☉江蘇省西亭高級(jí)中學(xué) 張彬

在“追問(wèn)”中完善知識(shí)，于探究中感悟本質(zhì)
——“直線與平面平行的判定”教學(xué)設(shè)計(jì)

☉江蘇省西亭高級(jí)中學(xué) 張彬

一、教材分析

“直線與平面平行”是普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書蘇教版必修2第一章第二節(jié)的內(nèi)容，是學(xué)習(xí)了點(diǎn)、線、面的關(guān)系以后進(jìn)一步研究直線與平面平行的位置關(guān)系.線面平行的判定充分體現(xiàn)了線線平行和線面平行之間的轉(zhuǎn)化.按照新課標(biāo)的設(shè)計(jì)理念，本節(jié)的教學(xué)設(shè)計(jì)淡化了幾何論證的要求，遵循“直觀感知，操作確認(rèn)，思辨論證，度量計(jì)算”的認(rèn)知過(guò)程展開，讓學(xué)生經(jīng)歷“將空間問(wèn)題平面化”的“降維”過(guò)程，體會(huì)化歸與轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，發(fā)展學(xué)生的合情推理能力及一定的推理論證能力，為學(xué)生后繼學(xué)習(xí)面面平行的判定做好“知識(shí)、方法及技能”的準(zhǔn)備.

二、教學(xué)目標(biāo)

針對(duì)教材特點(diǎn)、大綱要求及學(xué)生實(shí)際，分別從知識(shí)、能力以及情感與態(tài)度三方面來(lái)確定本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，如下所示.

1.知識(shí)目標(biāo)

（1）在創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情景中，使學(xué)生主動(dòng)探究直線和平面平行的判定定理；

（2）能運(yùn)用直線與平面平行的判定定理解決相關(guān)問(wèn)題.

2.能力目標(biāo)

（1）通過(guò)直觀感知、動(dòng)手操作、抽象概括的數(shù)學(xué)化過(guò)程，自主建構(gòu)直線與平面平行的判定定理；

（2）經(jīng)歷運(yùn)用判定定理的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力；

（3）經(jīng)歷“空間轉(zhuǎn)化為平面”“無(wú)限轉(zhuǎn)化為有限”等轉(zhuǎn)化過(guò)程，體會(huì)本節(jié)課的核心數(shù)學(xué)思想——化歸與轉(zhuǎn)化.

3.情感目標(biāo)

（1）與學(xué)生一起體驗(yàn)探索的樂(lè)趣，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣；

（2）通過(guò)創(chuàng)設(shè)情景，讓學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)研究的過(guò)程，體會(huì)數(shù)學(xué)的理性之美；

（3）展現(xiàn)“線線—線面”的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化，滲透唯物主義觀點(diǎn).

三、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

活動(dòng)1：創(chuàng)設(shè)情境，感知定理

小紅想在自己家門口安裝一個(gè)單杠鍛煉身體.請(qǐng)你幫忙設(shè)計(jì)一下，應(yīng)該如何保證杠體與地面平行？

學(xué)生1：只要兩立柱豎直放在地面上且長(zhǎng)度相等就可以保證杠體與地面平行.

追問(wèn)1：若兩立柱豎直放在地面上但長(zhǎng)度不相等，能否保證杠體與地面平行？

學(xué)生1：不能.這時(shí)杠體所在直線與地面相交.

（師利用課件，演示這兩種情形）

追問(wèn)2：通過(guò)這個(gè)模型，我們能不能猜想出一個(gè)判定直線和平面平行的方法呢？

學(xué)生2：如果一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)生活情境的展示，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，同時(shí)也引出了本節(jié)課的主題，統(tǒng)攝全局.讓學(xué)生知道數(shù)學(xué)從生活中來(lái)，明確數(shù)學(xué)的價(jià)值所在，更加激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情.

活動(dòng)2：實(shí)踐研究，深化定理

動(dòng)手實(shí)踐：若將一本書平放在桌面上，翻動(dòng)書的封面，觀察封面邊緣所在直線l與桌面所在的平面具有怎樣的位置關(guān)系.

學(xué)生：平行.

追問(wèn)1：依據(jù)是什么？

學(xué)生：根據(jù)學(xué)生2猜出的線面平行的判定方法.

追問(wèn)2：剛才學(xué)生2給出的判定方法是否具有普遍性呢？請(qǐng)同學(xué)們舉出現(xiàn)實(shí)生活中線面平行的實(shí)例.

學(xué)生3：跳高裁判要讓橫桿和地面平行.

學(xué)生4：教室里的燈管和天花板所在的平面平行.

學(xué)生5：建筑工人要讓樓梯的臺(tái)階與地面平行.

學(xué)生6：門轉(zhuǎn)動(dòng)的過(guò)程中，門的邊緣線始終與門框所在的平面平行.

歸納總結(jié)直線與平面平行的判定定理：平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線和這個(gè)平面平行.

師：那么對(duì)這個(gè)定理，如果我們改變一下其中的條件，結(jié)果又會(huì)怎么樣呢？

追問(wèn)4：一條直線l和平面α內(nèi)一條直線m平行，那么直線l和平面α是否平行？

學(xué)生7：不一定，可舉反例：直線l可能在平面α內(nèi).

追問(wèn)5：平面外一條直線l和已知直線m平行，那么直線l和平面α是否平行？

學(xué)生8：不一定，可舉反例：直線m可能不在平面α內(nèi).

追問(wèn)6：平面外一條直線l和平面α內(nèi)一條直線m不平行，那么直線l和平面α是否平行？

學(xué)生9：不一定平行，若直線l與直線m相交，則直線l和平面α肯定不平行；若直線l與平面α內(nèi)其他直線平行，則直線l和平面α平行.

追問(wèn)7：哪位同學(xué)根據(jù)剛才的分析說(shuō)一下使用直線與平面平行的判定定理應(yīng)該注意的問(wèn)題？

學(xué)生10：應(yīng)用這個(gè)條件必須滿足三個(gè)條件：直線l在平面α外，直線m在平面α內(nèi)，直線l和直線m平行，三個(gè)條件缺一不可，關(guān)鍵是在平面α內(nèi)找一條直線與直線l平行.

設(shè)計(jì)意圖：“沒有過(guò)程”=“沒有思想”，線面平行的判定定理的形成也必然會(huì)經(jīng)歷這樣一個(gè)由雛形至完善的過(guò)程，所以這一環(huán)節(jié)的作用就是定理的完善和確認(rèn).本探究過(guò)程的設(shè)計(jì)完成兩個(gè)目的：一是由問(wèn)題完成對(duì)線面平行的判定的確認(rèn)，二是由問(wèn)題引起學(xué)生思考，總結(jié)出線面平行需具備的條件，在探究中培養(yǎng)學(xué)生獲取知識(shí)的能力、邏輯思維能力及空間想象能力，不斷提高學(xué)生的幾何語(yǔ)言表達(dá)等能力.教育過(guò)程的規(guī)律表明，教師對(duì)學(xué)生的教育不是簡(jiǎn)單的給予，不單是知識(shí)的傳授.智力的發(fā)展、能力的培養(yǎng)、思維品質(zhì)的形成，都必須通過(guò)學(xué)生的積極思維運(yùn)動(dòng)才能實(shí)現(xiàn).

活動(dòng)3：思辨論證，應(yīng)用定理

例1如圖1，已知E、F分別是三棱錐A-BCD的側(cè)棱AB、AD的中點(diǎn)，求證：EF∥平面BCD.

圖1

圖2

分析：設(shè)法在平面BCD外找一條直線與EF平行.由于EF是中位線，接下來(lái)的證明就很顯然了.

設(shè)計(jì)意圖：本題就是定理的最簡(jiǎn)單的運(yùn)用，讓學(xué)生熟悉定理，根據(jù)結(jié)論找出需要的線，而三角形的中位線是最常見的平行線的一種.

例2如圖2，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，試作出過(guò)AC且與直線D1B平行的截面，并說(shuō)明理由.

設(shè)計(jì)意圖：考慮到學(xué)生處于初學(xué)階段，教師精心打造開放性、基礎(chǔ)性例題，引導(dǎo)學(xué)生找出線面平行的判定定理的三個(gè)條件，從而得出要證的結(jié)論，讓學(xué)生用自己的研究成果解決具體問(wèn)題，感受知識(shí)的力量，體驗(yàn)成功的喜悅，并轉(zhuǎn)化為學(xué)習(xí)的新動(dòng)力.在師生互動(dòng)中，把握學(xué)生個(gè)體思維暴露的過(guò)程，老師應(yīng)及時(shí)激勵(lì)評(píng)價(jià)，解讀定理，進(jìn)一步明確判定定理的三個(gè)條件，既突破了難點(diǎn)，又培養(yǎng)了學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评砟芰?

活動(dòng)4：交流體會(huì)，反思提升

師：通過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲？

學(xué)生11：我的收獲：一是學(xué)會(huì)判定線面平行的另一種方法，不僅可以用定義法，更可以用操作性更強(qiáng)的線面平行的判定定理；二是體會(huì)了轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)應(yīng)用中的魅力，即證明線面平行轉(zhuǎn)化為證明線線平行.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)體會(huì)和反思，引導(dǎo)學(xué)生從知識(shí)內(nèi)容和思想方法兩個(gè)方面進(jìn)行小結(jié)，既使學(xué)生清晰地認(rèn)識(shí)本節(jié)課的知識(shí)結(jié)構(gòu)，領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)思想方法，完成知識(shí)構(gòu)建；又培養(yǎng)學(xué)生自主反思的學(xué)習(xí)習(xí)慣，及時(shí)感悟如何學(xué)會(huì)合作，學(xué)會(huì)交流，學(xué)會(huì)評(píng)價(jià)，在體驗(yàn)成功的愉悅的同時(shí)，使學(xué)生在知識(shí)、能力、情感三個(gè)維度得到提高，給下節(jié)的學(xué)習(xí)提供改進(jìn)方向.

活動(dòng)5：課后實(shí)踐，強(qiáng)化定理

課后作業(yè)略.

設(shè)計(jì)意圖：促使學(xué)生進(jìn)一步掌握直線與平面平行的判定定理的應(yīng)用，促使其有意識(shí)地應(yīng)用.

四、評(píng)價(jià)與反思

本課例教學(xué)，以教師引導(dǎo)下的自主探究活動(dòng)為載體，力爭(zhēng)從生活情境入手，以最貼近學(xué)生思維“最近發(fā)展區(qū)”的問(wèn)題為支點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生展開了對(duì)直線與平面平行的判定的研究，在追問(wèn)中，注重對(duì)學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo)、數(shù)學(xué)思想的滲透、數(shù)學(xué)思維的深化、思維能力的提升.

1.問(wèn)題引導(dǎo)——構(gòu)建有效課堂的基本途徑

問(wèn)題是探究性教學(xué)的起點(diǎn)，問(wèn)題的選擇或設(shè)計(jì)要難易得當(dāng)，要讓學(xué)生處于“跳一跳，摘到桃”的狀態(tài)；問(wèn)題還應(yīng)具有發(fā)散性，即解決問(wèn)題方法的多樣性和條件或結(jié)論的可變性，這一問(wèn)題的解決能引發(fā)新的問(wèn)題產(chǎn)生，形成“問(wèn)題鏈”，有了問(wèn)題學(xué)生就有了思考與討論的方向，從而能持續(xù)地驅(qū)動(dòng)學(xué)生進(jìn)行探究，激發(fā)思維，深化思維.

“直線與平面平行”既是后面學(xué)習(xí)面面平行的基礎(chǔ)，又是連接線線平行和面面平行的紐帶，在高中立體幾何中占有很重要的地位.因此在新授課階段，不能難，否則會(huì)打擊學(xué)生的積極性，教學(xué)問(wèn)題的選擇要簡(jiǎn)單，教學(xué)的重心就能落在讓學(xué)生建構(gòu)起對(duì)線面平行的判定上來(lái).本案例中的幾個(gè)問(wèn)題正好貼近學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，起點(diǎn)低，由于問(wèn)題難度小，全體學(xué)生可以展開自主探究，能夠經(jīng)歷求知過(guò)程的體驗(yàn)，再進(jìn)一步通過(guò)追問(wèn)，從中提煉概括出線面平行的判定定理，從對(duì)問(wèn)題的追問(wèn)中，形成“問(wèn)題鏈”，而每個(gè)問(wèn)題的提出，都會(huì)引起學(xué)生認(rèn)知的沖突，引發(fā)探究，驅(qū)動(dòng)思維發(fā)展.

2.理解學(xué)生——堅(jiān)持以學(xué)生為中心

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要充分相信學(xué)生的能力，依靠學(xué)生，進(jìn)而解放學(xué)生，發(fā)展學(xué)生.教師要充分預(yù)見學(xué)生在交流過(guò)程中可能會(huì)出現(xiàn)的問(wèn)題，把握住教材的深淺，學(xué)生如果在交流過(guò)程中出現(xiàn)了大大超出教材難度本身的討論，應(yīng)當(dāng)及時(shí)地給其糾正，重點(diǎn)不清、概括性不強(qiáng)的地方，教師應(yīng)當(dāng)適時(shí)地進(jìn)行歸納補(bǔ)充.老師只是起到了組織和點(diǎn)撥的作用.這樣學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性就被充分地調(diào)動(dòng)起來(lái)，其學(xué)習(xí)的潛力也會(huì)被充分地挖掘出來(lái).學(xué)生在課堂上是快樂(lè)的，就會(huì)激發(fā)學(xué)生在學(xué)習(xí)上的積極性，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，真正實(shí)現(xiàn)由“要我學(xué)”到“我要學(xué)”.

本節(jié)課中，從定理的形成，到定理的變式等，都是學(xué)生自己利用已有知識(shí)、方法、思想“同化”和“索引”出來(lái)的，教師僅為學(xué)生創(chuàng)設(shè)了可知識(shí)外化的情景，幫助他們完成這些知識(shí)意義的建構(gòu)，體現(xiàn)了建構(gòu)主義理論課堂教學(xué)的“首創(chuàng)、外化、自我反饋”等基本因素.通過(guò)實(shí)物的演示，從感性到理性，從具體到抽象，從個(gè)體到整體，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，這就遵循了學(xué)生的認(rèn)知和知識(shí)、技能形成、發(fā)展的規(guī)律.