ^(guò)這種專題復(fù)習(xí)課的學(xué)習(xí)你最大的收獲是什么。（多談點(diǎn)）

（5）最后請(qǐng)同學(xué)們對(duì)這堂課提出一些你想表達(dá)的建議。（我希望得到建議，可多談些）

問(wèn)卷分析如下：

對(duì)于第（1）題，大部分的同學(xué)回答：C.由簡(jiǎn)單到難，說(shuō)明教師設(shè)計(jì)的問(wèn)題合理且符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。

對(duì)于第（2）題，80%的學(xué)生回答：通過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí)能夠解決類似題型。

對(duì)于第（3）題，對(duì)于基礎(chǔ)好的學(xué)生回答：積極思考，而且認(rèn)為思考的時(shí)間足夠；其中基礎(chǔ)差的學(xué)生回答：老師給的思考時(shí)間不夠，講得有點(diǎn)快；對(duì)于最能激發(fā)思維的都認(rèn)為：?jiǎn)栴}6的最后一問(wèn)及問(wèn)題7，需要用到分類討論的思想方法。

對(duì)于第（4）題，學(xué)生的回答基本上是：

A學(xué)生：我最大的收獲是基本掌握了K字形的題目，能從復(fù)雜的圖形中識(shí)別出K字形，有些題目還需要在圖形中構(gòu)造K字形，并運(yùn)用其結(jié)論解題?？傊?，我這節(jié)課聽(tīng)懂了。

B學(xué)生：我最大的收獲是可以從反復(fù)講過(guò)的同一類型的題目當(dāng)中找到了基本圖形，從而讓解題思路清楚明了，對(duì)解同一類型題目增強(qiáng)了信心。

C學(xué)生：我最大的收獲是原來(lái)涉及這一類題易錯(cuò)，通過(guò)今天的學(xué)習(xí)，覺(jué)得不會(huì)再出錯(cuò)，思維變開(kāi)闊了。

眾生思考。

對(duì)第（5）題，學(xué)生的回答基本是：

D學(xué)生：我覺(jué)得這堂課的時(shí)間過(guò)得太快了，不知不覺(jué)就下課了，我還發(fā)現(xiàn)：在有關(guān)二次函數(shù)的知識(shí)里也有K字形，可以用今天所學(xué)的知識(shí)來(lái)解決。

E學(xué)生：可以在下次考試當(dāng)中放一道有關(guān)K字形的題，檢測(cè)一下我們，看看我們是否真的掌握了，老師最好是你自己編的好題、新題，大家都沒(méi)有做過(guò)的，這樣更能反映我們的真實(shí)水平。

F學(xué)生（優(yōu)秀生）：下次復(fù)習(xí)的時(shí)候，問(wèn)題可以再難點(diǎn)，這樣更能激發(fā)我們的思維，提高我們的解題能力。

由此可見(jiàn)，運(yùn)用“橫向拓展”模式進(jìn)行專題復(fù)習(xí)，設(shè)計(jì)題目遵循“切入口小、由簡(jiǎn)到難、橫向拓展”的原則，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，讓不同層次的學(xué)生得到不同的發(fā)展。

2.教育質(zhì)量明顯提高，培養(yǎng)優(yōu)生效果顯著

中考復(fù)習(xí)第二輪，我校九年級(jí)數(shù)學(xué)組進(jìn)行了中考復(fù)習(xí)課的研究與實(shí)踐，其中實(shí)驗(yàn)班采用了“橫向拓展”專題復(fù)習(xí)，其余沿用了傳統(tǒng)專題復(fù)習(xí)。筆者將這次九年級(jí)模擬成績(jī)（以下簡(jiǎn)稱“九模”）與九上期末成績(jī)作了比較：

■

由上表數(shù)據(jù)可以看出，906班（這次“實(shí)驗(yàn)班”）九上期末時(shí)成績(jī)從平均分與優(yōu)秀率來(lái)看，與我校其他同層次班級(jí)幾乎在同一起跑線上，但通過(guò)采用“傳統(tǒng)專題復(fù)習(xí)”與“橫向拓展專題復(fù)習(xí)”兩種不同的教學(xué)模式進(jìn)行教學(xué)實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)班九模成績(jī)明顯高于同層次且未采用這種模式進(jìn)行復(fù)習(xí)的班級(jí)，對(duì)優(yōu)生的培養(yǎng)也起到了意想不到的效果，在第二輪復(fù)習(xí)難度增加的情況下，同層次班級(jí)優(yōu)秀生略有下降，而實(shí)驗(yàn)班的優(yōu)秀率明顯增多。由此可見(jiàn)，運(yùn)用“橫向拓展”模式進(jìn)行專題復(fù)習(xí)，不但能提高教育教學(xué)質(zhì)量，還能培養(yǎng)尖子生。

3.開(kāi)發(fā)成資源，讓大家共享

課后研討也得到了同伴聽(tīng)課老師的一致好評(píng)，同時(shí)得到我區(qū)教研員周老師的認(rèn)可：本節(jié)課以問(wèn)題為主線，注重啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生思考，從問(wèn)題中發(fā)現(xiàn)結(jié)論，使學(xué)生經(jīng)歷觀察、探究、推理、交流、反思等理性思維的基本過(guò)程，使學(xué)生更加主動(dòng)、富有探索性地學(xué)習(xí)，逐步培養(yǎng)了學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí)。通過(guò)提煉基本圖形，并將圖形進(jìn)行不斷的變式，橫向拓展，有效地落實(shí)了“四基”。建議繼續(xù)研究并開(kāi)發(fā)下去，匯編成教學(xué)資源，讓大家共享。

三、建立“橫向拓展”教學(xué)模式的框架

“橫向拓展”教學(xué)模式是從基本問(wèn)題、基本圖形出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生提出問(wèn)題，解決問(wèn)題。通過(guò)對(duì)基本問(wèn)題、基本圖形的分析與思考，主動(dòng)尋求解決問(wèn)題的方法并產(chǎn)生新的問(wèn)題，進(jìn)而尋求解決問(wèn)題的方法，再產(chǎn)生新的問(wèn)題，使問(wèn)題和思維層次逐漸深入，是遞進(jìn)的過(guò)程（如圖12）。在解決問(wèn)題的過(guò)程中，歸納知識(shí)使知識(shí)系統(tǒng)化，并橫向拓展，切實(shí)提高了學(xué)生的解決問(wèn)題和解題能力。同時(shí)學(xué)生在變式拓展的過(guò)程中積累了解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)和方法，為后續(xù)學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)，今后的解題能做到舉一反三。

專題復(fù)習(xí)：“橫向拓展”教學(xué)模式

四、“橫向拓展”教學(xué)模式與“傳統(tǒng)專題復(fù)習(xí)”教學(xué)模式的區(qū)別

“傳統(tǒng)專題復(fù)習(xí)”教學(xué)模式是由教師提出問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)基本概念并解決問(wèn)題，從而納入知識(shí)體系，然后就知識(shí)要點(diǎn)有針對(duì)性地強(qiáng)化訓(xùn)練。它與“橫向拓展”的區(qū)別有以下兩點(diǎn)：

一是“橫向拓展”教學(xué)模式是學(xué)生由基本圖形（基本問(wèn)題）中的條件主動(dòng)思考問(wèn)題，由問(wèn)題去思考用什么知識(shí)去解決問(wèn)題，學(xué)生在主動(dòng)地建構(gòu)知識(shí)體系，整個(gè)過(guò)程是學(xué)生的行為，而教師利用自己精心設(shè)計(jì)的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生去尋找共性規(guī)律，并形成解題策略，讓學(xué)生掌握這一類型的方法。

二是“傳統(tǒng)專題復(fù)習(xí)”教學(xué)模式是由教師提出問(wèn)題，牽著學(xué)生走，學(xué)生被動(dòng)記憶和接受知識(shí)，由概念、結(jié)論去想問(wèn)題，被動(dòng)回答問(wèn)題，不能提出問(wèn)題，整個(gè)過(guò)程是教師的行為。

在專題復(fù)習(xí)的教學(xué)中，要提高課堂教學(xué)的有效性，關(guān)鍵要教會(huì)學(xué)生把復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化、模塊化，以期在較短的時(shí)間內(nèi)抓住數(shù)學(xué)的本質(zhì)，這樣可以達(dá)到舉一反三，觸類旁通的目的。這一切都需要教師在教學(xué)過(guò)程中不斷培養(yǎng)學(xué)生發(fā)掘、提煉、總結(jié)基本圖形，以達(dá)到“做一題，通一類，會(huì)一片”，從而跳出題海的效果。

以上是筆者的一些教學(xué)實(shí)踐嘗試，僅以專題復(fù)習(xí)課的課型開(kāi)發(fā)了一些資源，今后將擴(kuò)大范圍，研究新課的課型，將教學(xué)的理念轉(zhuǎn)變，在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)以“學(xué)為中心，以學(xué)定教”，在理論層次上還需拓展視野，在教學(xué)實(shí)踐上向深處挖，力求從根本上更好地解決學(xué)生學(xué)習(xí)中存在的普遍性問(wèn)題。

參考文獻(xiàn)：

1.梁立士.初中數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)“橫向拓展”教學(xué)模式初探[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育（初中版），2011（12）：10-12.

2.李德忠，趙同娟.注重變式訓(xùn)練提升思維品質(zhì)[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育（初中版），2013（3）：15-16.

3.孫福明.課型范式與實(shí)施策略.江蘇教育出版社，2012（06）.

4.[美]G·波利亞著.涂泓，馮承天譯.怎樣解題數(shù)學(xué)思維的新方法.上?？萍冀逃霭嫔纾?011（11）.

（作者單位：浙江省杭州市余杭區(qū)仁和中學(xué)）