☉江蘇省包場高級中學 湯琛琳

由引例探究圓錐曲線的“中點弦”

☉江蘇省包場高級中學 湯琛琳

直線與圓錐曲線相交所得“中點弦”問題，是解析幾何中的重要內(nèi)容之一，也是高考的一個熱點問題.解決此類問題，常規(guī)思路主要有兩種：一是利用代數(shù)法結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系求解；二是利用點差法處理.本文以教材中一道雙曲線“中點弦”問題為引例，展開探討.

一、問題引入

引例：（人教A版選修2-1第62頁習題B組第4題）已知雙曲線過點P（1，1）能否作一條直線l，與雙曲線交于A、B兩點，且點P是線段AB的中點.

解析：設(shè)點A（x1，y1）、B（x2，y2），分別代入曲線方程，兩式相減得即（x1+x2）（x1-

由A、B以P（1，1）為中點，且A、B不重合，得x1+x2=2，y1+y2=2，x1-x2≠0.可得：所以直線l的方程為：y-1=2（x-1），即y=2x-1.

注意：解決本題時，如果忽視對判別式的考察，將得出錯誤的結(jié)果.由此題可看到中點弦問題中判斷中點的位置非常重要.（1）若中點在圓錐曲線內(nèi)，則所求的弦一般存在；（2）若中點在圓錐曲線外，則所求的弦可能不存在，必須對直線的存在性進行驗證.

二、通法歸納

解決“中點弦”問題的通法如下所示.

利用根與系數(shù)的關(guān)系：將直線方程代入圓錐曲線的方程，消元后得到一個一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系和中點坐標公式建立等式求解.

點差法：若直線l與圓錐曲線C有兩個交點A、B，一般地，首先設(shè)出A（x1，y1）、B（x2，y2），代入曲線方程，通過作差，構(gòu)造出x1+x2、y1+y2、x1-x2、y1-y2，從而建立中點坐標和斜率的關(guān)系.

三、應(yīng)用探究

高考對“中點弦”問題的考查主要有以下幾種類型.

分析沈從文小說中水意象原型內(nèi)涵的還有劉芷悅、羅偉文等人。劉芷悅認為，沈從文筆下的水意象具有“命運、悲劇、女性”等意蘊，與女神崇拜有密切的關(guān)系[11]。羅偉文指出，沈從文筆下的水意象作為原型，與“憂郁、自然、生命”具有密切的聯(lián)系，“水”之所以能對沈從文的創(chuàng)作產(chǎn)生影響，源于楚文化中的水神崇拜習俗[12]。羅偉文的研究亮點在于，他將《山海經(jīng)·海外西經(jīng)》和《梁書·東夷傳》記載的女子洗浴后懷孕的故事作為發(fā)掘沈從文小說中的水意象與生命內(nèi)在聯(lián)系的依據(jù)。但是，在以孔子的“逝者如斯夫”作為水意象與“憂郁”的關(guān)聯(lián)依據(jù)和以老子的“上善若水”作為水意象與“自然”的關(guān)聯(lián)依據(jù)這兩個問題上，羅偉文的論述同樣略顯單薄。

1.求“中點弦”所在的曲線方程

由右焦點為F（3，0），得c=3，則a2=b2+c2=b2+9②.

由①②可知a2=18，b2=9.

評析：解決這類問題，注意結(jié)合“中點弦”的存在性，判斷所求目標是否存在，然后去進行另一步操作，否則易導致錯解.

解析：設(shè)點A（x1，y1）、B（x2，y2）.由題意得x1+x2=2，y1+即所以即

評析：解題的關(guān)鍵是中點坐標公式以及點差法的靈活運用.

3.求“中點弦”所在直線的方程

總之，運用圓錐曲線的“中點弦”的性質(zhì)，不僅可以解決與弦的中點有關(guān)的問題，還可以用來解決相關(guān)范圍、最值問題，特別是在某些對稱性問題中，創(chuàng)造性地運用圓錐曲線的“中點弦”的性質(zhì)來解題，常使人耳目一新.